2.2.2 函数的表示法 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

2.2 函数的表示法 在初中,我们就知道,函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法.实际上,本章“$1生活中的变量关系”中的例3例4和例5就是分别用解析法、列表法、图象法表示的函数. 如果一个函数能用解析法表示出来,也就能较便利地利用代数工具研究其性质,如初中学习的一次函数、一元二次函数反比例函数等都是用解析法表示的. 在实际中,一些非常明确的函数关系很难找到它的解析式,这时就要考虑使用其他方法来表示,通常有列表法、图象法. 列表法直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出了两个变量之间的对应值,非常直观.但任何一个表格内标出的数都是有限个,也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若自变量有无限多个数,则只能给出局部的对应关系. 图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律,比如心电图(如图),很难由图象得到每个自变量取值对应的精确函数值. 另外,并非所有的函数都能用图象表示,如狄利克雷函数: y= 1 x为有理数, x为无理数 0 为了清楚地表示一个函数关系,需要有针对性地选择适当的表示方法,有时需要多种方法综合运用.在实际问题中,还常常需要把函数的某种表示方法转化为另一种表示方法. 例3画出函数y=|x|的图象. 解:由绝对值的意义,可知 x 其图象为第一、第二象限的角平分线,如图. y=|x|= -x 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数. 关于分段函数的3个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数. (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交. 设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],如当x=3.14时,[x]=[3.14]=3;当x=—3.14时，[x]=[-3.14]=-4.于是,我们把y=[x]叫作取整函数. 例4画出取整函数y=[x]的图象. 解:依题意知函数y=[x]的定义域为R,值域是Z.它的图象如图. 函数的三种表示方法分别是：列表法、图像法、解析式法． 解析法：简明、全面地概括了变量间的关系； 图象法：直观形象地表示出函数变化的趋势； 列表法：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值． 分段函数的图象需要根据不同范围把每一段画出来，成为整个函数图象． 本节小结： 作业：教材第58页A组第1~4题 备选习题 例1 已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________． 例2 已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________． (1)若已知所要求的解析式f(x)的类型，可用待定系数法求解， 其步骤为： ①设出所求函数含有待定系数的解析式； ②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，得到待定系数的值； ④将所求待定系数的值代回所设解析式． 例3 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； 解:法一　(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法： ①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． ②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． (3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 例4 已知f(x)＋2f(﹣x)＝x2＋2x，求f(x)． 求下列函数的解析式． （1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1， f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）； 解：（1）设所求的二次函数为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， ∵f（0）＝1， ∴c＝1， 则f（x）＝ax2＋bx＋1． 又∵f（x＋1）－f（x）＝2x对任意x∈R成立 ∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x． 由恒等式性质，得 ∴ ∴所求二次函数为f（x）＝x2－x＋1． （2）已知f （ ＋1）＝x＋ ，求f（x）； （2）方法一：令 ＋1＝t， 则t≥1， 即x＝（t－1）2， 则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1． 故f（x）＝x2－1（x≥1）． 方法二：∵（ ＋1）2＝x＋ ＋1， ∴x＋ ＝（ ＋1）2－1． ∴f（ ＋1）＝（ ＋1）2－1， 其中 ＋1≥1． ∴f（x）＝x2－2，x≥1． （3）已知 ＋f（x）＝x（x≠0），求f（x）； 解： （3） ＋f（x）＝x， 将原式中的x替换为 ， 得2f（x）＋ ＝ ． 于是得关于f（x）与 的方程组 解得f（x）＝ （x≠0）． （4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y） ＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）． 分析：利用赋值法，令x－y＝0，求出f（0）的值，再令y＝0，求得f（x），也可令x＝0，求出f（y），进而可得f（x）． 解：（4）方法一：∵f（x＋y）－2f（y）＝x2＋2xy－y2＋3x－3y 对任意x， y∈R都成立， 故可令x＝y＝0， 得f（0）－2f（0）＝0， 即f（0）＝0． 再令y＝0， 得f（x）－2f（0）＝x2＋3x， ∴f（x）＝x2＋3x． 点技巧 解含有两个变量的解析式的方法—赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来定． （4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y） ＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）． 解：方法二：令x＝0， 得f（y）－2f（y）＝－y2－3y， 即－f（y）＝－y2－3y． 因此f（y）＝y2＋3y． 故f（x）＝x2＋3x． 已知 求的值．画出函数图象． （1）因为5所以f． 因为0所以ff 因为04所以f ． （2）图象如图所示 甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以v km/h的速度行驶. （1）请将甲车离开A地的路程 s（km）表示为离开A地的时间t的函数，并画出这个函数图象； （1）由题意得函数解析式： 函数的图象如图 甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以v km/h的速度行驶. （2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A，B两地），试确定乙车行驶速度v km/h的取值范围； (2)当乙经过P地时， km/h； 当乙经过Q地时， km/h； 所以v km/h. 求函数解析式的4种常用求法 ⑴待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式; (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围; (4)解方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 解析　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝16，,kb＋b＝－25，)) 解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝eq \f(25,3)， 所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋eq \f(25,3). 解析:(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1， 则f(x)＝ax2＋bx＋1， f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1) ＝2ax＋a＋b＝2x. 故得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0))解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. 解:∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， ① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x. ② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x. $