17.2 用公式法分解因式-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

口数学八年级上册(人教版) 17.2 用公式法分解因式(第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】用平方差公式分解因式 两个数的，等于这两个数的与这两个数的的积. 即 $$a ^ { 2 } - b ^ { 2 } =$$ . 1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是() $$A . a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$$ $$B . 2 a - b ^ { 2 }$$ $$C . a ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 }$$ $$D . - a ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 }$$ 2.把多项式 $$1 - 4 y ^ { 2 }$$ 分解因式，结果正确的是() A.(1-2y)(1+2y) B.(2-y)(2+y) C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y) 3.计算： $$7 5 ^ { 2 } - 2 5 ^ { 2 } =$$ () A.50 B.500 C.5000 D.7100 4.已知 x+y=4，x-y=6， ，则 $$x ^ { 2 } - y ^ { 2 } =$$ 5.把下列各式分解因式： $$\left( 1 \right) 9 x ^ { 2 } - 1 6 y ^ { 2 } ；$$ $$\left( 2 \right) 1 0 0 - \left( 3 x + 2 y \right) ^ { 2 } ；$$ $$\left( 3 \right) - 1 + 1 6 x ^ { 2 } ；$$ $$\left( 4 \right) 1 6 x ^ { 4 } - y ^ { 4 } .$$ 【知识点2】先提公因式再用平方差公式分解因式 1.将多项式 $$x - x ^ { 3 }$$ 因式分解正确的是() $$A . x \left( 1 - x ^ { 2 } \right)$$ $$B . x \left( x ^ { 2 } - 1 \right)$$ C.x(1+x)(1-x) D.x(x+1)(x-1) 2.因式分解： $$\left( 1 \right) a ^ { 3 } - 4 a =$$ ； $$\left( 2 \right) a ^ { 3 } b - 9 a b =$$ ； $$\left( 3 \right) 1 6 m ^ { 3 } - m n ^ { 2 } =$$ $$\left( 4 \right) a ^ { 2 } \left( a - b \right) - 4 \left( a - b \right) =$$ . 112 因式分解 第十七章 例题点拨Q素养导向 【例】因式分解：(1)3m(2x-y)2-3mn2;(2)(a+2b)2-4(a-b)2. 【点拨】(1)当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方 差公式分解因式，若能，注意确定哪项是公式中的“α”，哪项是公式中的“b”.另外，因式 分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.(2)公式中的“α”“b”既可以是单项式， 也可以是多项式，注意本题中需先将4(a-b)2化为[2(a-b)]2,才能利用平方差公式进行因式 分解。 夯实四基达标闯关 1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是() A.a+b2 B.-d-b2 C.a2-c2-2a0 D.-4a2+b2 2.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能() A.被8整除 B.被m整除 C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除 3.一个长方形的面积是(x2-9)m,其长为(x+3)m,用含有x的整式表示它的宽为 m 4.把下列各式分解因式： (1)㎡2-462； (2)-1+0.09x2; (3)x2-b3y2; (4)x3y-4y; (5)81a4-b4: (6)x2(x-y)+y2(y-x). 企 口数学 八年级上册（人教版） 5.用简便方法计算： (1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 能力提升螂综合拓展 6.实践与探索： 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一 个长方形（如图2所示）· (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个) A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.a+ab=a(a+b) (2)请应用(1)中的等式完成下列各题： ①20232-2024x2022; ②计算：1-2×1-gx1-xx1g×1-100， 图1 图2 第6题图 中考链接©真题演练 一卡多多与 7.(2024云南)分解因式：a-9a=（） A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) 8.(2024.德州)分解因式：x2-4= 9.(2024安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x, y均为自然数)”的问题. (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： N 奇数 4的倍数 1=1202 4=22-02 3=22-12 8=32-12 5=32-22 12=42-22 表示结果 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 … 一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n= 114 因式分解 第十七章 按上表规律，完成下列问题： ①24=( )2-( )2; ②4n= (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N 不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能均为偶数 ②若x,y均为奇数，设=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2= 为4的倍数 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能均为奇数. ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数 而4n-2是偶数，矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数 由①②③可知，猜测正确 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容 @ 数学 八年级上册（人教版） 用公式法分解因式（第二课时） 知识梳理①形成联系 【知识点】完全平方式 ⊙两个多项式是两个数的 加上或减去这两个数的 这恰 是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作 填空： (1)若x2+hx+4是完全平方式，则k= (2)若x2-18xy+m是完全平方式，则m= (3)若x2-14x+m2是完全平方式，则m= (4)若9x2+6xy+m是完全平方式，则m= 【知识点2】直接运用完全平方公式因式分解 ©两个数的 加上（或减去）这两个数的 等于两个数的和（或 差)的 1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的有() A.m2-mn+n2 B.x2+4x-4 C.x2-4x+4 D.4x2-4x+4 2.因式分解： (1)x2+8x+16: (2)25a2-10a+1; (3)-4x2+12xy-9y2; (4)(x+y)2-6(x+y)+9. 【知识点3】分解因式的综合应用 因式分解： (1)x3y-2xy+y: (2）-4x3+8x2-4x; (3)4x2-(y2-2y+1); (4)(a2+4)2-16a2. 因式分解 第十七章 例题点拨Q素养导向 【例】观察下列式子： ①2×4+1=9，②4×6+1=25，③6×8+1=49，… (1)根据你发现的规律，请写出第n个等式： (2)试用所学知识说明你所写出的等式的正确性， (3)请写出第500个等式： 【点拨】(1)根据各等式的结构特征，写出第个等式.(2)问化简后的多项式是三项 式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是 这两个数（或两个式子）的积的2倍，可用完全平方公式进行因式分解，从而证明等式成立. 夯实四基飞达标闯关 EE 1.下列多项式不能用公式法分解因式的是() A.-x2+y2 B.-y2+2xy-x2 C.x2-2y+y2 D.x2+y2 2.若多项式x2-kxy+16y2是完全平方式，则常数k的值为() A.-4 B.±4 C.±8 D.8 3.下列多项式：①x2-4x+4;②9x2-3x+1;③4x2+4x-1;④25x2-20y+16y2;⑤1x2+1-x. 4 其中能用完全平方公式分解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知4x+mx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 5.若x2+8x+m2是完全平方式，则m的值是 6.因式分解： (1)462+46+1: (2)-x2+2xy-y2; (3)2x2-4x+2; (4)(m-4)(m+1)+3m. 位 口数学 八年级上册（人教版） 7.用简便方法进行计算. (1)1002-2×100x99+992; (2)342+34×32+16. 8.已知x+y=4,y=2,求x3y-x2y2+xy3的值. 能力提升睡综合拓展 -下E多多 9.阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当地进行增减项，使整 个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可 以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等. 例如：分解因式：x2-4xy-5y2 解：原式=x2-4xy+4y2-4y2-5y2, =(x2-4xy+4y2)-9y2, =(x-2y)2-9y2, =(x-2y+3y)(x-2y-3y), =(x+y)(x-5y). 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式x2+2xy-3y2. (2)已知一个长方形的长为(3a+2),宽为(2a+3),面积记为S,另一个长方形的长为 4加，宽为a+好，面积记为S,请你通过计算，比较S与S的大小.（提示：求Ss的大小） 中考链接©真题演练 -卡多多多 10.(2024·兰州)因式分解：a2-2a+1= 11.(2024.绵阳)因式分解：2x2+8x+8= 12.(2024·淄博)若多项式4x2-my+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ⊙参考答案 5.解：(1)ltx-y-51+(y-6)=0,x-y-5=0,(y 9.x(x-3)10.y(x+2 6)2-0,x-y=5,xy=6,x2+y2=(x-y)242xy=25+12=37. 17.2用公式法分解因式（第一课时) (2)a-b=2,ab=3,.a2+b2=(a-b)2+2ab=4+6=10, 【知识点1】平方差和差(a+b)(a-b) .a+b4=(a2+b2)2-2db2=(d+b2)2-2(ab)2-10-2x32-82. 1.C2.A3.C4.24 6解：阴影部分的面积为子r462bab)=产 5.解(1)原式=(3x+4y)(3x-4y). 号-，a+b=7,=60,+b=a+bP-2= (2)原式=(10+3x+2y)(10-3x-2y). (3)原式=(4x+1)(4x-1). 17120=169.原式2a46的-之b7x16926019 (4)原式=(42+y2)(42-y2)=(4x2+y2)(2x+y)· 2 7.解：(1)①<②=③<(2)2x≤x2+1 (2x-y). (3)无论x取什么值，总有2x≤x2+1. 【知识点2】1.C2.(1)a(a+2)(a-2) 理由：x2+1-2x=(x-1)2≥0,2x≤x2+1. (2)ab(a+3)(a-3)(3)m(4m+n)(4m-n) 第十七章因式分解 (4)(a-b)(a+2)(a-2) 17.1用提公因式法分解因式 【例】解：(1)原式=3m[(2x-y)2-n2]=3m 【知识点1】多项式整式乘积因式分解 (2x-y+n)(2x-y-n) 分解因式1.(1)整式乘法(2)因式分解 (2)原式=(a+2b)2-[2(a-b)]2=(a+2b)2-(2a 2b)2=(a+2b+2a-2b)(a+2b-2u+2b)=3a(4b-a). 2.D 1.D2.A3.(x-3) 【知识点2】各项公共的因式p公因式 4.(1)(a+2b)(a-2b) (2)(0.3x+1)(0.3x-1) 提公因式法1.C2.C3.A4.B5.(1)a (3)(ax+by)(ax-by) (4)y(x+2)(x-2) (2)mn(3)2y(4)7(x-y)26.(1) (5)(9d2+b2)(3a+b)(3a-b) (6)(x-y)2(x+y) 2mn(4m+1）(2)6ab2(3b2-2a-a2)(3)(b+ 5.(1)400(2)2800 c)(2a-3)(4)(a-2)(2x-3y) 6.解：(1)A 【例】解：(1)原式=6a(m-n)+3b(m-n) (2)①20232-(2023+1)(2023-1)=20232-(20232 3(m-n)(2a+b). 1)=20232-20232+1=1. (2)原式=2m(x-2)-n(x-2)=(x-2)(2m-n) ②空x字×1年9)1-00 1.D 2.(1)3(2)d(3)m-n(4)-2xy =1+21-*号-号川+41-4x 3.70 4.(1)(x-y)2(2)4(x+y)(x+2y）(3)(x-y)2. x1+91-9+001-100 (x-y-3) 5.(1)259(2)810 6.解：7a-8b=5,.原式=(3a-4b)(7a-8b)+(11a- ×18080 12b)(7a-8b)=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)(14a- 7.A8.(x+2)(x-2) 16b)=2(7a-8b)2=2x52-50. 9.解：(1)①4=4×1=(1+1)2-(1-1)2， 7.解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+ 8=4×2=(2+1)2-(2-1)2, y)]=-2y(x+y) 12=4×3=(3+1)2-(3-1)2, 当x+1,刘2时，原式-2x号x1=1 16=4×4=(4+1)2-(4-1)2, 8.解：(1)原式=(mb-2mc)+(b2-2bc)=m(b-2c)+ 20=4×5=(5+1)2-(5-1)2, b(b-2c)=(b-2c)(m+b). 24=4×6=(6+1)2-(6-1)2=72-52, (2).a2-4bc+4ac-ab=0,d2-ab+4ac-4bc-0, ∴.a(a-b)+4c(a-b)=0,∴.(a-b)(a+4c)=0. 4n=4n=(n+1)2-(n-1)2 a+4c>0,∴a-b=0,∴.a=b,△ABC的形状是等 故答案为7,5. 腰三角形 ②由①推导的规律，可知4n=4n=(n+1)P-(n-1)2, 65 数学 八年级上册（人教版） 故答案为(n+1)2-(n-1)只 1,2=-1. (2)(2k+1)2-(2m+1)2=(2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)= 当1=1时，x2-3x+2=0,故舍去.当=-1 4(k2-m2+h-m). 时，x2-3x+2≠0 故答案为4(k2-m+h-m). 综上所述，解得x=-1 17.2用公式法分解因式（第二课时)】 【知识点1】平方和积的2倍完全平方式 1B2-13-号40K758或-8 (1)±4(2)81y2(3)±7(4)3y2 6.D7-}8.x=29x≠410x=-211.0 【知识点2】平方和积的2倍平方1.C (答案不唯一) 2.(1）(x+4)2(2)(5a-1)2(3)-(2x-3y)2 181.2分式的基本性质（第一课时） (4)(x+y-3)2 【知识点1】不等于01.A2.A3.(1) 【知识点3】(1)y(x-1)2(2)-4x(x-1)月 x-Y (3)(2x+y-1)(2x-y+1)(4)(a+2)2(a-2)月 x+y 2)品3)-0 【例】解：(1)2n(2n+2)+1=(2+1)2 【知识点2】公因式约分1.B2.B (2)左边=2n(2n+2)+1=4n2+4n+1=(2n+1)2 3. 右边，.2n(2n+2)+1=(2n+1)只 3xy (3)1000x1002+1=10012. 【知识点3】1.C2.m4+地 m+1 1.D2.C3.B4.±125.±4 【例1】12x+2y解析：将分式的分子和分母 6.(1)(2b+1)2(2)-(x-y)2(3)2(x-1)2 (4)(m+2)(m-2) 7.(1)1(2)2500 同时乘以6，得到244包 12x+2y,故答案为 5x-6y 8.解：原式=y(2-xy+y2)=y[(x+y)P-3xy]. 6 x+y=4,xy=2,.原式=2×[42-3x2]=2×10=20. 12x+2y 9.解：(1)x2+2xy-3y2=x2+2xy+y2-4y2-(+yP-(2y2- 【例2】B解析：-2=2==2，故 -1-(x-1)1-元 (x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y）. (2)S=(3a+2)(2a+3)=6d+9a+4a+6=6d+13a+6, A正确，不符合题意；-2-=-(2-x)=-2+x x-1x-1x-11 S:dalat)-o+1a, 故B不正确，符合题意；-2==(2-)--2 ∵.S1-S2=(6a2+13a+6)-(4a2+17a)=6d+13a+6-4d x-1x-1x-1 17a=2a2-4a+6=2(2-2a+1+2)=2(a-1)2+4>0,.S>S. 变形正确，C不符合超意：一告二骨 10.(a-1)211.2(x+2)212.±12 x-2 第十八章分式 ,变形正确，D不符合题意；故选B 1-x 18.1分式及其基本性质 1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.C 18.1.1从分数到分式 8.(1)ab(2)a2-2ab+b2(3)x+2x+2 【知识点1】整式字母分子分母1.D: (4)x-2 (5)1 (6)+y x-Y 2.B 9.3a+5b 【知识点2】≠01.D2.C3.A 2a-10b 10. 1 x-4x+1 【知识点3】1.C2.A 11.2x+2 2x-2 12.a≠±1 【例1】B解析：式子3a-b,7,1 2m 13.(1)-2x-1 x-1 (2)-22+1 x-2 3) 点学中是分式的有端，子点 2m 无’话，小分 14解：（①“4,4即1+ 式有3个，故选B 1=4,4=5. 【例2】解：根据题意，得x-1=0.解得=