15.1 图形的轴对称-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

轴对称 第十五章 第十五章 轴对称 学习路径 作对称轴 画轴对称的图形 生活中的轴对称 轴对称 关于坐标轴对称的 点的坐标的关系 等腰三角形 等边三角形 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 知识梳理@形成联系 卡多多与 【知识点1】轴对称图形的概念 ◎如果一个平面图形沿 折叠， 的部分能够互相重合，这个图形就 叫作轴对称图形，这条 就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 这时，也说这个图形关于 对称 1.十二生肖又叫属相，是与中国十二地支相配以出生年份的十二种动物.2023年是中国 传统的兔年.劳动课上同学们学习了剪纸小兔子，以下剪纸作品中是轴对称图形的是() A B 2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形 的是() 礼 迎 全 运 A C D 数学 八年级上册（人教版） 【知识点2】轴对称的相关概念 ©把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称， 叫作对称轴，折叠后 的点是对应点，叫作对称点 1.将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”,再把它铺平，你可见到() B B A B C D 2.如图15.1-1，直线AB左边计算器上的数字是5，若以AB为对称轴，那 么它的对称图形是数字 【知识点3】垂直平分线的概念 ©经过线段 并且 这条线段的直线，叫作这条线段的垂直 平分线 图15.1-1 【知识点4】图形轴对称的性质 ©成轴对称的两个图形 ©成轴对称的两个图形中，连接 的线段被对称轴垂直平分. ©无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对 所连 线段的垂直平分线， 如图15.1-2，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对 称轴，下列说法错误的是（) A.AB=BC B.∠ADB=∠CDB C.AC垂直平分BD D.BD垂直平分AC 图15.1-2 例题点拨Q素养导向 【例1】下列图形：①角：②直角三角形；③等边三角形：④线段；⑤等腰三角形；⑥平 行四边形.其中一定是轴对称图形的有 个 【点拨】根据轴对称图形的概念判断即可.本题考查的是轴对称图形的概念，关键是寻找 对称轴，图形的两部分折叠后可完全重合.此例题引导学生关注图形自身属性，对称性作为 图形的重要属性和变化之一，在后续几何图形学习中起着非常重要的作用，为后续借助对称 性探究等腰三角形的性质起铺垫作用， 【例2】如图15.1-3，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的 对称轴，若∠BAC=65°，∠B=50°，则∠BCD的大小为 【点拨】此题具有一定综合性，根据对称性可以得到∠BCA=∠DCA, 要求∠BCD只需求∠BCA,应用三角形内角和定理∠BCA可求，从而 ∠BCD可求 图15.1-3 48 轴对称 第十五章 夯实四基达标闯关 卡多B 1.1971年，被考古界誉为红山文化象征的“中华第一龙”一红山碧玉龙在赤峰市翁 牛特旗赛沁塔拉嘎查出土，赤峰也因此被誉为“中华玉龙之乡”·红山碧玉龙的发现，不仅 让中国人找到了龙的源头，也充分印证了中国龙文化的源远流长.除此之外，还有许多关于 龙的图案，下列标志图案中属于轴对称图形的是() B C D 2.有下列说法：①线段是轴对称图形；②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称 轴垂直平分；③成轴对称的两个图形一定全等；④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两 侧.其中正确的有() 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D,AC⊥B0于点 C,则关于直线OE对称的三角形共有 对 第3题图 能力提升钟综合拓展 4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆 成的图案中，是轴对称图形的是( A B C D 5.如图，这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间，此刻 的实际时间应该是 6.如图每对文字图形中，能看成关于虚线对称的有 第5题图 (填序号)》 甲 ①②③④ ⑤ 图1 图2 图3 第6题图 第7题图 7.折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的 思想和轴对称的性质.如图1，∠DEF=25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再 沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE= 49 数学 八年级上册（人教版） 8.如图是由三个有阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有 阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 图1 图2 图3 第8题图 9.如图是一个零部件的平面图，它是轴对称图形，按制作要求∠A和∠B应分别等于 90°和25°.现有一位工人检验出∠BDC=150°，就判断出这个零部件不合格.你知道为什么吗？ 请说明理由 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024.河北)如图，AD与BC交于点O,△AB0和△CD0关于 直线PQ对称，点A,B的对称点分别是点C,D.下列结论不一定正确 的是() A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 第10题图 11.(2024·重庆)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( A B C 0 0 轴对称 第十五章 15.1.2线段的垂直平分线（第一课时) 知识梳理@形成联系 -卡多多 【知识点1】线段的垂直平分线的性质 ©线段 上的点与这条线段 的距离相等， 1.如图15.1-4，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,连接BD, 若AC=8,BD=3,则DC的长为 图15.1-4 图15.1-5 2.如图15.1-5，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若△ADB的周长为14，AB=6,则 AC的长为 【知识点2】线段的垂直平分线的判定 ◎与线段两个端点 的点在这条线段的垂直平分线上 如图15.1-6，直线1与线段AB交于点O,点P在直线l上，且PA=PB.小明说：“直线 1是AB的垂直平分线.”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确”下列判断正确 的是（) A.小明说得对 B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B” C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” 0 D.两人说得都不对 图15.1-6 【知识点3】互逆命题的概念 ⊙如果两个命题的 正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作 互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 “等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 例题点拨Q素养导向 -eB多B 【例】如图15.1-7，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 号BC长为半径画弧，两弧相交于点以，X作直线M,交4C于点D. 交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为 ( A.25 B.22 C.19 D.18 图15.1-7 的 数学 八年级上册（人教版） 【点拨】此题以尺规作图为背景，需要学生辨识出尺规作图作的是线段BC的垂直平分 线，进而根据线段的垂直平分线的性质得出DB=DC,从而得出△ABD的周长等于线段AB 和AC长的和. 夯实四基飞达标闯关 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若线段PA=2,则线 段PB=() A.1 B.2 C.3 D.4 B莫斯科 北京 A 雅典 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若 △DBC的周长为35cm,则BC的长为() A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5cm 3.北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图 所示，则中转仓的位置应选在() A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点 4.如图，PD垂直平分AB,PE垂直平分BC,若PC的长为5，则PA的长是 D 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，ADLBC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm,BC=6cm,则 AC= DE= 6.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,若CE平分 ∠ACB,∠B=40°，则∠A= 52 轴对称 第十五章 能力提升坤综合拓展 -多 7.如图，已知AB=AC,DB=DC,P是AD上一点，求证：∠ABP=∠ACP. D 第7题图 8.如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)若△APQ的周长为12，求BC的长. (2)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数. 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2021河北)如图，直线1，m相交于点0，P为这两条直线外一点，且OP-2.8.若点 P关于直线l,m的对称点分别是点P,P,则P,P之间的距离可能是() A.0 B.5 C.6 D.7 ●P 第9题图 第10题图 10.(2024·镇江)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC= 8,CD=5,则BD= 53 数学 八年级上册（人教版） 15.1.2线段的垂直平分线（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】作对称轴 ©对于成轴对称图形，只要任意找一对 作出连接它们的线 L1、 段的 ，就得到此图形的对称轴 ① 4 如图15.1-8，图中由“○”和“口”组成轴对称图形，该图形的对称 轴是直线() ① A.l B.12 图15.1-8 C.la D.l 例题点拨Q素养导向 -卡多多 【例】如图15.1-9，用直尺和圆规作出正五边形ABCDE的一条对称轴 【点拨】作图的关键在于找到对应点.在正五边形ABCDE中，可将点B和点E看作一组 对应点，故连接BE,作出线段BE的垂直平分线即可；同理，若将点C和点D看作一组对 应点，则无须连接，直接作出线段CD的垂直平分线即可. 图15.1-9 夯实四基达标闯关 1.如图，已知线段AB,用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线， B 第1题图 2.如图，已知△ABC和△A'B'C关于某条直线成轴对称，请用直尺和圆规作出它们的对 称轴. 第2题图 54 轴对称 第十五章 能力提升睡综合拓展 3.如图，在某条公路的同旁有两个小区A,B,为了方便市民就医治疗，政府决定在公 路（直线）边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两个小区到这个医院的路程一样 长？（请用尺规作图，并保留作图痕迹） ●B A。 第3题图 4.如图，两条公路OM,ON之间有两个小区A,B,为了方便市民购物，政府决定修建 一个超市，问超市建在什么位置能使两个小区到超市的路程一样长，并且超市到两条公路的 距离也相等.请用尺规作图，并保留作图痕迹 .B 04 第4题图 中考链接©真题演练 5.(2024·深圳)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分 ∠BAC的是() ① ② ③ 第5题图 A.①② B.①③ C.②③ D.只有① 55数学 八年级上册（人教版 【例】证明：作 第十五章 轴对称 OP⊥AC于点P,OQL 15.1图形的轴对称 AB于点Q,Sm=S0e 15.1.1轴对称及其性质 DE=FG,∴.OP-OQ,OP⊥ B 【知识点1】一条直线直线两旁 直线这 G AC,0Q⊥AB.∴.点0在 FO 例题答图 条直线1.B2.C ∠BAC的平分线上. 【知识点2】另一个图形这条直线 重合 1.B2.B 1.C2.2 3.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.△BDE,△DCF 【知识点3】中点垂直于 是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△DCF中， 【知识点4】全等对称点对称点C BD=DC. Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)·DE=DF又 【例1】4 BE=CF. 【例2】130°解析：四边形ABCD是轴对称 DE⊥AB,DF⊥AC,AD是△ABC的角平分线， 4.解：∠C=36°，∠ABC=110°，.∠BAC=180°- 图形，直线AC是它的对称轴，∴∠DMC=∠BAC= 36°-110°=34°.DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 65°，∠D=∠B=50°.∴，∠BCA=∠DCA=180°-65°- DE=DF,∴AD平分∠BAC,.∠BAD=17°.∴∠ADB= 50°=65°..∠BCD的大小为65×2=130°. 180°-110°-17°=53°. 1.C2.C3.44.D 5.(1)证明：EFLAB,.∠AFE=90.∠AEF= 5.12:506.①⑤7.105° 50°，..∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°..·∠BAD= 8.解：所补画的图形如下所示 100°，.∠DAE=180°-100°-40°-40°=∠EAF,.AE平分 ∠FAD. (2)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC 于点N,BE平分∠ABC,EF⊥AB,EF=EN,AE 平分∠DAF,EF⊥AB,.FE=EM,EM=EN,EM⊥ 图1 图2 图3 AD,ENL CD,DE平分∠ADC. 第8题答图 9.解：如图，连接AD 并延长AD到点P,该平 面图是轴对称图形，.AP平 分∠BAC,DP平分∠BDC, .当∠BDC=2∠BDP=140° P D N 时，这个零部件才合格.当 第9题答图 第5题答图 ∠BDC=150°时，这个零部件不合格. 10.A11.C (3)解：Sa=Saue+Sane,“AD-EM+子CD, 15.1.2线段的垂直平分线（第一课时） EN=l5,7(4D+CDEM=l5,2×4+8)×EM=15, 【知识点1】垂直平分线两个端点1.52.8 【知识点2】距离相等C EM各Br号，52BBF7x3-空 【知识点3】题设结论逆命题轴对称图 6.解：(1)根据尺规作角平分线的过程可知：三 形是等腰三角形 角形全等的判定方法是SSS.(2)小王的作法正确. 【例】C 理由：PM⊥OM,PWN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°. 1.B2.C3.A OP=OP, 在Rt△OMP和Rt△ONP中， 4.55.5cm8cm6.60° .·Rt△OMP≌ OM-ON. 7.证明：连接BC,AB=AC,. Rt△ONP(HL),∠MOP=∠NOP,.OP平分∠AOB. ∠ABC=∠ACB.又：BD=CD,两点确 定一条直线，AD是线段BC的垂直 平分线，.PB=PC,∴∠PBC=∠PCB, 第7题答图 56 参考答案 ∴.∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB,∴.∠ABP=∠ACP 理由：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8.解：(1)MP和NQ分别垂直平分AB和AC, 4.解：如图所示，点D即为所求 ∴AP=BP,AQ=CQ.∴.△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP4 M PQ+CQ=BC.△APQ的周长为12，.BC=12 D-- (2)AP=BP,AQ=CQ,.∠B=∠BAP,∠C= ∠CAQ.∠BAC=105°，.∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C= 0<- -N 180°-∠BAC=180°-105°=75°..∠PAQ=∠BAC- 第4题答图 （∠BAP4∠CAQ)=105°-75°=30°. 5.B X 9.B10.3 15.2画轴对称的图形（第一课时） 15.1.2线段的垂直平分线（第二课时） 【知识点】对称点如图，线段A'B即为所求 【知识点】对称点垂直平分线C 【例】解：如图所示。 知识点题答图 【例】如图.(1)过点 A作MN的垂线，垂足为点 例题答图 0,在垂线上截取A'0=A0 1.如图，直线1即为所求。 点A'就是点A的对称点. (2)同理作出点B关于MW 的对称点B.(3)因为点C 在对称轴MN上，所以点C .B 与点C重合.(4)连接A 例题答图 BC,△A'B'C'即为所求 米 第1题答图 2.如图，直线1即为所求 图1 图2 第1题答图 2.解：(1)如图，△ABC即为所求。 C (2)如图，△DEF,即为所求. 第2题答图 (3)如图，直线1即为所求」 3.解：如图，点P即为所求 E 第3题答图 第2题答图 57