14.3 角的平分线-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

考答案 B 3.证明：(1)AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C (DF=DB, 90°，DC=DE.在Rt△DCF和Rt△DEB中， 3.F DC-DE, Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),.CF=EB. 地面 D AD-AD. (2)在Rt△DCA和Rt△DEA中， 第5题答图 DC=DE, 6.解：当选择①BF=DE时，△ABF≌△CDE,证 Rt△DCA≌Rt△DEA(HL),AC=AE,.AF+FC= AB=CD. AE,即AF+BE=AE. 明如下：在△ABF和△CDE中， AF=CE,..△ABF≌ 4.解：作OE⊥AC,OF⊥AB,连接OA,垂足分 BF-DE. 别为E,FOB,OC分别平分∠ABC和∠ACB, △CDE(SSS),∴.∠B=∠D,BF=DE,BF+EF=DE+ OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.0D-0E=0F=3.△ABC AB=CD. 的周长是24，SA=Sm+Some+Sa之0D:BC+ EF,即BE=DE.在△ABE和△CDF中， ∠B=∠D. BE=DF, 20E:AC+号0F,AB=号0D.(BC+MC+AB)=号x3x24 ∴.△ABE≌△CDF(SAS),.∠AEB=∠CFD,AE∥ 36. CF. 当选择②∠BAF=∠DCE时，△ABF≌△CDE,证 AB=CD. 明如下：在△ABF和△CDE中， ∠BAF=∠DCE, AF-CE, D △ABF≌△CDE(SAS),.∠B=∠D,BF=DE.同理可 第4题答图 第5题答图 证△ABE≌△CDF(SAS),∠AEB=∠CFD,AE∥ CE当选择③AF=CF时，不能判定△ABF≌△CDE. 5.证明：如图，连接AD,CD,BD平分∠ABC, 14.3角的平分线（第一课时) DE⊥AB,DF⊥BC,,DE=DF.DG⊥AC,点G为AC 【知识点】距离角平分线1.22.21 的中点，AG=CG,∠AGD=∠CGD=90°，∴.在△AGD 3.C AG-GD 4.解：(1)∠ACB=90°，∠A=38°， 和△CGD中， ∠AGD=LCGD=90°，∴.△AGD≌△CGD ∠ABC=90°-∠A=52°.BE平分∠ABC,. DG=DG ∠DBE=∠ABC=26°.CD LAB,∴LEDB=90°. (AD-CD, (SAS),.AD=CD.在Rt△ADE和Rt△CDF中， DE-DF. ∴.∠BEC=∠DBE+∠EDB=26°+90°=116°.(2)过 .Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),AE=CF 点E作EF⊥BC于点F,BE平分∠ABC,CD⊥ 6.C AB,EF L BC,DE=4,..EF=DE=4..BC=12, 14.3角的平分线（第二课时)》 Sm8c-bf号×12x424 【知识点】相等三条角平分线的交点 【例】证明：.OD平分 1.22.35°3.90° ∠AOB,∴.∠1=∠2.在△0BD 4.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDF= ∠CEF=90° OB=0A, 和△OAD中 ∠DFB=∠EFC, ∠1=∠2， 在△BDF和△CEF中， ∠BDF=∠CEF, OD=OD 例题答图 BF=CF. △OBD≌△OAD(SAS), ∠3=∠4.PM⊥BD,PN⊥AD,∴PM=PN ∴△BDF≌△GEF(AAS),DF=EF又.CD⊥ 1.D2.C AB,BE⊥AC,,点F在∠BAC的平分线上 55 数学 八年级上册（人教版 【例】证明：作 第十五章 轴对称 OP⊥AC于点P,OQL 15.1图形的轴对称 AB于点Q,Sm=S0e 15.1.1轴对称及其性质 DE=FG,∴.OP-OQ,OP⊥ B 【知识点1】一条直线直线两旁 直线这 G AC,0Q⊥AB.∴.点0在 FO 例题答图 条直线1.B2.C ∠BAC的平分线上. 【知识点2】另一个图形这条直线 重合 1.B2.B 1.C2.2 3.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.△BDE,△DCF 【知识点3】中点垂直于 是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△DCF中， 【知识点4】全等对称点对称点C BD=DC. Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)·DE=DF又 【例1】4 BE=CF. 【例2】130°解析：四边形ABCD是轴对称 DE⊥AB,DF⊥AC,AD是△ABC的角平分线， 4.解：∠C=36°，∠ABC=110°，.∠BAC=180°- 图形，直线AC是它的对称轴，∴∠DMC=∠BAC= 36°-110°=34°.DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 65°，∠D=∠B=50°.∴，∠BCA=∠DCA=180°-65°- DE=DF,∴AD平分∠BAC,.∠BAD=17°.∴∠ADB= 50°=65°..∠BCD的大小为65×2=130°. 180°-110°-17°=53°. 1.C2.C3.44.D 5.(1)证明：EFLAB,.∠AFE=90.∠AEF= 5.12:506.①⑤7.105° 50°，..∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°..·∠BAD= 8.解：所补画的图形如下所示 100°，.∠DAE=180°-100°-40°-40°=∠EAF,.AE平分 ∠FAD. (2)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC 于点N,BE平分∠ABC,EF⊥AB,EF=EN,AE 平分∠DAF,EF⊥AB,.FE=EM,EM=EN,EM⊥ 图1 图2 图3 AD,ENL CD,DE平分∠ADC. 第8题答图 9.解：如图，连接AD 并延长AD到点P,该平 面图是轴对称图形，.AP平 分∠BAC,DP平分∠BDC, .当∠BDC=2∠BDP=140° P D N 时，这个零部件才合格.当 第9题答图 第5题答图 ∠BDC=150°时，这个零部件不合格. 10.A11.C (3)解：Sa=Saue+Sane,“AD-EM+子CD, 15.1.2线段的垂直平分线（第一课时） EN=l5,7(4D+CDEM=l5,2×4+8)×EM=15, 【知识点1】垂直平分线两个端点1.52.8 【知识点2】距离相等C EM各Br号，52BBF7x3-空 【知识点3】题设结论逆命题轴对称图 6.解：(1)根据尺规作角平分线的过程可知：三 形是等腰三角形 角形全等的判定方法是SSS.(2)小王的作法正确. 【例】C 理由：PM⊥OM,PWN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°. 1.B2.C3.A OP=OP, 在Rt△OMP和Rt△ONP中， 4.55.5cm8cm6.60° .·Rt△OMP≌ OM-ON. 7.证明：连接BC,AB=AC,. Rt△ONP(HL),∠MOP=∠NOP,.OP平分∠AOB. ∠ABC=∠ACB.又：BD=CD,两点确 定一条直线，AD是线段BC的垂直 平分线，.PB=PC,∴∠PBC=∠PCB, 第7题答图 56口数学 八年级上册（人教版） 14.3 角的平分线（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点】角平分线的性质 ©角的平分线上的点到角的两边的 相等. O三角形三条 的交点到三边的距离相等， 1.如图14.3-1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC,BD=2,则点D到AC的距 离是 2.如图14.3-2，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径画弧，两弧交于点 P,作射线AP交BC于点D,CD=3,AB=14,则△ABD的面积是 图14.3-1 图14.3-2 图14.3-3 3.如图14.3-3，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥ AB于点E,AB=10,则△DEB的周长为() A.9 B.5 C.10 D.不能确定 4.如图14.3-4，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,CD1AB,垂足为D. (1)若∠A=38°，求∠BEC的大小 (2)若BC=12,DE=4,求△BCE的面积. 图14.3-4 40 全等三角形 第十四章 例题点拨Q素养导向 -:多多 【例】如图14.3-5所示，OD平分∠AOB,OA=OB,P是OD上一点，PM⊥BD于点M, PNLAD于点N.求证：PM=PN. 【点拨】由已知容易求证△OBD≌△OAD(SAS),可得∠BDP=∠ADP,则可证PM=PN. 本题主要考查角的平分线性质定理，由已知能够证明△OBD≌△OAD是解决问题的关键. y 图14.3-5 夯实四基飞达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D.若AC=5cm,则 AE+DE=（) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm D 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四 边形ABCD的面积是() A.24 B.28 C.30 D.42 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上， BD=DF.求证： (1 CF=EB. (2)AF+EB=AE. 第3题图 口数学 八年级上册（人教版） 4.如图，O是△ABC的两条角平分线BO,CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D,OD= 3,若△ABC的周长是24，求△ABC的面积. D 第4题图 能力提升综合拓展 5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,DG⊥AC于点G,点G为AC的中点，DE⊥BA 于点E,DF⊥BC于点F求证：AE=CF 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2024.青海)如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD LOB, PD=2,则点P到OA的距离是() A.4 B.3 C.2 D.1 0 D B 第6题图 电 全等三角形 第十四章 14.3 角的平分线（第二课时） 知识梳理①形成联系 【知识点】角的平分线的判定 ◎角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上 ©在角的内部，到三角形三边距离相等的点是三角形 1.如图14.3-6，PM⊥AC于点M,PV⊥AB于点N,PM=2,当PW= 时，点P在 ∠BAC的平分线上. 2.如图14.3-7，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则 ∠A0Q= 3.如图14.3-8，AB∥CD,点P到AB,AC,CD的距离都相等，则∠P的度数为 图14.3-6 图14.3-7 图14.3-8 4.如图14.3-9，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD与BE相交于点F,BF=CF求 证：点F在∠BAC的平分线上. 图14.3-9 例题点拨Q素养导向 【例】如图14.3-10，D,E是AC上两点，F,G是AB上两点，且DE=FG,S△=S△c 求证：点O在∠BAC的平分线上. 【点拨】作OP⊥AC于点P,OQ⊥AB于点Q,根据等底等高的两个三角形面积相等，得 43 口数学 八年级上册（人教版） 到OP=OQ,根据角平分线的判定定理即可求证.本题主要考查角平分线的判定，掌握到角两 边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键. 图14.3-10 夯实四基U达标闯关 1.如图，DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°，则∠BAD的度数为() A.10° B.40° C.30° D.20° B E 第1题图 第2题图 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E,交AC于点R再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆 的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P.画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小 为() A.60° B.65° C.70° D.75° 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE= CF.求证：AD是△ABC的角平分线. D 第3题图 全等三角形 第十四章 4.如图，在△ABC中，∠C=36°，∠ABC=110°，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE= DF求∠ADB的度数. 第4题图 能力提升肿综合拓展 5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E, 过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接DE. (1)求证：AE平分∠FAD (2)求证：DE平分∠ADC (3)若AB=7,AD=4,CD=8,S△=15，求△ABE的面积 B D 第5题图 45 口数学 八年级上册（人教版） 中考链接©真题演练 6.(2022·卧龙区)数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分 线，方法如下： 作法：①在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE; ②分别以点D,E为圆心，以大于}DE的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB内交于点C; ③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线. 根据以下情境，解决下列问题： (1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 小王只带了直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下： ①利用直角三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM,ON,使OM=ON; ②分别过点M,N作OM,ON的垂线，交于点P; ③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线. (2)小王的作法正确吗？请说明理由. 第6题图 6