四川省宜宾市第三中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

宜宾市三中高2023级高三第一次模拟考试 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={xx2=2x},B={-2,0,1,2},则A∩B=（) A.{0,2} B.{1,2 C.{-2,0} D.{2,-2} 2.已知命题p:Hc∈R,x+1>1;命题g:彐x>0,lmx<0,则( A.p和g都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和7g都是真命题 3.函数f(x)=ln(x2-2x)的单调递增区间为() A.（-∞，0) B.(-∞，1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 4已知a=log2b=号，c=log3,比较a,b.c的大小为() A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 5.已知y=1-alogx是减函数，则函数f(x)=x(c-a)的大致图象为() 6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳 中和'.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中 的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于I898年提出蓄电池的 容量C(单位：A·h),放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C=”·t,其 中n=log2为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=l0A时，放电时间t=56h, 则当放电电流I=15A时，放电时间为() A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h 7.设f(o)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤≤3时，f)=心2-5x+6,则f-之)=() A 8片 C.2 D.-2 8已知函数fo)=(-1-2b)e-子ax2+2abz在R上单调递增，则ab的最小值是( A名 B.-2e c品 n日 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，即X~N2,4),Y~B(4,),则( APX≤2)=号 BPY-2-昌 C.E(X=E(Y) D.D(X)-D(Y) 10.已知定义域为R的函数fx),对任意实数c,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(c)fy),且f2)=-1, 则以下结论一定正确的有() A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.fx)关于(1,0)中心对称 D.f(1)+f(2)+.+f(2025)=0 Incl,x>0 11.已知函数f(x)= {(侵厂，x<0g()=一+2ku+3,()=fg(》-7m,则下列结论中正确的 有() A.当m=0时，h(x)有1个零点 B.当0<m<1时，h(x)有4个零点 C.当h(x)有6个不同零点时，实数m的取值范围为[1，lm3)U{lm4} D.当h(x)的零点个数最多时，实数m的取值范围为ln3,ln4] 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.曲线y=e-2x在x=0处的切线方程为 13.已知实数a,b满足a+2b=1,则3a+g的最小值为 14.已知函数f)=+h?+”，且满足fa)+f2a-1)>0,则实数a的取值范围为」 12-c ·2 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知{an}是公差不为零的等差数列，满足a=1,且a1,a2,a成等比数列. (1)求{a}的通项公式： (2)设bn=(an十3)·2m-1,求数列{bn}的前n项和T 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=2x3-3ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 己知四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠C=45°，CD=4,BC=2W2,E,F分别为 CD,BC的中点（如图1），以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点S的位置且平面SAE⊥平面 ABCE(如图2). (1)求证：AS⊥平面SEF; (2)求二面角C-SE-F的余弦值. 图1 图2 ·3 18.(本小题满分17分) 设A,B分别为圆。十水1α，b>0)的左、有顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点L号 在椭圆上、 (1)求椭圆的方程： (2)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N,证明：点B在以MN为 直径的圆内. 19.(本小题满分17分) 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence.,简称AI)已然成为科技变 革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.我校团委拟与某网络平台合作组织学生 参加与AⅡ知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分， 答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相 互独立. ()若前三道试题，甲每道试题答对的斑率均为子，记甲同学答完前三道题得分为X,求随机变量 X的分布列和数学期望： (2)若甲同学答对每道题的概率均为 3,因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分， 1 称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为P, ①求证：{P+1-P}是等比数列； ②求Pn的最大值 宜宾市三中高2023级高三第一次模拟考试数学参考答案 1-8题：A3 DD BAAB8.ABC10.A0D11.8C12.y=-@+118.2W314(号，是） 8.【解】因为f(x)在R上单调递增， 所以f'(x)=(c-2b)e-ax+2ab=(c-2b)(e-a)≥0在R恒成立. 若a≤0，则e-a>0,所以x-2b≥0恒成立，显然不成立： 若a>0,则f'(x)≥0在R恒成立等价于g(x)=(x-2b)(e-a)≥0在R上恒成立， 所以2b=lna,所以ab=号lha.令h(a)=号1ha,则h'(a)=2na+1, 当ae(0是)时，h(o)<0.ha)单调递减：当ae(合，+o时，h'(a)>0.hMa)单调递增； 所以当a=。时，M@)取得最小值一名，即b的最小值是-名 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） l5解：【1】设{an}的公差为d,因为a1,a2,a7成等比数列， 所以a喝=a1a,即(a十d)}=a(a+6d), .2分 (1+d)2=1+6d,化简得d=4d, .4分 由于d≠0，所以d=4,am=1+(n-1)×4=4n-3, 所以{an}的通项公式为am=4n-3. 6分 【2】:bn=(an+3)·21-1=4n·2m-1=n·2m+1, 8分 ∴.Tn=122+223++n2n+1①， 2Tn=1·23+2·2+…+n2m+2②， 0-@得-T=1*2+2++2+2m1-n*22=-n22+41-2）=（1-n22-4, 1-2 所以Tn=(n-1)2m+2+4. .....13分 16.解：(1)f(x)定义域为R,f'(x)=6x2-6a=6x(x-a), 令f'(x)=0,解得c=0或x=a, .2分 ①当a>0时，当x∈(-o,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(0，a)时，f'(x)<0,fx)单调递减， 当x∈(a,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： .4分 ②当a=0时，则f'(x)=6x2≥0，f(c)在R上单调递增： ..6分 ·5 ③当a<0时， 当x∈(-∞，a)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(a,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(0，十o)时，f'(c)>0,f(c)单调递增： 8分 综上，当a>0时，f(c)在(-∞，0)和(a,+∞)单调递增，在(0，a)单调递减； 当a=0时，f(x)在R上单调递增： 当a<0时，f(x)在(-0，a)和(0，+∞)单调递增，在(a,0)单调递减.9分 【小问2】由(1)知①a>0时，f(c)在(-∞，0)和(a,+∞)单调递增，在(0，a)单调递减， 所以x=a为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(a)=2a3-3a3+1<0, 所以a3>1,解得a>1: .11分 ②a=0时，f(x)在R上单调递增，显然无极值点，不合题意： 12分 ③a<0时，f(x)在(-∞，a)和(0，+∞)单调递增，在(a,0)单调递减， 所以c=0为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(0)=1>0,不合题意；14分 综上，a>1,即a的取值范围是(1，十∞). .15分 17解：(1)证明：连接BD交AE于O:E、F分别为CD、BC的中点. ∴.EF∥BD 又ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠C=45°，CD=4,BC=2W2 :BD=22,AB=AD=2 .DBL AE ∴.EF⊥AE …3分 :平面，SAE⊥平面ABCE,平面SAE∩平面ABCE=AE,EFC平面ABCE .EF⊥平面SAE,:ASC平面SAE ∴.EF⊥AS 5分 又：SE⊥AS且EF∩SE=E∴.AS⊥平面SEF. …7分 (2)以O为坐标原点，OA、OB、OS所在直线为x轴、y轴、z轴，如 图所示建立空间直角坐标系，则A(√2,0,0)，B(0,√2,0)， C(-2W2,W2,0),E(-2,0,0),S(0,0,√2) C=(22,-√2，√2)，CE=(√2，-√2,0)， ----9分 图2 ·6 设平面SCE的法向量为元1=（x,,z) 则元·C-0取平面SCB的一个法向量为元=1,1，-1， -11分 元C觅=0 :AS⊥平面SEF, .取平面SEF一个法向量为成=A5=(-√2,0，√2)， ---…13分 显然二面角C-SE-F为锐角， ·二面角C-SD-F的余弦值cos0=lcos(优，l=22=6 2/33 …15分 a=2c 18解【小问1】由题意 a2=b+c2,解得6=3' a=2 +=1 故椭圆的方程为号+ =I. 3 4分 【小问2】如图，设P(4,t),t≠0，由题意，A(-2,0),B(2,0), 则直线AP销方程为)=若e+2,代入兰+号=1 整理得：（+27)x2+4tx+4t2-108=0, 则-2xw=-09,即4=5429 t2+27 +荒w=音+2-1 +27 故M54-2218t） t+27’2+271 .8分 凰线BP的方程为y多-2，代入至+号，整理得：P+3二红+4址-2=0 则2w=4#-12 t2+3 即=+w=v-2= t2+3 故N号 .12分 于是， 威丽=(e品》 48t -108t -60t2 (e+27)(t2+3) +(2+27)(2+3) (t2+27)(t2+3)' 因t≠0，故可得B7·B<0, 16分 即∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内. .17分 10解)已如答对餐率0=号则答错假率g=1-p= Γ3 设答对题数为k,得分X=k+3,故X取值为3,4,5,6： Px-3)=c号=7 Px==C号号f=员=号 Px=5)=C号)=号- ·7 PX=6)=C3= 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 6 1 P 2 27 9 27 期塑EW=3×7+1× +5× +6×=5. .7分 (2)①证明：对n≥2，得分n的递推： 最后一题答错（得率号：之前得n-1分，放R含号卫： 最后一慰答对〔概率子：之前得n-2分，放R含行R。 即R=号P-+片Pm≥3别 3 所以R1-R=号R+号P-R=3RRd 31 初始项：R=号月=方+（号了=名故月-A=古 因此，{R1-P}是以号为首项，一号为公比的等比数列. .12分 ®由达代器加求和：P二B士2A三名+1=9合 9 1-(-3) 偶数项(n=2山6小上（号为负，R=星+正数，且随若n增大，正数减小，故乃为最大值： 奇数项(n=13.5小：（号为正，R=是-正数，随若n增大，正数减小，趋近于0，故最大值 趋近于3 综上，B为最大值，计算B=名，即P最大值为寻 .17分 ·8