15.3 等腰三角形-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级上册（人教版） 3.(1)证明：直线ME为线段AB的垂直平分 由图可知A(2,-4),B(1,-1): 线，NF为AC的垂直平分线，：AM=BM,AN=CN (2)5a-2x37x12-7×12-7×1x3=3 ∴.△AMW的周长=AM+MWN+AN=BM+MN+CN=BC. (2)解：在OA,OB上确定C,D两点，使△PCD的 9.解：(1)：点A在第一象限，点A关于x轴 周长最短，如图所示 对称的点在第四象限.故答案为x (2)如图所示，△A'BC即为所求 (3)如图所示，点P即为所求 第3题答图 1-6-5-4-$-2-1山012__67 4.解：(1)如图，△A"BC"为所求.(2)∠BDB= 2∠EDF.理由如下：△ABC与△A'B'C关于DE对称 ∠BDE=∠BDE.△A'BC与△A"B"C"关于DF对称， .∠BDG=∠B"DG,.∠BDB"=360°-（∠BDE-∠B'DE ∠B'DG-∠B'DG)=360°-(2∠B'DE-2∠B'DG)=360°- 第9题答图 2∠EDG=360°-2(180°-∠EDF)=2∠EDF 10.A11.B 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形（第一课时） 【知识点】底角等边对等角底边上的中 线高顶角平分线三线合一1.B2.C 3.B 【例】C 1.D2.C3.D4.15° 第4题答图 5.解：CA=CB,∴.△ABC是等腰三角形.∠B= 15.2画轴对称的图形（第二课时) 42°，.∠A=∠B=42°，∠ACB=96°.又D是AB的中 【知识点】(x,y)(-x,y)1.D2.A 点，即CD是底边AB上的中线，.CD平分∠ACB. 【例】解：：点A(a+b,a-b),B(2b-1, ∠1W-号∠ACB48 3a+7)关于x轴对称，∴ a-26-1，解得2. 6.A7.C8.75°或15°9.72° 1a-b+3a+70, b=-1. 10.40°或100°或70°或209 即a=-2,b=-1. 1.D2.A3.(-4,3)4.-8-25.A 1山.解：AD1BC,AB=AC,∠DAC=号∠BAC 6.-27.8(答案不唯一) ∠BAC=48°，.∠DAC=24°.AD=AE,.∠ADE= 8.解：(1)如图所示，△ABC,即为所求 ∠AED=7×180-240)=78.∠ADC=90,∠EDC 90°-78°=12° 12.解：设∠DAE=x°，则∠BAC=2x°，AB=AC, ∠ABG=∠ACB=号×180-2x)-90°-.BD平分 ∠ABC,∠ABE=3∠ABC=45o-子ME1BD, ∠ABE+LBME=90.,45°-号+2x+=90°，x=18. 第8题答图 58 参考答案 ∴∠DAE=18°. GF=LDE.又AG⊥DE,BE⊥DE,∠AGF=∠BEE 13.证明：AB=AC,,∠B=∠C.在△BEF与 2 ∠B=∠C, 又F为AB的中点，AF=BF在△AGF与△BEF中， △CFH中， BE=CF, .∴.△BEF≌△CFH ∠AGF=∠BEF, ∠BEF=∠CFH. ∠AFG=∠BFE,.△AGF≌△BEF(AAS),∴.EF=FG, (ASA).EF=FH.M是EH的中点，FM⊥EH. AF-BF. 14.B15.C ∵DF=2FE. 16.解：(1)AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分 11.解：(1)B0平分∠ABC,C0平分∠ACB, AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE.∠B=∠AEB=70°， .∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB.MN∥BC,∴.∠MOB= ∴∠C=7∠AEB=35.(2)△ABC的周长14cm, ∠OBC,∠NOC=∠OCB,.∴∠MBO=∠MOB,∠NOC= ∠NCO,∴BM=OM,CN=OW,∴.△BMO,△CNO是等 AC=5 cm,.AB+BC=9 cm,.'AB+BE+EC=9 cm, 腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO,△CNO.MN 2DE+2EC-9emDE+EC=号em,DC-DE+bC-号cm 与BM,CN之间的关系是MN=BN+CN.(2)BQ平 分∠ABC,C0平分∠ACB,.∠MBO=∠OBC,∠NCO= 15.3.1等腰三角形（第二课时） ∠OCH.OM∥BC,∴.∠MOB=∠OBC,∠NO=∠OCH. 【知识点1】角等角对等边1.B2.C ∴.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO..∴BM=OM,CN=ON 3.D .△BMO,△CNO是等腰三角形，即图中等腰三角形 【知识点2】3 有△BMO,△CNO.MN与BM,CW之间的关系是MN 【例】解：B0平分∠ABC,.∠ABO= BN-CN. ∠CBO.,EF∥BC,∴，∠EOB=∠OBC,∴.∠EOB= 12.2 ∠EBO,BE=OE.同理可证CF=OF,EF=BE+ 15.3.2等边三角形（第一课时） CF..EF=5.BE=2...CF-EF-BE=3. 【知识点1】角每一个角60°1D2.D 1.C2.B3.54.60 【知识点2】角一个角是60°D 5.证明：AE∥BC,.∠DAE=∠B,∠EAC=∠C 【例】解：(1)AP⊥CD,理由如下：： AE是△ABC外角的平分线，∠DAE=∠EAC,. ∠ACB=90°，∠CMD=60°，∴.∠B=30°，AB= ∠B=∠C,.AB=AC,即△ABC是等腰三角形 24C.BD=AC,AD=AC,∴.△MDC是等边三角 6.107.4或128.4 形.P是CD的中点，∴AP⊥CD 9.解：如图，延长AE 交BC于点FBD平分 (2)DE∥AC,∴∠C4P=∠DEP,CP-DP, ∠ABC,.∠ABE=∠FBE. ∠CPA=∠DPE,.△CPA≌△DPE(AAS), 在△ABE和△FBE中， 第9题答图 .AP=EP=1AE,DE=AC,.BD=AC,:.BD=DE, 2 I∠AEB=LFEB=90°， 又DE∥AC,∴.∠BDE=∠CAD=60°，△BDE是 BE=BE」 .△ABE≌△FBE(ASA),.AE= ∠ABE=∠FBE, 等边三角形，BD=BE,∠EBD=60°，BD=AC, AC=BE,AB=AB,∴，△CBA≌△EAB(SAS), ER,AB=BF-4,∠BMF∠B1=7×180-64)-58 ∴.BC=AE=24P ∠C=29°，∴.∠CAF=∠AFB-∠C=29°，.∠CAF=∠C, 1.D2.C3.24.12 .AF=CF..BC=10,..CF=BC-BF-6,.AF-6,.AE=3. 5.证明：△ABC是等边三角形，.∠A=∠B= 10.证明：(1)AB=AC, ∠C=60°，AB=BC=AC.AD=BE=CF,∴.BD=CE=AF在 ∴.∠B=∠C..ED⊥BC,∴.∠D+∠C AD=BE, 90°，∠B+∠BFE=90°，∴.∠D= △ADF和△BED中， {∠A=∠B,·.△ADF≌△BED ∠BFE..·∠DFA=∠BFE,.∴.∠D= A F-BD. ∠AFD,AD=AF,△ADF是等 (SAS),DF=DE.同理DE=EF,DE=DF=EF, 腰三角形.(2)过点A作AG1 △DEF是等边三角形. DE于点G,AD=AF,AG⊥DF, 6.(1)证明：：∠ADB=120°，∴.∠ADB+∠ADC= 第10题答图 数学 八年级上册（人教版） 180°，∠ADC=180°-∠ADB=180°-120°=60°.AE1 13.证明：(1)如图1，在等边三角形ABC中， BC,∠AEC=90°.∴∠C+∠CAE=90°.LCAE=30°， AB=BC=AC,∴.∠ABC=∠ACB=∠A=60°.E是AB的 ∠C=90°-∠CAE=90°-30°=60°，∴.∠ADC=∠C=60°， AD=AC,.△ACD为等边三角形.(2)解：由(1) 中点，AE=B服AE-8D,BE-8D,∠E0B= 得∠C=60°，：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=1∠ABC=30°，∠EDB= 2 ∠B=40°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°. ∠ECB,EC=ED.(2)如图2，EF∥BC, 7.40°8.A9.410.80° ∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，.△AEF为等 1L.证明：(1)AB=AC,AD⊥BC,∠BAD= 边三角形.(3)EC=ED.理由：∠AFE=∠ABC= ∠DAC=∠BMC∠BMC=I20,∠BMD=∠DAC= 60°，.∠EFC=∠DBE=120°.AB=AC,AE=AF,∴AB 子X120-60.a0=4,:△40D是等边三角形. AE=AC-AF,即BE=FC.在△DBE和△EFC中， DB=EF. (2):△ABD是等边三角形，∴.∠ABD=∠ADB=60°， ∠DBE=∠EFC,.∴.△DBE≌△EFC(SAS),.ED=EC. BD=AD.:∠EDF=6O°，.∠ADB=∠EDF.∴.∠ADB- BE=FC. ∠ADE=∠EDF-∠ADE,∴.LBDE=∠ADF在△BDE与 ∠DBE=∠DAF=6O°， △ADF中， BD=AD. .△BDE≌△ADF ∠BDE=∠ADF, (ASA),..BE=AF. 12.解：(1)设点M,N运动xs时，M,N两点 图1 图2 重合，x1+12=2x,解得x=12.(2)设点M,N运动 第13题答图 ts时，可得到等边三角形AMN,如图1，AM=×1=t, 14.（1)证明：在△ABC和△ADE中， AN=AB-BN=12-2t,△AMN是等边三角形，t=12- BC=DE, 2t,解得t=4.点M,N运动4s时，可得到等边三角 ∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(SAS). 形AMN.(3)当点M,V在BC边上运动时，可得 AB=AD, 到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12s时M, (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE,.AC=AE, N两点重合，恰好在C处，如图2，假设△AMN是等 LBAC=∠DAE=6O°，.∠AEC=∠ACE.∠AEC+ 腰三角形，AN=AM,.∠AMN=∠ANM,.∠AMC= ∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°，.∠ACE=60°， ∠ANB.:AB=BC=AC,.△ACB是等边三角形，.∠C= ∠ACE的度数是60° ∠AMC=∠ANB, 15.3.2等边三角形（第二课时） ∠B.在△ACM和△ABN中，.{∠C=∠B, 【知识点】直角边斜边的一半1.C2.C AC=AB. 【例】解：过点F作FH⊥BC,垂足为H,连 .△ACM≌△ABN(AAS),.CM=BN.设当点M,N在 接DF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30° BC边上运动时，M,N运动的时间为ys时，△AMN AC=2,.∴AB=24C=4.EF垂直平分AD,.AF= 是等腰三角形，.CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,y- 、 DF若要使BF最大，则AF需要最小，设AF=x, 12=36-2y.解得y=16,故假设成立..当点M,N在 BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形 则F4,∠B=30,H=号8F=2-号 , AMN,此时M,N运动的时间为16s. ≥2宁，解得≥号，AF的最小值为 3 B即的最大值为4青号 1.B2.B3.6 4.(1)证明：点F在BC的垂直平分线上， 图1 图2 ∠C=30°，FB=FC,.∠FBC=∠C=30°，.∠AFE= 第12题答图 ∠FBC+∠C=60°.AD⊥BC于点D,∠FBC=30°， 60 参考答案 ∠BED=90°-∠FBC=60°，.∠AEF=∠BED=60°，. AE=BE=号AB,BC=BE,△EBC是等边三角形， △AEF为等边三角形 (2)解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， (2)结论：AD=DG+DM.证明：如图2所示，延 .∠ABC=60°，AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=90°- 长ED使得DW=DM,连接MW,:∠ACB=90°，∠A= ∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=1,∠BAD=30°， 30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E, AB=2BD=2,在Rt△ABC中，AB=2,∠C=30°， .∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD.又DM=DW, ·BC=2AB=4,∴.CD=BC-BD=4-1=3. △WDM是等边三角形，.MW=DM.在△WGM和 5.A6.10或16 ∠W=∠MDB, 7.解：如图所示，过点 △DBM中，MW=DM, .△WGM≌△DBM, 入 C作CH⊥AB于点H, ∠WMG=∠DMB, ∠AHC=90°，∠BDC=60°， .BD-W G=DG+DM..AD=DG+DM. .∠DCH=30°，.CD=16, 夕 D D DH=1CD=8,EF⊥CD 2 .∠GFD=∠EFC=90°， B 在△AHC和△CFE中， 第7题答图 ∠AHC=∠CFE. ∠A=∠BCD,.·.△AHC≌△CFE(AAS),.·AH=CF, 图2 图3 AC=CE 第9题答图 .·∠BDC=60°，∠DFG=90°，.∠DGF=30°，.DG=2DF, (3)结论：AD=DG-DN理由：如图3所示，延长 设DF=x,则DG=2DF=2,CF=CD-DF=16-x,:DG: BD至点H,使得DH=DN.由(I)得DA=DB,∠A= AD-8:5.AD-DG-AH-ADDH.AH-CF. 30°.DE⊥AB于点E,.∠2=∠3=60°，.∠4=∠5= 8 60°，.△NDH是等边三角形，.NH=ND,∠H=∠6= 子416，学8，解得x号0r号 9 60°，.∠H=∠2.∠BNG=60°，.∠BNG+∠7=∠6+ 8.解：(1)∠BQM=60°.理由：：△ABC是等边 ∠7，即∠DNG=∠HNB.在△DNG和△HNB中， 三角形，：AB=BC,∠ABC=∠C=60°.在△ABM和 ∠DNG=∠HNB. AB=BC. DN=HN, .△DNG≌△HNB(ASA),.DG= △BCN中， ∠ABM=∠C,.△ABM≌△BCN(SAS), ∠2=∠H, BM=CN, HB..HB=HD+DB-ND+AD,.DG=ND+AD,.AD=DG- ∴.∠BAM=LCBN,∴.∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB= ND. 180°-∠ABC=120°，∴.∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB)= 综合与实践最短路径问题 60°. 1.C2.B (2)成立.理由：△ABC是等边三角形，AB= 3.解：如图，点P即为所求 BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， 沿AP一PB路线铺设管道，管道长度最短. A B=BC, B ∠ABM=∠ACB,.△ABM≌△BCN(SAS),.∠BAM= BM=CN, ∠CBN,∴.∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°- ∠ABC=120°，..∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB)=60° 9.(1)证明：如图1所示， 第3题答图 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 4.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,过点E ∠A=30°，.∴∠ABC=60°，BC= 作EP⊥AC于点P,连接FP,∠ACB=30°，∠FAC= ABBD平分∠ABC, 60°.在等边三角形ADE中，∠DAE=60°=∠FAC,AD= 图1 AE,·.∠DAE-∠DAC=∠FAC-∠DAC,即∠FAD= ∠DBC=∠DBA=∠A=30°，.DA=DB.DE⊥AB于点E,数学 八年级上册（人教版） 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】等腰三角形的性质 ©性质1：等腰三角形的两个 相等（简写成“ ◎性质2：等腰三角形的 及 重合（简写成 ”) 1.若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则该三角形的周长是() A.13 B.17 C.13或17 D.20 2.等腰三角形的一个角为110°，则顶角的度数为（() A.35° B.70° C.110° D.70°或110° 3.如图15.3-1，△ABC的周长是14，AB=AC=5,AD1BC,则BD等于 A.1 B.2 C.3 D.4 图15.3-1 例题点拨Q素养导向 【例】如图15.3-2，在△ABC中，AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E, 若CD=4,且△BDC的周长为24，则AE的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 【点拔】解决此题关键在于根据等腰三角形的性质得出AE=】AB,故要求 图15.3-2 AE,只需求出AB,即AC的长 夯实四基飞U达标闯关 1.等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是() A.40° B.70° C.100° D.40°或1009 2.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为(） A.11 B.13 C.11或13 D.12或13 62 轴对称 第十五章 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长 线于点D,连接BD,若∠A=32°，则∠CDB的大小为() A.30 B.45° C.50° D.37° 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=BC,D是BC边上一点，AD=AC,若∠B=50°，则∠BAD= 5.如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数， 第5题图 能力提升综合拓展 6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,若∠BDA=90°，∠BAD=68°， 则∠CAD的度数为() A.24° B.28 C.34° D.38° 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点G,DM∥BC交∠ABC的外 角平分线于点M,分别交AB,AC于点F,E,下列结论正确的是() A.EF-ED B.FD=BC C.EC=MF D.EC=AG 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 9.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E在槽中 滑动，若∠BDE=81°，则∠CDE的度数为 图1 图2 第6题图 第7题图 第9题图 63 口数学 八年级上册（人教版） 10.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当 △ABD为等腰三角形时，∠ADB= 11.如图，在△ABC中，AD1BC,AB=AC,∠BAC=48°，且AD= C AE,求∠EDC的度数. 第10题图 第11题图 12.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE⊥BD交 延长线于点E.若∠BAC=2∠DAE,求∠DAE的度数. 第12题图 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BEF=∠CFH,BE=CF,M是EH的中点. 求证：FM⊥EH, 第13题图 的 轴对称 第十五章 中考链接©真题演练 14.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°， DA⊥AC,则∠ADB=() B D A.100° B.115 C.130° D.145° 第14题图 15.(2024云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为 3,则点F到直线AC的距离为() A多 B.2 C.3 D 16.(2023·永吉)如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC 于点E,且BD=DE,连接DE. (1)若∠B=70°，求∠C的度数 (2)若△ABC的周长为14cm,AC=5cm,求DC的长. 3 D E 第16题图 65 口数学 八年级上册（人教版） 15.3.1等腰三角形（第二课时) 知识梳理四形成联系 【知识点1】等腰三角形的判定 ©有两个 相等的三角形是等腰三角形（简写成“ 1.如图15.3-3，在△ABC中，∠B=∠C,AB=3,则AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列能断定△ABC为等腰三角形的是() 图15.3-3 A.∠A=30°，∠B=609 B.AB=AC=2,BC=4 C.∠A=50°，∠B=80° D.AB=3,BC=7,周长为13 3.如图15.3-4，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,CD平分∠ACB,则 图中等腰三角形共有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 图15.3-4 【知识点2】等腰三角形的性质与判定 如图15.3-5，在△ABC中，AB=AC,∠A=80°，CD是角平分线， DE∥BC,交AC于点E,若CE=3,则DE= 图15.3-5 例题点拨Q素养导向 【例】如图15.3-6，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F当EF=5,BE=2时，求CF的长 【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质的综合应用，结合角平分线和线的平行 得到BE=EO,CF=OF是解决问题的关键 图15.3-6 66 轴对称 第十五章 夯实四基达标闯关 1.如图，已知点D在射线BC上运动，∠ABC=40°，当∠A=()度时，△ABD为等 腰三角形. A.20或40或70 B.40或100 C.40或70或100 D.100或70或40或20 北 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.在如图的3×3正方形网格中，A,B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小 方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D,DE∥BC交AC于点E,若 DE=2,AE=3,则AC= 4.如图，轮船在小岛0处测得灯塔A位于小岛0的北偏东40°方向.若轮船沿正南方向 航行，且航行速度为60 nmile/h,1h后到达小岛B,此时测得灯塔A船位于小岛B的北偏 东20°方向，则小岛O与灯塔A的距离OA为 nmile. 5.已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC.求证：△ABC是等腰三角形 第5题图 能力提升螂综合拓展 卡多多每 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,DC=AB,BF平分∠ABC, 交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则AD的长 为 第6题图 67 口数学 八年级上册（人教版） 7.如图，∠AOB=60°，C是B0延长线上一点，OC=12cm,动点P从 点C出发沿CB以2cms的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cms 的速度移动，如果点P,Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当=CPO s时，△POQ是等腰三角形 第7题图 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD于点D,DE∥AC 交AB于点E,若AB=8,则DE= 9.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC,过点 A作AE⊥BD于点E.若∠ABC=64°，∠C=29°，AB=4,BC=10,求AE的长. 第8题图 第9题图 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F (1)求证：△ADF是等腰三角形. (2)在(1)的条件下（如图2），F为AB的中点.求证：DF=2FE. 1 图2 第10题图 68 轴对称 第十五章 1L.在△ABC中，AB≠AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,MN经过点O,分别与 AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC. (1)如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM,CN之间有怎样的数 量关系，并说明理由 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线B0与三角形外角平分线CO交于点O,过 点O作OM∥BC交AB于点M,交AC于点N.图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它 们.写出MN与BM,CN之间的数量关系，并说明理由. 图1 图2 第11题图 中考链接⑦真题演练 -B多多多 12.(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD D 平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 第12题图 69 数学 八年级上册（人教版） 15.3.2等边三角形（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】等边三角形的性质 ◎等边三角形的三个 都相等，并且 都等于 1.如图15.3-7，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD,则下 列结论错误的是() A.∠CED=30° B.∠BDE=120° C.DE=BD D.DE=AB 图15.3-7 图15.3-8 2.如图15.3-8，BE是等边△ABD的中线，作BCLAB,交AD的延长线于点C.若CE= 6,则AB的长为() A.8 B.6 C.5 D.4 【知识点2】等边三角形的判定 ⊙三个 都相等的三角形是等边三角形 ⊙有 的等腰三角形是等边三角形 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是( A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°，∠B=60° D.AB=AC,且∠B=∠C 例题点拨Q素养导向 【例】已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC,AP (1)如图1，若∠ACB=90°，∠CAD=60°，AC=BD,试判断AP与CD的位置关系. (2)过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,连接BE,如图2所示，若∠CAD= 60°，BD=AC,试说明：BC=2AP. 图2 图15.3-9 70 轴对称 第十五章 【点拨】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 平行线的性质等，掌握等边三角形和全等三角形的判定方法是解题的关键.(1)解Rt△ACB 得出AB=2AC,再证△ADC是等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可.(2)连接BE, 先利用AAS证明△CPA≌△DPE,再证△BDE是等边三角形，最后证△CAB≌△EBA (SAS),推出AE=BC,即可证明BC=2AP. 夯实四基LU达标闯关 1.下列说法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形 是等边三角形；③有两个角为60的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是 这个等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在等边△ABC中，AB=4,BD是AC边上的高，点E在BC 的延长线上，∠ACB=2∠E,则BE的长为() A.4.5 B.5 C.6 D.9 3.如图，在△ABC中，∠A=∠B=60°，D为BC的中点，AB=4,则 第2题图 BD= 4.已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的 周长为 5.如图，△ABC是等边三角形，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的 第3题图 点，且AD=BE=CF,求证：△DEF是等边三角形. 第5题图