13.2 与三角形有关的线段-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

口数学 八年级上册（人教版） 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理@形成联系 【知识点1】三角形三边关系 ©三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边， 1.下列三条线段中，不能构成三角形的是() A.3,4,5 B.4,6,8 C.5,5,8 D.1,2,3 2.已知三角形的三边长为3,7，a,则a的取值范围是 【知识点2】三角形的稳定性 ©三角形是具有 性的图形 如图13.2-1，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一 根木条，这样做的道理是() A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.三角形具有稳定性 D.两直线平行，内错角相等 图13.2-1 例题点拨Q素养导向 - 【例1】已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为偶数， (1)若AC-9,BC=3,求AB的长 (2)若AC+BC=15,求AB的最大值 【点拨】本题考查了三角形的三边关系，关键掌握三角形任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边.(1)根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为偶数 即可得出结论.(2)根据AC+BC=15,△ABC的周长为偶数，可得AB为正整数，且AB为奇 数，再根据AB<AC+BC=15,即可得出AB的最大值. 三角形的概念 第十三章 【例2】(1)下列图形中具有稳定性的是 (只填图形序号) (2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加辅助线，使之具有稳定性 ① ③ ④ 图13.2-2 【点拨】本题主要考查三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用， 如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三 角形 夯实四基U达标闯关 卡多多 1.下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是() A.1,2,3 B.3,4,5 池塘 C.2,4,6 D.3,3,8 2.为估计池塘两岸A，B间的距离，明明在池塘一侧选取了一点P, P 测得PA=14m,PB=10m,那么AB间的距离可能是() 第2题图 A.3m B.20m C.28m D.30m 门空调 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法 应用的几何原理是 三角形支架 4.如图，线段AB和线段AC是△ABC的两条边，点D在线段AB 第3题图 上，点E在线段AC上，将△ABC沿DE所在直线裁去一个角得到四 边形DBCE,则四边形DBCE的周长 (填“大于”、“等于” 或“小于”)△ABC的周长，理由是 第4题图 5.小刚准备用一段长32m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于养鸡.已知第一条 边长为nm,由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3m. (1)请用含n的式子表示第三条边长， (2)第一条边长能否为10米？为什么？ 6 数学 八年级上册（人教版） 6.某工厂要制作两边长分别为2m和4m,第三边长为奇数的三角形框架， (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架？为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格m 2 3 4 5 6 单价1（元/根） 6 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条可以切割，但不 能拼接)，求最少费用. 能力提升牌综合拓展 7.已知：如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明AB+AC>PB+PC. 第7题图 中考链接©真题演练 -s多● 8.(2024.淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3cm,5cm的小木棒组成三角形，则 这根小木棒的长度可以是() A.9 cm B.7cm C.2 cm D.1 cm 9.(2024·西宁)若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可 以是 .(写出一个即可) 6 三角形的概念 第十三章 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理@形成联系 一多多 【知识点】三角形的中线、角平分线、高的概念 ©如图13.2-3，连接△ABC的顶点A和它所对的边 的中点D,所得线段AD叫 作△ABC的边BC上的中线.一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.三角形三条 的交点叫作三角形的重心 D 图13.2-3 图13.2-4 图13.2-5 ⊙如图13.2-4，画△ABC的∠A的 AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段 AD叫作△ABC的角平分线， ©如图13.2-5，从△ABC的顶点A向它所对的边 所在 画垂线，垂足 为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 1.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() B 2.如图13.2-6，若AM是△ABC的中线，BC=12cm,则BM= CM= cm;若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= ;若∠BAC=106°，则∠DAC=;若AH是△ABC H DM 的高，则△ABH是 三角形 图13.2-6 例题点拔Q素养导向 【例1】如图13.2-7，已知AD是△ABC的中线，AB=7cm,AD= 5cm,△ABD的周长是18cm,则BC的长为 cm. 【点拨】求BC的长，考虑有BC边中线，所以可以考虑求BD或 CD,而已知条件给出了△ABD的相关条件，显然可以先求BD. 图13.2-7 口数学 八年级上册（人教版） 【例2】如图13.2-8，CD,CE分别是△ABC的高和中线， 若AC=7cm,BC=24cm,AB=25cm,∠ACB=90°.求： (1)CD的长 (2)△BCE与△ACE的周长差. 图13.2-8 【点拨】(1)所求CD为直角三角形斜边的高线，而已知给出三边长，用等积法比较 合适.(2)△BCE与△ACE有两组边对应相等，所以它们的周长差转化为AC与BC的差求 解即可 夯实四基飞达标闯关 。e多 1.用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放 位置正确的是() 2.如图，AD,AE,AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线， 下列结论错误的是() A.CD=2 BG B.2∠BAE=∠BAC 第2题图 C.∠C+∠CAF=90° D.AE=AC 3.如图，△ABC的角平分线AD,中线BE交于点O,则结论：①AO 是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线.其中() A.①②都正确 B.①②都不正确 D C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确 第3题图 4.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分给两个儿子，则图 中他所作的线段AD应该是△ABC的() A.角平分线 B.中线 D 第4题图 C.高线 D.以上都不是 8 三角形的概念 第十三章 5.如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AC=10cm, △ABE的周长比△ACE的周长少2cm,则AB= cm. 6.如图，在△ABC中，AB=15,BC=9,AC=12,BD是AC边上的中 线，点E是CD上一点.若DE=2,求CE的长. 第5题图 第6题图 能力提升睡综合拓展 7.如图，在△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,D是BC的中点，点E在边AB上. (1)若△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长， (2)若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm,求线段AE的长. D 第7题图 中考链接©真题演练 一卡多多 8.(2022·杭州)如图，CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角，则() A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 第8题图 9.(2022·陕西)如图，AD是△ABC的中线，AB=4,AC=3.若 △ACD的周长为8，则△ABD的周长为 D 第9题图 9参考答案 参考答案 第十三章三角形的概念 AB<9+3,∴.6<4B<12.又：△4BC的周长为偶数 13.1三角形的概念 而AC,BC为奇数，AB为偶数，且AB为正整 【知识点1】不在同一直线上首尾顺次相接 数，故AB=8或10.4B的长为8或10. 三角形的边三角形的顶点三角形的内角C (2)AC+BC=15,△ABC的周长为偶数， 【知识点2】两边相等的两边两腰腰和 AB为正整数，且AB为奇数.AB<4C+BC=15, 底边三边1.82.D AB的最大值为13. 【例1】解：图中共有5个三角形，分别是 【例2】解：(1)具有稳定性的是①④6 △ABD,△ABC,△CDE,△BCE,△BCD. (2)如答图所示 1.A2.C3.ABAD4.4 5.1012 6.(1)3(2)6 7.解：(1)当四个点中有 两个点在一条直线上时，把这四 个点彼此连接，会连成一个四边 形，如图1，四边形的两条对角 线将这个四边形分成三角形的 图1 ④ (6 个数是4个.1和2,2和3,3和4,4和1，每两个小 三角形可以组成大点的三角形的个数是4个，故这个 例2答图 图形中三角形的个数是4+4=8（个）· 1.B2.B3.三角形具有稳定性 (2)当三个点在一条直线上时，如图2，会连成 4.小于三角形两边之和大于第三边 一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形， 5.解：(1)第一条边长为nm,第二条边长只 能比第一条边长的2倍少3m,.第二条边长为(2n- 3)m,.32-n-(2n-3)=(35-3n)m,.第三条边长为 (35-3n)m. (2)不能.理由如下.当n=10时，三边长分别为 图2 图3 10,17,5,由于10+5<17，.不能构成三角形，即第 第7题答图 一条边长不能为10m. (3)如图3，把这四个点彼此连接，连成一个图 6.解：(1)设第三边长为x,则4-2<x<2+4,即 形，这个图形中一共有4个三角形 2<<6.第三边长为奇数，.第三边长可以为3和5， (4)当四个点在一条直线上时，则是一条线段， ·.可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架 没有三角形 的边长为2,3,4或2,5,4. 答：这个图形中会有8个或3个或4个或0个三 (2)由表格可得，4m的铁条每米费用最少.·铁 角形. 条长度可以切割，但不能拼接，“应尽可能多地使用 13.2与三角形有关的线段 4m铁条，才能使费用最少.由(1)知两种三角形框 13.2.1三角形的边 架的边长分别为2,3,4和2,5,4，各做一个，.可 【知识点1】大于小于1，D2.4<a<10 以购买4m的3根，3m和5m的各一根，费用最少， 【知识点2】稳定C 最少费用为10x3+8+15=53(元)· 【例1】解：(1)由题意可知，根据三角形 答：购买铁条共需53元. 的三边关系得，AC-BC<AB<AC+BC,即9-3< 7.证明：延长BP交AC于点D, 49 数学 八年级上册（人教版） 在△ABD中，PB+PD<AB+AD,① ∠DFE=34°.在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°， 在△PCD中，PC<PD+CD,② ∠ACB=180°-36°-34°=110°..CD平分∠ACB, ①+②得，PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD 故PB+PC<AB+AC,即AB+AC>PB+PC. ∠1=3∠A0B=59,Z2=180-360-5989 【例2】解：：∠A=80°，∴.∠ACB+∠ABC= 100°.∠ACF=30°，∠ABE=20°，∴.∠0CB+ ∠OBC=∠ACB+∠ABC-(∠ACF+∠ABE)=50°， ∠B0C=180°-（∠OCB+∠OBC)=130°. 1.D2.A3.B4.④ 第7题答图 5.解：.∠ABC+∠BAC=180°-∠C=180°-40°= 140°，.∠AFB=180°-（∠FAB+∠FBA)=180°- 8.B9.4(答案不唯一) [(∠ABC+∠BAC)-(∠CAE+∠DBC)]=180°-[140°- 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 (20°+30°)]=90°. 【知识点】BC中线平分线BG直线 6.解：(1)在△ABC中，∠BAC=60°，.∠B+ 高1.C2.6月∠BAC53°直角 ∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°.又：∠ACB= 2 2∠B,∠B=120°=40. (2)由(1)可知， 【例1】12 3 【例2】解：(1)：∠ACB=90°，CD是边AB ∠ACB=2∠B=2x40°=80°.AD平分∠BAC,.∠CAD= 上的商，号4C-BC=号4B-0m,CD1CC 号∠BAC=号x60°=30°.CE1AD,∠AFC=90°， AB 7x24_168(cm)· ∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°，.∠ECD=∠ACB- (2)CE为AB边上的中 2525 ∠ACF=80°-60°=20°.(3)CE平分∠ACB, 线，AE=BE,.△BCE的周长与△ACE的周长 ∠ACF=3∠ACB=2×80P=40P.在△ACF中，∠CAF 的差为(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24- 30°，∠ACF=40°，.∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF-180°- 7=17(cm). 30°-40°=110° 1.D2.D3.C4.B5.8 7.C 6.解：.BD是AC边上的中线，.AD=CD.AC= 13.3.1三角形的内角（第二课时） 12.CD-AD-1AC-6.DE-2.CE-CD-DE-6- 【知识点1】互余1.C2.C 2=4. 【知识点2】直角1.B2.A 7.解：(I)由图可知△BDE的周长=BE+BD+DE, 【例1】解：∠B=40°，∠C=68°，∴.∠BAC 四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE,又△BDE的周' 180°-∠B-∠C=729.4AE是角平分线，.∠EAC 长与四边形ACDE的周长相等，D为BC的中点， 1∠BMC=36°.MD是高，∠C=68°，LDAC= ..BD=DC.BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE.BE=AE+ AC..AB=10 cm,AC=6 cm,..10-AE=AE+6,.AE= 90°-∠C=22°，∴∠EAD=∠EMG-∠DAC=36°-22 2cm.(2)由△ABC的周长被DE分成的两部分的 =14°，∠AEC=90°-14°=76°. 差是2，可得方程BE=AE+AC+2或BE=AE+AC-2.解 【例2】证明：(1)：∠ACB=90°，CD⊥AB 得AE=1cm或AE=3cm.故AE长为1cm或3cm. 于点D,∴.∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD= 8.B9.9 90°，∴.∠ACD=∠B.(2)在Rt△AFC中， 13.3三角形的内角与外角 ∠CFM=90°-∠CAF,同理在Rt△AED中， 13.3.1三角形的内角（第一课时） ∠AED=90°-∠DAE.又AF平分∠CAB, 【知识点】180°1.A2.A ∠CAF=∠DAE,∴∠AED=∠CFE,又∠CEF= 【例1】(1)证明：CD平分∠ACB, ∠AED,∴∠CEF∠CFE. ∠DCB=∠1.∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,.DF∥ 1.A2.C3.B4.35°5.①②③ BC.(2)解：DF∥BC,∠DFE=34°，.∠B= 6.解：·CE⊥AF,∠DEF=90°，∠EDF=90°- 50