16.3 乘法公式-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级上册（人教版】 16.3乘法公式 4y2(2）4m244m+1 (3)42-2*+日 (4)16x+ 16.3.1平方差公式 【知识点1】和差平方差a2-b21.C 8x2+1 2.A3.(1）42-25b2(2)9x2-16y7 【知识点2】(1)39601 (2)2525 16 【知识点2】(1)3999999(2)p-9 【例】解：(1)阴影部分是边长为a-b的正 【例】解：(1)a-b=3,a2-b2=21,即(a+ 方形，故答案为a-b. b)(a-b)=21,∴.a+b=7. (2)题图2整体是边长为a+b的正方形，因 (2)如图，将图1沿着虚线裁剪可以拼成图 此面积为(a+b)2,题图2各个部分的面积和为 2的长方形，图1中阴影部分的面积可以看作两 (a-b)2+4ab,∴.有(a+b)2=(a-b)2+4ab. 个正方形的面积差，即-b2,拼成的图2是长为 (3)….m+n=8,m2=12, a+b,宽为a-b的长方形，因此面积为(a+b)(a- ∴.(m-n)2=(m+n)2-4mn=64-48=16,.m-n=±4. b),.有a2-b2=(a+b)(a-b), 1.C2.C3.② (3)原式=2x1号1+号x1+2x1+ 4.(1)）9a2-6ab+b2(2)9m2+24mn+16n2 x1+xx1+是 (3)2++号（4）-2x-5 16 56号b圣 4 -2x1-2x1+2×1+2)×1+2x…× 6.解：(1)32-4x12=5①；52-4×22=9②；7下-4× 1+是 32=13③… .第4个等式：92-4×42-17.故答案为4,17. =2x1-2×1+2x1+2xx1+是 (2)第n个等式为(2n+1)2-4n2-4n+1, 左边=(2n+1)2-4n2-4n2+4n+1-4m2=4n+1, 2x13×1+2x…x1+是 右边=4n+1, 左边=右边，.(2n+1)2-4n2-4n+1. -2x120 7.解：(1)方法1：两个正方形的面积和，即 2+b2. 方法2：大正方形的面积减去两个长方形的面积， D 即(a+b)2-2ab,故答案为d2+b2,(a+b)2-2ab. G (2)根据方法1与方法2所表示的面积相等得， d2+b2=(a+b)2-2ab. (3)7w3,y6.又(x+y-25,42 图1 图2 (x+y)2-2xy=25-12=13. 例题答图 8.D9.29 1.D 16.3.2完全平方公式（第二课时） 2.(1)25x2-4y2(2)-64+4962 【知识点】不变改变1.D2.53.(1) 3.(1)x-2(2)-x+2y 2b-c (2)b+c-d (3)b-cb-c 4(1)）9-462(2)-9+4b 【例】解：(1)原式=[x+(0-2)]:[x-(y-2)] =2-(y-2)2=2-y244y-4. 5.化简，原式=1-2x,代入=1012，原式=-2023. (2)原式=[(2x-y)-32=(2x-y)2-6(2x-y)+9= 6.D7.C8.b2-a2 4x2-4y+y212x+6y+9. 16.3.2完全平方公式（第一课时） 1.D2.C3.-16 【知识点1】平方平方和积的2倍± 4.(1)x2-2mx+m2+42-4x-4n（2）4n2-m2+ 2ab+b21.D2.D3.③④4.(1)9x2-12y+ 2m-1(3)102+12xy(4)x4-82+16 64 参考答案 5.解：(1)ltx-y-51+(y-6)=0,x-y-5=0,(y 9.x(x-3)10.y(x+2 6)2-0,x-y=5,xy=6,x2+y2=(x-y)242xy=25+12=37. 17.2用公式法分解因式（第一课时) (2)a-b=2,ab=3,.a2+b2=(a-b)2+2ab=4+6=10, 【知识点1】平方差和差(a+b)(a-b) .a+b4=(a2+b2)2-2db2=(d+b2)2-2(ab)2-10-2x32-82. 1.C2.A3.C4.24 6解：阴影部分的面积为子r462bab)=产 5.解(1)原式=(3x+4y)(3x-4y). 号-，a+b=7,=60,+b=a+bP-2= (2)原式=(10+3x+2y)(10-3x-2y). (3)原式=(4x+1)(4x-1). 17120=169.原式2a46的-之b7x16926019 (4)原式=(42+y2)(42-y2)=(4x2+y2)(2x+y)· 2 7.解：(1)①<②=③<(2)2x≤x2+1 (2x-y). (3)无论x取什么值，总有2x≤x2+1. 【知识点2】1.C2.(1)a(a+2)(a-2) 理由：x2+1-2x=(x-1)2≥0,2x≤x2+1. (2)ab(a+3)(a-3)(3)m(4m+n)(4m-n) 第十七章因式分解 (4)(a-b)(a+2)(a-2) 17.1用提公因式法分解因式 【例】解：(1)原式=3m[(2x-y)2-n2]=3m 【知识点1】多项式整式乘积因式分解 (2x-y+n)(2x-y-n) 分解因式1.(1)整式乘法(2)因式分解 (2)原式=(a+2b)2-[2(a-b)]2=(a+2b)2-(2a 2b)2=(a+2b+2a-2b)(a+2b-2u+2b)=3a(4b-a). 2.D 1.D2.A3.(x-3) 【知识点2】各项公共的因式p公因式 4.(1)(a+2b)(a-2b) (2)(0.3x+1)(0.3x-1) 提公因式法1.C2.C3.A4.B5.(1)a (3)(ax+by)(ax-by) (4)y(x+2)(x-2) (2)mn(3)2y(4)7(x-y)26.(1) (5)(9d2+b2)(3a+b)(3a-b) (6)(x-y)2(x+y) 2mn(4m+1）(2)6ab2(3b2-2a-a2)(3)(b+ 5.(1)400(2)2800 c)(2a-3)(4)(a-2)(2x-3y) 6.解：(1)A 【例】解：(1)原式=6a(m-n)+3b(m-n) (2)①20232-(2023+1)(2023-1)=20232-(20232 3(m-n)(2a+b). 1)=20232-20232+1=1. (2)原式=2m(x-2)-n(x-2)=(x-2)(2m-n) ②空x字×1年9)1-00 1.D 2.(1)3(2)d(3)m-n(4)-2xy =1+21-*号-号川+41-4x 3.70 4.(1)(x-y)2(2)4(x+y)(x+2y）(3)(x-y)2. x1+91-9+001-100 (x-y-3) 5.(1)259(2)810 6.解：7a-8b=5,.原式=(3a-4b)(7a-8b)+(11a- ×18080 12b)(7a-8b)=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)(14a- 7.A8.(x+2)(x-2) 16b)=2(7a-8b)2=2x52-50. 9.解：(1)①4=4×1=(1+1)2-(1-1)2， 7.解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+ 8=4×2=(2+1)2-(2-1)2, y)]=-2y(x+y) 12=4×3=(3+1)2-(3-1)2, 当x+1,刘2时，原式-2x号x1=1 16=4×4=(4+1)2-(4-1)2, 8.解：(1)原式=(mb-2mc)+(b2-2bc)=m(b-2c)+ 20=4×5=(5+1)2-(5-1)2, b(b-2c)=(b-2c)(m+b). 24=4×6=(6+1)2-(6-1)2=72-52, (2).a2-4bc+4ac-ab=0,d2-ab+4ac-4bc-0, ∴.a(a-b)+4c(a-b)=0,∴.(a-b)(a+4c)=0. 4n=4n=(n+1)2-(n-1)2 a+4c>0,∴a-b=0,∴.a=b,△ABC的形状是等 故答案为7,5. 腰三角形 ②由①推导的规律，可知4n=4n=(n+1)P-(n-1)2, 65整式的乘法 第十六章 16.3 乘法公式 16.3.1平方差公式 知识梳理①形成联系 卡卡多多 【知识点】平方差公式 ⊙两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 即(a+b)(a-b) 1.计算(a+2)(a-2)的结果是( A.a2-2 B.2+2 C.a2-4 D.a2+4 2.在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是() A.(a-b)(-a+b) B.(m3-n3)(m3+n3) C.(-7-x)(7-x) D.(x2-y2)(y2+x2) 3.计算： (1)(2a+5b)(2a-5b); (2)(4y+3x)(3.x-4y) 【知识点2】平方差公式的应用 运用平方差公式计算： (1)2001x1999; (2)(p+9)(p2+q)(p-9). 例题点拨Q素养导向 【例】如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形 CGEF. (1)若a-b=3,a2-b2=21,求a+b的值. (2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式. (3)计算：1+x1+x1+2x1+2xx1+ 图16.3-1 【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的 99 口数学 八年级上册（人教版） 关键.(1)根据a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算即可.(2)利用裁剪拼图得出平方差公式即可. (3)将原式化为2x1-1+×1+2×1+2×1+2xx1+2,再连续利用平方差 公式进行计算即可. 夯实四基心达标闯关 多多 1.计算结果为名-96的是（) Bat36a-3b c.云a436号a-3b D.号3b号a-3 2.计算：(1)(5x-2y)(2y+5x)= (2)-(8a+7b)(8a-7b)= 3.填上适当的代数式，使等式成立 (1)(x+2)( )=x2-4; (2)()(-x-2y)=x2-4y2 4.计算： (1)(2b-3a)(-2b-3a); (2)-3a2613a-2b 5.先化简，再求值：x(x-2)-(x+1)(x-1),其中x=1012. @ 整式的乘法 第十六章 能力提升睡综合拓展 6.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图 形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方 差公式的是() ① ③ 第6题图 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 中考链接©真题演练 7.(2024·黑龙江)下列计算正确的是() A.a'.d=a B.(a2)5=a C.(-2cb)3=-8ab3 D.(-a+b)(a+b)=2-b2 8.(2024·上海)计算：(a+b)(b-a)= 0 口数学 八年级上册（人教版） 16.3.2完全平方公式（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】完全平方公式 ©两个数的和（或差）的 ，等于它们的 ，加上（或减去）它们的 即(a±bP= 1.下列计算正确的是() A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-22 D.(-x+y)）2=x2-2xy+y2 2.如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值是() A.9 B.-9 C.9或-9 D.18或-18 3.下列各式：①(a+b)(a+c);②(x+y)(-y+x);③(ab-3x)(-3x+ab);④(-m-n)(m+n). 其中可以运用完全平方公式计算的有 4.运用完全平方公式计算： (1)(3x-2y)2; (2)(-2m-1)2: (3)-2+ (4)(-4x2-1)2. 【知识点2】完全平方公式的运用 运用完全平方公式简便计算： (1)1992: (2) 5043 @ 整式的乘法 第十六章 例题点拨Q素养导向 【例】图1是一个长为2a、宽为2弘的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四块小长方 形，然后按图2形状拼成一个正方形. (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ·(用含a,b的式子表示)》 (2)观察图2，用一个等式表示(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系： (3)根据(2)中的等量关系，解决如下问题：若m+n=8,mn=12,求m-n的值 【点拨】本题考查完全平方、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式 的结构特征是正确解答的前提.本题的(3)中，已知m与n的和、积，求m与n的差，满 足(2)的关系模型，直接代入(2)结论，即可解决问题 图1 图2 图16.3-2 夯实四基达标闯关 一s多多修多 1.(-x2-y)2等于（) A.-x2-2xy+y2 B.-x4-2x3y+y2 C.x+2xy+y2 D.x+-2xy-y2 2.若(x+y)2-M=(x-y)2,则M为() A.2xy B.±2xy C.4xy D.±4xy 3.下列各式：①6-4ar-b-16c;②2b2-子d+ab+b2:③(4m-n=l16m4mn+n: ④(--b)2-a2-2b+b2.其中计算正确的是 (填序号) 4.计算： (1)(-3a+b)2; (2）(-3m-4n)2; (4)(x+2)(x-2)-(x+1)2 c 口数学 八年级上册（人教版） 5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求2+b2和ab的值. 能力提升睡综合拓展 -卡多多 6.观察下列关于自然数的等式： 32-4×12-5①；52-4x22=9②；72-4×32=13③… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第4个等式：92-4× 2= (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性. 7.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积. 方法1： ；方法2： (2)从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论： (3)运用你所得到的结论，解决问题：已知(+y)-25,=3,求4的值。 a- 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2024成都)下列计算正确的是() A.(3x)2=3x2 B.3x+3y=6xy C.(x+y)2=x2+y2 D.(x+2)(x-2)=x2-4 9.(2024·乐山)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= 104 整式的乘法 第十六章 16.3.2完全平方公式（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】添括号 ©添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 符号；如果括号前面 是负号，括到括号里的各项都 符号 1.对多项式3a+4b-c进行添括号，正确的是（) A.3a+(46+c) B.3a-(4b+c) C.3a+4(b-c) D.3a-(-4b+c) 2.已知2a-3b2=5,则10-2a+3b2的值是 3.在括号里填上适当的项： (1)a+2b-c=a+( )； (2)a-b-c+d=a-( ); (3)(a+b-c)(a-b+c)=[a+( )][a-( )] 例题点拨Q素养导向 【例】计算：(1)(x+y-2)(x-y+2)；(2)(2x-y-3)2. 【点拨】(1)x的符号相同作为平方差公式中的“a”,而y与-y,-2与2符号相反，则 需添括号一起作为平方差公式中的“b”,再利用平方差公式求解.(2)观察形式符合完全平 方公式模型，通常为了方便，我们任意选择两项作为完全平方公式中的“α”，另一项则作为 完全平方公式中的“b”，先后进行两次完全平方公式的运算即可. 夯实四基L达标闯关 1.为应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须先适当变形，则下列各变形正确的是 A.[(a+c)-b][(a-c)+b] B.[(a-b)+c][(a+b)-c] C.[(b+c)-a][(b-c)+a] D.[a-(b-c)][a+(b-c)] 105 口数学 八年级上册（人教版） 2.如果4a-Nab+81b2是一个完全平方式，则N等于（） A.18 B.±18 C.±36 D.±64 3.若a+b=-3,则(a+b-1)(1-a-b)的值为 4.计算： (1)(x-m+2n)2: (2)(m+2n-1)(-m+2n+1): (3)(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y）; (4)[(x+2)(x-2)]2. 5.阅读下列材料并解答下面的问题：利用完全平方公式(a±b)2=a±2ab+b2,通过配方可 对a2+b2进行适当的变形，如a2+b=(a+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+2ab. (1)若1x-y-51+(y-6)2=0,则x2+y2的值为. (2)已知a-b=2,ab=3,求a+b4的值 @ 整式的乘法 第十六章 能力提升坤综合拓展 6.如图，两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=17,ab=60,求阴影部分的面积. 第6题图 7.用“=”或“≠”填空： (1)比较2x与x2+1的大小： ①当x=2时，2xx2+1;②当x=1时，2xx2+1;③当x=-1时，2xx2+1. (2)通过上面的填空，猜想2x与x+1的大小关系为 (3)无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由 0