13.3 三角形的内角与外角-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

口数学 八年级上册（人教版） 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】三角形的内角和定理 ©三角形内角的和等于 1.如图13.3-1，在△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，则∠C=( A.36° B.40° C.46° D.54° 图13.3-1 2.如图13.3-2，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A处的北 北 偏西75°方向，则∠ACB的度数为() A.35° B.38° C.40° D.45 图13.3-2 例题点拨Q素养导向 【例1】如图13.3-3，在△ABC中，CD平分∠ACB,CD交边AB 于点E,在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D. (1)求证：DF∥BC (2)当∠A=36°，∠DFE=34时，求∠2的度数 【点拨】(1)要关注相等的角，进行角的转移，最后推得相关的 图13.3-3 内错角相等，从而得到平行的结论.(2)通过三角形内角和定理，根据已知两个角可以求第 三个角，逐步寻找相关角的度数求解， 三角形的概念 第十三章 【例2】如图13.3-4，在△ABC中，∠A=80°，BE,CF交于点O, ∠ACF=30°，∠ABE=20°，求∠BOC的度数. 【点拨】欲求∠BOC,则需要求出∠OCB和∠OBC,或者直接求 这两角的和，而根据已知条件，无法直接求出这两个角，因此考虑能 图13.3-4 否整体求出这两个角的和，进而考虑求∠ACB+∠ABC的值，再减去 ∠ACF与∠ABE的和即可求解. 夯实四基达标闯关 1.在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，则∠B的度数是() A.30° B.50° C.60° D.70° 2.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC三个内角的度数分别是() A.30°，60°，90 B.45°，45°，90° C.20°，40°，60° D.36°，72°，108° 3.如图是由一副三角板拼凑得到的，∠D=∠ACB=90°，∠A= 30°，∠F=45°，A,E,B,D四点共线，EF过点C,则∠ECB的 度数为() A.70° B.75° 4 ▣D E C.80° D.85 第3题图 4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠≠∠B的图形有 第4题图 [11 口数学 八年级上册（人教版） 5.如图，在△ABC中，∠CAE=20°，∠C=40°，∠CBD=30°，求∠AFB的度数. 第5题图 能力提升牌综合拓展 6.在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D. (1)求∠B的度数. (2)如图1，若CE⊥AD于点F,交AB于点E,求∠ECD的度数 (3)如图2，若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点F,求∠AFC的度数. 图1 图2 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°， AD∥BC,则∠1的度数为() A.50° B.60° C.70° D.80° 第7题图 12 三角形的概念 第十三章 13.3.1三角形的内角（第二课时) 知识梳理①形成联系 【知识点1】直角三角形两锐角的关系 ©直角三角形的两个锐角 1.在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（) D A.40° B.45 C.50 D.60° 2.如图13.3-5，两根竹竿AB和BD斜靠在墙上，量得∠CAB,∠CDB 的度数分别为38°和26°，那么∠ABD的度数为( B A.109 B.11° C.12° D.13° 图13.3-5 【知识点2】直角三角形的判定 ⊙有两个角互余的三角形是 三角形 1.在△ABC中，∠A=56°，∠B=34°，则△ABC是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 2.如图13.3-6，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED1 AB,垂足为D,若∠1=∠2，则△ABC是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 图13.3-6 例题点拨Q素养导向 【例1】如图13.3-7，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE平分 ∠BAC,∠B=40°，∠C=68°，求∠AEC和∠DAE的度数 【点拨】显然根据条件由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数， 由角平分线条件可求∠CAE,在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，故 由∠DAE=∠CAE-∠DAC可求. 图13.3-7 3 数学 八年级上册（人教版） 【例2】如图13.3-8，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：∠ACD=∠B. (2)若AF平分∠CAB且分别交CD,BC于点E,F,求证： ∠CEF=∠CFE. D 图13.3-8 【点拨】本题解题的关键是要在两个直角三角形中，利用两个锐 角互余证明∠AED=∠CFE,再进一步通过角的转移得出结果， 夯实四基飞达标闯关 -多 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B,则∠A=() A.60° B.30° C.45° D.90° 2.如图所示，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高， 并且CD,BE交于点P,若∠A=50°，则∠BPC等于() A.110° B.120° C.130° D.160° 第2题图 3.下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=∠C;④∠A=90° -∠B.其中能确定△ABC是直角三角形的有() A.①②③ B.①②④ C.②④ D.①②③④ 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，BE平分∠ABC,那么∠ABE的度数为 第4题图 第5题图 5.如图所示，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,则结论：①∠1=∠2；②∠2=∠A;③DE∥ BC;④∠B+∠DCE=90°中，正确的结论为 .(填序号) 14 三角形的概念 第十三章 6.如图，CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相交于点D,∠F=40°，∠C=30°，求∠EDF, ∠DBC的度数. B 第6题图 能力提升蹄综合拓展 7.如图，在锐角△ABC中，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D,E在边AB,AC上，CD 与BE交于点H. (1)若BELAC,CD⊥AB,求∠BHC的度数. (2)若BE,CD分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BHC的度数. 第7题图 西 口数学 八年级上册（人教版） 8.在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点 E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C处.有以下四个结论：①如图 1,当点C落在BC边上时，∠ADC'=44°；②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+ ∠BEC'=44°；③如图3，当点C'落在△ABC上方时，∠BEC'-∠ADC'=44°；④当C'E∥AB 时，∠CDE=34°或∠CDE=124°.其中正确结论的个数是() 图 图2 图3 第8题图 A.1 B.2 C.3 D.4 中考链接©真题演练 9.(2024·凉山州)如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD 是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 第9题图 6 三角形的概念 第十三章 13.3.2三角形的外角 知识梳理①形成联系 【知识点】三角形的外角概念及与其不相邻内角的关系 ©三角形的一边与 组成的角，叫作三角形的外角 ©三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 1.下列图中∠1是三角形一个外角的是() A 2.如图13.3-9，若∠B=35°，∠ACD=120°，则∠A=() A.35° B.75° 图13.3-9 C.85 D.95 3.如果将一副三角板按如图13.3-10的方式叠放，则∠1的度 数为() 1 A.105° B.120° 60 C.75° D.45 图13.3-10 例题点拨Q素养导向 【例1】如图13.3-11，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求 ∠DAC的度数 【点拨】观察图中∠1，∠2和∠3的位置可知，先利用内外角关系 求∠3，∠4，再利用三角形内角和求解. 图13.3-11 数学 八年级上册（人教版） 【例2】如图13.3-12，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点 A作BC边上的高，交BC的延长线于点D,CE平分∠ACD,交AD于 点E.求： E (1)∠ACD的度数. (2)∠AEC的度数. 图13.3-12 【点拨】(1)显然可以直接利用三角形内外角关系求解.(2)观察所求∠AEC为△ECD 的外角，而∠D为90°，只需求出∠ECD即可，而由第(1)问结果和角平分线条件不难解决. 夯实四基达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB,则∠BDC的度数是() A.80° B.90° C.100° D.110° 第1题图 第2题图 2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=() A.95° B.85° C.759 D.65 3.一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B,∠D应分别是20°和30°，聪明的 李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么∠BCD= 时，这个零 件合格。 第3题图 第4题图 4.如图，一副常规直角三角板叠放在一起，则图中∠αx的度数为 18 三角形的概念 第十三章 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC边上，且∠ADE=∠B,求证：∠BAD= ∠CDE. 第5题图 能力提升坤综合拓展 一上多多 6.如图1，直线MNL直线PQ,垂足为点O,点A，,B分别在射线OM,OP上（不与点 O重合)，AC是∠MAB的平分线，AC的反向延长线与∠ABQ的平分线交于点D,BD与MN 交于点E. (1)当∠BAO=50时，求∠ABD,∠D的度数. (2)如图2，当点A,B在射线OM,OP上任意移动时（不与点O重合），∠D的大小是 否变化？若不变化，请求出∠D的度数；若变化，请说明理由 图1 图2 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2024广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接 在一起，则∠ACE的度数为() A.120° B.90° C.60° D.30° 第7题图 的数学 八年级上册（人教版） 在△ABD中，PB+PD<AB+AD,① ∠DFE=34°.在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°， 在△PCD中，PC<PD+CD,② ∠ACB=180°-36°-34°=110°..CD平分∠ACB, ①+②得，PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD 故PB+PC<AB+AC,即AB+AC>PB+PC. ∠1=3∠A0B=59,Z2=180-360-5989 【例2】解：：∠A=80°，∴.∠ACB+∠ABC= 100°.∠ACF=30°，∠ABE=20°，∴.∠0CB+ ∠OBC=∠ACB+∠ABC-(∠ACF+∠ABE)=50°， ∠B0C=180°-（∠OCB+∠OBC)=130°. 1.D2.A3.B4.④ 第7题答图 5.解：.∠ABC+∠BAC=180°-∠C=180°-40°= 140°，.∠AFB=180°-（∠FAB+∠FBA)=180°- 8.B9.4(答案不唯一) [(∠ABC+∠BAC)-(∠CAE+∠DBC)]=180°-[140°- 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 (20°+30°)]=90°. 【知识点】BC中线平分线BG直线 6.解：(1)在△ABC中，∠BAC=60°，.∠B+ 高1.C2.6月∠BAC53°直角 ∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°.又：∠ACB= 2 2∠B,∠B=120°=40. (2)由(1)可知， 【例1】12 3 【例2】解：(1)：∠ACB=90°，CD是边AB ∠ACB=2∠B=2x40°=80°.AD平分∠BAC,.∠CAD= 上的商，号4C-BC=号4B-0m,CD1CC 号∠BAC=号x60°=30°.CE1AD,∠AFC=90°， AB 7x24_168(cm)· ∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°，.∠ECD=∠ACB- (2)CE为AB边上的中 2525 ∠ACF=80°-60°=20°.(3)CE平分∠ACB, 线，AE=BE,.△BCE的周长与△ACE的周长 ∠ACF=3∠ACB=2×80P=40P.在△ACF中，∠CAF 的差为(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24- 30°，∠ACF=40°，.∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF-180°- 7=17(cm). 30°-40°=110° 1.D2.D3.C4.B5.8 7.C 6.解：.BD是AC边上的中线，.AD=CD.AC= 13.3.1三角形的内角（第二课时） 12.CD-AD-1AC-6.DE-2.CE-CD-DE-6- 【知识点1】互余1.C2.C 2=4. 【知识点2】直角1.B2.A 7.解：(I)由图可知△BDE的周长=BE+BD+DE, 【例1】解：∠B=40°，∠C=68°，∴.∠BAC 四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE,又△BDE的周' 180°-∠B-∠C=729.4AE是角平分线，.∠EAC 长与四边形ACDE的周长相等，D为BC的中点， 1∠BMC=36°.MD是高，∠C=68°，LDAC= ..BD=DC.BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE.BE=AE+ AC..AB=10 cm,AC=6 cm,..10-AE=AE+6,.AE= 90°-∠C=22°，∴∠EAD=∠EMG-∠DAC=36°-22 2cm.(2)由△ABC的周长被DE分成的两部分的 =14°，∠AEC=90°-14°=76°. 差是2，可得方程BE=AE+AC+2或BE=AE+AC-2.解 【例2】证明：(1)：∠ACB=90°，CD⊥AB 得AE=1cm或AE=3cm.故AE长为1cm或3cm. 于点D,∴.∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD= 8.B9.9 90°，∴.∠ACD=∠B.(2)在Rt△AFC中， 13.3三角形的内角与外角 ∠CFM=90°-∠CAF,同理在Rt△AED中， 13.3.1三角形的内角（第一课时） ∠AED=90°-∠DAE.又AF平分∠CAB, 【知识点】180°1.A2.A ∠CAF=∠DAE,∴∠AED=∠CFE,又∠CEF= 【例1】(1)证明：CD平分∠ACB, ∠AED,∴∠CEF∠CFE. ∠DCB=∠1.∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,.DF∥ 1.A2.C3.B4.35°5.①②③ BC.(2)解：DF∥BC,∠DFE=34°，.∠B= 6.解：·CE⊥AF,∠DEF=90°，∠EDF=90°- 50 参考答案 ∠F=90°-40°=50°.由三角形的内角和定理得，∠C+ ∠DBC=∠F+∠DEF,30°+∠DBC=40°+90°， 8.解：（①7 ∠DBC=100°. (2)如图，点G为△ABC的重心，.由三角形 7.解：(1)BE⊥AC,∠ACB=70°，∴.∠EBC= 中线性质可得S,=S,S=S4,S=S6,则S1+S+S=S2+S+ 90°-70°=20°..CD⊥AB,∠ABC=40°，∴.∠DCB=90°- S4,S1+S2+S3=S4+S3+S6,2S=2S4,2S1=2S6,S=S2=S3= 40°=50°，.∠BHC=180°-20°-50=110°.(2)BE平！ S4=S=S6,则a匹=C6-St84=2,即CG=2DG,DG= S△4xDGS5 分∠ABC,∠ABC=40°，.∠EBC=20°.DC平分 2,..CD=CG+DG=3DG=6. ∠ACB,∠ACB=70°，∴.∠DCB=35°，∴.∠BHC=180°- 20°-35°=125 8.D9.1009 13.3.2三角形的外角 【知识点】另一边的延长线和1.D2.C 3.A 第8题答图 【例1】解：∠1=∠2=36°，∴∠3=∠4=∠1+ 9.解：(1)M3,2),N(1,-2). ∠2=72°.在△MCD中，∠DAC=180°-（∠3+∠4）= 180°-2×72°=36°..∴∠D4C=36°. 2①空，2：②1,2 【例2】解：(1)∠ACD=∠B+∠BAC, (3)①(3,2)，(5,3)；②G(4,1) ∠B=25°，∠B4C=31°，.∠ACD=25°+31°=56° 第十四章全等三角形 (2)AD⊥BD,∴.∠D=90°.∠ACD=56°，CE平 14.1全等三角形及其性质 分∠ACD,∠ECD=}∠ACD=28°，∠AEC= 【知识点1】完全重合完全重合兰全等 2 于1.D2.C ∠ECD+∠D=28°+90°=118°. 【知识点2】相等相等1.CEAE∠A 1.A2.B3.140°4.75 ∠AEC2.73.459 5.证明：：∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+ 【例1】②④解析：△MBC≌△CDA,∠BAC ∠CDE,.∠B+∠BAD=LADE+∠CDE.:∠ADE=∠B, ∠DCA,∠B=∠D.①AB与CD是对应边，故① ∴.∠BAD=∠CDE. 不符合题意；②AC与CA是对应边，故②符合题 6.解：(1)MN⊥PQ,∴∠AOB=90°.∠BAO= 意；③∠BAC与∠AGD是对应角，故③不符合题 50°，.∠AB0=90°-∠BA0=40°.BD平分∠AB0,. 意；④∠CAB与∠ACD是对应角，故④符合题 ∠ABD=3∠AB0=20.∠BM0=50,∠BAM=180- 意.综上所述，正确的结论是②④ ∠A0=I30P.MC平分∠BAM,∴∠CAB=3∠BAM 【例2】解：△ABC≌△DBE,∠D=65°， ∠A=∠D=65°.：∠ABC=80°，∴.∠C=180°- 65°，∴.∠D=∠CAB-∠ABD=65°-20°=45°.(2)∠D ∠ABC-∠A=35° 的度数不变化，永远是45°.理由是：：∠BAM= 1.B2.C3.49° ∠AOB+∠AB0,∠AOB=90°，.∠BAM-∠AB0=90°， 4.(1)证明：△ABC≌△ADE,.∠BAC= 7∠BAM-∠AB0=45.AC平分∠BAM,BD平 ∠DAE,.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,·.∠CAE= ∠BAD.(2)解：△ABC≌△ADE,∠D=∠B. 分LABO,LABD=)LAB0,LCMB=3∠BMM,÷ ∠AFD=∠EFB,∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+ ∠CAB-∠ABD=45°，即∠D=∠CAB-∠ABD=45°. ∠EFB+∠BED=180°，.∠BED=∠BAD.:∠BAD=35°， 7.C .∠BED=35. 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 5.(1)解：DE=CE+BC.理由：△ABC≌△DAE, 1.C2.B3.A AE=BC,DE=AC.A,E,C三点在同一直线上， 4.重心5.36.57.点G AC=AE+CE,∴.DE=CE+BC.(2)当△ADE满足 ∠AED=90°时，DE∥BC.证明：：△ABC≌△DAE,