5.1.2利用二分法求方程的近似解课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件围绕零点存在定理与二分法求方程近似解展开，从函数图像交点问题切入，通过例题引导学生理解方程实数根个数的判定方法，再自然过渡到利用区间端点函数值异号确定解的存在性，最后系统呈现二分法的操作步骤与逻辑结构，形成由直观感知到抽象推理的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与逻辑推理的协同作用。例如在例题中借助函数图像判断交点个数，体现数学眼光中的几何直观；在二分法步骤中强调每一步的符号判断与区间缩放，展现严谨的数学思维；用表格记录每次迭代结果，强化数据意识与模型观念。这种以问题驱动、层层递进的教学设计，既帮助学生建立清晰的知识脉络，又提升教师课堂组织效率与教学深度。

零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 复习巩固 例： 判定下列方程存在几个实数根,并分别给出每个解的存在区间: (1) x2+x-1=0; (2) =0. 解：由x2+x-1=0，得x2=1-x，令f(x)＝x2，g(x)＝1-x,方程x2+x-1=0有几个实数根，就是函数f(x)，g(x)有几个交点， 作出图象，知道有二交点， 故方程x2+x-1=0有2个实数根 f(x)＝x2 g(x)＝1-x 例： 判定下列方程存在几个实数根,并分别给出每个解的存在区间: (1) x2+x-1=0; (2) =0. 解：由=0，得，令f(x)＝，g(x)＝,方程=0有几个实数根，就是函数f(x)，g(x)有几个交点， 作出图象，知道有二交点， 故方程=0有2个实数根 g(x)＝ f(x)＝ f(x)＝ g(x)＝ f(x)＝ g(x)＝ 判定方程存在几个实数根的方法步骤： (1)：由方程变形，得f(x)＝g(x)，得到二个函数. (2)作出这二个函数的图象，有几个交点，方程就有几个实数根， 其中交点的横坐标就是方程的解 5.1.2利用二分法求方程的近似解 绝大部分方程没有求解公式,而且在许多实际应用中,也不需要求出方程解的精确值，只要解满足一定的精确度就可以了. 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解． 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)· f(b)<0,则方程f(x)=0在区间(a,b)内有解(如图). 下面我们讨论方程f(x)=0近似解的求法. 求方程f(x)=0的近似解的方法如下: 取区间（写开闭区间都可以）的中点，【分成了二个区间和】 若，则区间内有方程的解． ，则区间内有方程的解． 方程f(x)=0近似解的求法 再取区间的中点…这样操作下去 （如果取到某个区间的中点，恰使，那么就是所求的解；如果区间中点的函数值不等于，且区间某个端点的函数值与异号，那么与这个端点组成新的区间的端点）， 经过有限次操作，区间长度越来越小，且其端点的函数值符号相反，随着操作次数的增加，端点逐步逼近方程的解，从而得到近似解． 区间一分为二； 端点函数值异号； 逐步缩小区间； 逼近方程的解． 像这样，对于一般的函数 ，若函数的图象是一条连续的曲线，，（异号）则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想． 练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器) y=0.9x y=x 分析f(x)=0.9x-x的零点就是y=x,y=0.9x的交点的横坐标， 由图可知y=x,y=0.9x的交点的横坐标在5和6之间 f(5)=0.1143，f(6)=-0.1840 说明该函数在区间(5，6)内存在零点x0． 练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器) 取区间(5，6)的中点5.5 f(5.5)=0.0363 解：f(5)=0.1143，f(6)=-0.1840 再取区间(5.5，6)的中点 f(5.75)=-.0020 0.0363-（-0.1840）=0.2203>0.1 Ι-.0020-0.0363Ι=Ι-0.0383Ι=0.0383<0.1 所以x0∈(5.5，6) 所以x0∈(5.5，5.75) 所以原方程的近似解可取(5.5，5.75)内的任一值 所以x0∈(5，6) 用二分法求函数零点近似值的基本步骤 1 . 确定区间 [a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε； 2 . 求区间 (a，b) 的中点 x1； 3 . 计算 f(x1)：   (1) 若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；   (2) 若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1 (此时零点 x0∈(a，x1))；   (3) 若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点 x0∈(x1，b))； 4 . 判断是否达到精确度 ε；即若 |a-b|< ε，则得到零点值 a(或 b)；否则重复步骤 2～4 . 求方程的一个近似解．（精确度为） 解：解考察函数 f(x)=,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在区间. 经试算，，． 所以方程在区间内有解． 取区间的中点，， 所以方程在区间内有解． 如此下去，得到方程的解所在的区间，如下表： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 f(x)= 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734375 0.734375 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.7421875 -3 -1.25 -1.25 -0.63671875 -0.287597656 -0.101135254 -0.004768372 -0.004768372 2 2 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.044219017 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 至此，可以看出，区间的区间长度为，它小于．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解， 例如，就是方程精确度为的一个近似解． 选定初始区间 取区间的中点 是 否 得到新区间 是 否 选取区间内任意一个数 结束 新区间的长度小于精确度 中点函数值为0 二分法求方程近似解步骤 抽象概括 二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理. 利用二分法求方程近似解的过程可以用图表示,其中: “初始区间”是一个两端点函数值异号的区间; 新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两 端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号. 在用二分法求方程近似解的步骤中,初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算.初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果,但可能影响计算量的大小。 若方程f(x)=0有多个解,则需要选取不同的初始区间来 求得不同解的近似值. 练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器) 如何来确定更小的初始区间，图象法是一种，方程 0.9x-x=0的解就是y=x,y=0.9x的交点的横坐标。 y=0.9x y=x 由图可知交点的横坐标在5和6之间 用二分法求函数零点近似值的基本步骤 1 . 确定区间 [a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε； 2 . 求区间 (a，b) 的中点 x1； 3 . 计算 f(x1)：   (1) 若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；   (2) 若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1 (此时零点 x0∈(a，x1))；   (3) 若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点 x0∈(x1，b))； 4 . 判断是否达到精确度 ε；即若 |a-b|< ε，则得到零点值 a(或 b)；否则重复步骤 2～4 . 本课小结 教材第135页练习第1，2题． $