第11讲 直线的一般式方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第11讲 直线的一般式方程 知识再现 一．直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 二． 直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 2、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 三． 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 题型一：直线的一般式方程 例1.（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【解析】选项A，当时，是方程的解，即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为，故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确.故选：AD. 例2.直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 解析：直线的斜率，即，，所以倾斜角. 故选：C 例3.（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】因为，,所以所以， 令所以直线经过一三四象限.故选：ACD. 例4.如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；故选：D. 变式训练 1.（多选）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D. 【详解】对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确； 对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确； 对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误； 对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确. 故选：ABD. 2.（多选）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】CD 【分析】对分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得. 【详解】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为， 当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为， 当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和. 故选：CD. 3.（多选）已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限， 所以即，，. 对D，若，则，，满足题意，故D错误.故选：ABC. 题型二：一般式的平行与垂直问题 例5.设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与直线平行， 则，解得或，经检验或时两直线平行． 故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”故选：A 例6.若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与直线垂直， 则有，解得或，故选：A． 例7.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为.故选：D. 例8.已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点， ，， 直线与线段相交，直线的斜率或.故选：A. 例9.已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为， 直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为， 所以，，解得.故选：C. 变式训练 1.已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为.故选：C 2.若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合.所以或.故选：C 3.直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【答案】B 【解析】与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直．故选：B 4.已知直线经过点． (1)若直线平行于直线，求直线的方程． (2)若直线垂直于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两条直线平行的条件设直线方程可解得结果； （2）根据两条直线垂直的条件设直线方程可解得结果. 【详解】（1）因为直线平行于直线， 故设直线的方程为， 又直线经过点， 则，解得， 故所求直线方程为. （2）因为直线垂直于直线， 故设直线的方程为， 又直线经过点， 则，解得， 故所求直线方程为. 题型三：含参直线过定点问题 例10.直线，无论为何值，所有直线都过的定点（    ） A． B． C． D． 解析：直线方程转化为：， 令，解得，所以直线过定点，故选：A． 例11.已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【解析】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组，解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：. 变式训练 1.已知直线， 则下述论断正确的是（    ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【解题思路】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D. 【解答过程】当时，经过坐标原点，故A错误； 若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误； 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误； 将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确； 故选：D. 2.无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【解答过程】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 题型四：直线的综合应用 例12.（多选）已知直线，其中为实常数，则（    ） A．直线过一定点 B．无论m取何值，直线不经过原点 C．当时，直线与轴交于它的负半轴 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】ABD 【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解. 【详解】对于，因为直线的方程为，令， 解得：，所以直线过定点，故选项正确； 对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确； 对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误； 对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确， 故选：. 例13.（多选）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为，即 对于A，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，所以A错误， 对于B，当时，，得， 所以直线在轴上的截距等于，所以B错误， 对于C，因为直线的斜率为，且， 所以直线与直线垂直，所以C正确， 对于D，因为直线的斜率为，且在轴上的截距为， 而直线的斜率为，且在轴上的截距为， 所以直线与直线平行，所以D正确， 故选：CD 例14.（多选）已知直线，其中为实常数，则（    ） A．直线过一定点 B．无论m取何值，直线不经过原点 C．当时，直线与轴交于它的负半轴 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】ABD 【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解. 【详解】对于，因为直线的方程为，令， 解得：，所以直线过定点，故选项正确； 对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确； 对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误； 对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确， 故选：. 例15.在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程； (2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由的三个顶点的坐标分别为，，， 可得直线的斜率， 所以过点且与直线平行的直线方程为，即. （2）由直线的斜率，可得边上的高线斜率， 所以边上的高线方程为， 即边上的高线所在的直线方程为. 例16.已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不过定点，证明见解析 【解析】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或；令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且， 方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下：证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且， 方程表示的直线的斜率为，此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为，若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得，整理得，解得或， 只有当或时，直线过，直线不过定点. 变式训练 1.已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等，则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 2．已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)最小值为4，直线的方程为. 【解析】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得，的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得，取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”，此时的最小值为4，直线的方程为. 3.已知直线过点. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求当（为坐标原点）面积的最小值，直线的方程.. 【答案】(1)或；(2)的方程为 【解析】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点，可得， 所以所求直线方程为，即， 综上可得，所求直线方程为：或. （2）依题意，设点，直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当时等号成立， 所以，即的面积的最小值为12，此时的方程为. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲直线的一般式方程 知识再现 一.直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于x,y的二元一次方程+B刚+C=0都表示一条 直线.我们把关于X,y的二元一次方程Mr+By+C=0(其中A、B不同时为O)叫做 直线的一般式方程，简称一般式. 2、系数的几何意义 AC A 一 (1)当B≠0时，方程Ar+By+C=0可以写成BB它表示斜率为B，在 o Y轴截上的截距为B的直线.特别的，当A=0时，它表示垂直于Y轴的直线， C X=- (2)当B=0时，A≠0，方程Ar+By+C=0可以写成A,它表示垂直于x轴的 直线 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线， 二.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式化为斜截式的步骤 (1)移项得y=--C； y=- x- (2)当B≠0时，得斜截式方程B”B 2、一般式化为截距式的步骤 (1)把常教项移到方程右边，得4r+By=C; A+B型=1 (2)当C≠0，方程两边同时除以-C,得C'-C (3)化为截距式方程：AB 三.一般式方程的平行与垂直 第1页共12页 1、平行与垂直的系数关系 已知直线山的方程分别是：4x+By+G=0(A,B不同时为0)， 12:Ax+By+C2=0(A,B2不同时为0) (1)若44+BB,=0台41h AB2-A,B,=0 (2)若4C,-4,C≠0 台111l2 2、平行与垂直的直线系方程 (1)平行直线系：与直线Ar+By+n=0垂直的直线方程可设为Ax+By+m=0 (2)垂直直线系：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0 题型一：直线的一般式方程 例1.（多选）已知直线：Ar+By+C=0,其中A,B不全为0，则下列说法正确的是() A.当C=0时，I过坐标原，点 B.当AB>0时，1的倾斜角为锐角 C.当B=0,C≠0时，1和x轴平行 D.若直线1过点P(x),直线1的方程可化为Ax-x)+B(y-%)=0 制2直线5r+y-V5=0的领斜商是（) B. c π D.6 第2页共12页 例3.（多选）如果AC<0,BC>0，那么直线Ar+By+C=0通过() A.第一象限B,第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例4.如图所示，直线l:ar-y+b=0与4：bx-y+a=0(ab≠0，a≠b)的图象只可能是(） B D 变式训练 x+by-2=0 1.（多选)已知直线1的方程为 则下列判断正确的是（) A.若ab>0,则直线1的斜率小于0 b=0,a≠0 B.若 ，则直线1的领斜角为90° 第3页共12页 C.直线1可能经过坐标原点 a=0,b≠0 0° D.若 ,则直线1的倾斜角为 2(多遮)巴知B<1,直线1的方程为 -By+1=0 ,则直线I的倾斜角可能为() B.7 6π A.0 C.2 D.1 3.（多选)已知abc≠0，直线：r+by+c=0经过第一、二、四象限，则（) A.ab>0 B.bc<0 C.ac<0 D.a<0 题型二：一般式的平行与垂直问题 倒5，设元eR,则“1=1”是“直线3x+-y=l与直线2r+1-2y=2平行”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第4页共12页 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 钢6若直救：m+2)-1=0与直线5：a-小-y0鱼直，则实教的取值足() A.a=-1或a=2B.a=-1C.4=2D.a=3 例7.已知直线1经过，点P(2,-1),且与直线2x+3y+1=0垂直，则直线1的方程是() A.2x+3y-7=0B.3x+2y-8=0C.2x-3y-1=0D.3x-2y-8=0 例8.已知点M(2,-3到和N川-3，-2，直线/：y=-a+1与线段MN相交，则实数“的取位 范围是() 我4B4sas号ca4D. 3 3 A.a≥ ≤a≤4 第5页共12页 制9.巴知点ML,-2引、m.2,若线段y的垂直平分线的方程是+=l,则实数m的 值是() A.-2B.-7C.3 D.1 变式训练 1.已知直线1过点（山，0）且与直线m:x-2y+5=0平行，则直线1的方程为（) A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0 2.若直线ax+3y-4=0与x+(a+2)y+2=0平行，则a=() A.1 B.3 C.1或-3 第6页共12页 3.直线x+少+a=0与x-y+b=0(C,d不同时为0)的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与a,b,c,d的值有 关 4已知直线'经过点P(-2,2) 3x-2y-9= (1)若直线平行于直线“ 0,求直线的方程 3x-2y-8=0 (2)若直线垂直于直线 ,求直线的方程. 题型三：含参直线过定点问题 例10.直线c-y+1-3k=0，无论k为何值，所有直线都过的定点(） A.(3, B.(0,1 C.(0,0) D.（2,1 例1.已知直线1：(2a+3到x-(a-ly+3a+7=0,aeR (①)证明直线1过定点A,并求出点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若直线1'过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2，求直线 第7页共12页 1'的方程； (3)若直线1不经过第四象限，求a的取值范围. 变式训练 1.已知直线：2x-my+m-4=0,则下述论断正确的是（） A.直线l不可能经过坐标原，点 B.直线I的斜率可能为0 C.直线l的倾斜角不可能是 D.直线1恒过定点2,1 2.无论k为何值，直线k+2x+1-k)y-2k-4=0都过一个定点，则该定点为() A.-2,0 B.0,2 C.2,0 D.0,-2 第8页共12页 题型四：直线的综合应用 1:x+y-3+m(2x-y)=0 例12.（多选)已知直线 ”,其中m为实常数，则() A.直线1过一定点 B.无论m取何值，直线不经过原，点 C.当m>0时，直线I与y轴交于它的负半轴 9 D.当m=0时，直线1与坐标轴围成的三角形的面积是2 制1B.(多选)已知直线1的一个方向向量为“=，5，且1经过点1，-2，则下列结论中 正确的是() 23 A.1的倾斜角等于150° B.I在x轴上的截距等于3 C.1与直线5x-3y+2=0垂直 D.I与直线V5x+y+2=0平行 :x+y-3+m(2x-y)=0 例14.（多选)已知直线 0,其中”为实常数，则() A.直线1过一定点 B.无论m取何值，直线I不经过原点 第9页共12页 C.当m>0时，直线1与y轴交于它的负半轴 9 D.当m=0时，直线1与坐标轴围成的三角形的面积是2 例15.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,2),B(4,3), C(2,1) (①)求经过，点A且与直线BC平行的直线方程； (②)在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程. 第10页共12页