2025-2026学年苏科版八年级上册数学第三周模拟练习（盐城专版）

2025-2026学年苏科版八年级数学第三周模拟练习（盐城专版） （范围：1.2全等三角形+1.3全等三角形的判定 时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2025m停下，则这个微型机器人停在（ ） A.点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 2、如图，△ABC≌△EDF，∠FED=70°，则∠A的度数是（ ） A．50° B．70° C．90° D．20° 3．如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 4.如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC =∠EAC =∠BAD，AC =AE，则（　　） A．△ABD≌△AFD B．△ABC≌△ADE C．△AFE≌△ADC D．△AFE≌△DFC 5．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 　 6.如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 7.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 8．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 8．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是(　　) A.①②③④　 B.①②③　　 C.①②　　 D.②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 如图，木工师傅做好一门框后钉上木条AB，CD，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是____________________． 12. 如图，，BE=4，AE=1，则DE的长是______． 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 14.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线.垂足分别为点E，F，G.若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 15.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图所示,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度为　　　　m.. 16．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是________. 17. 如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有_____对． 18. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 19、如图，已知AB=12米，MA⊥AB于A，MA=6米，射线BD⊥AB于B，P点从B向A运动，每秒走1米，Q点从B向D运动，每秒走2米，P、Q同时从B出发，则出发_____秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 20、如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，四边形ABCD的面积为____． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21.（6分）探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE． 22.(8分)(1)如图1,已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2,求证:△ACE≌△BCE; (2)如图2,已知CD与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,探究AE与BE的数量关系,并说明理由. 图1　 　 图2 23.（8分）如图，已知AB＝CB，BE＝BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1＝∠2． (1)证明：△ABE≌△CBF； (2)若∠FBE＝40°，∠C＝45°，求∠E的度数． 24.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 25.（12分）. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 26.（14分）【拓展运用】学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究. 【深入探究】 第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF. (1)如图在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据　　　　可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.  第二种情况,当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF. (2)如图在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角. 求证:△ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等. (3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你在图12中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹) (4)∠B还满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请你写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角.若　　　　　　,则△ABC≌△DEF.  学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学第三周模拟练习（盐城专版） （范围：1.2全等三角形+1.3全等三角形的判定 时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2025m停下，则这个微型机器人停在（ ） A.点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为1m，∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6m，∵2025÷6=337…3，即正好行走了337圈又三米，回到第四个点，∴行走2025m停下，则这个微型机器人停在D点． 2、如图，△ABC≌△EDF，∠FED=70°，则∠A的度数是（ ） A．50° B．70° C．90° D．20° 【答案】B 【解析】∵△ABC≌△EDF，∠FED=70°，∴∠A=∠FED=70° 3．如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【解析】：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE， 若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．故选A． 4.如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC =∠EAC =∠BAD，AC =AE，则（　　） A．△ABD≌△AFD B．△ABC≌△ADE C．△AFE≌△ADC D．△AFE≌△DFC 【答案】B 【解析】证明∠C = ∠E，在△AFE和 △DFC中，已知∠EDC = ∠EAC，且∠AFE与∠CFD是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠AFE = ∠CFD。在三角形中，三角形内角和为180o，对于△AFE，∠E = 1800o - ∠EAC - ∠AFE；对于△DFC，∠C = 180o - ∠EDC - ∠CFD。因为∠EDC = ∠EAC，∠AFE = ∠CFD，所以∠C = ∠E。证明∠DAE = ∠BAC，已知∠EAC = ∠BAD，∠DAE = ∠EAC + ∠CAD，∠BAC = ∠BAD + ∠CAD，等式两边同时加上相同的角∠CAD，等式仍然成立，所以∠DAE = ∠BAC。判断三角形全等在△ABC和△ADE中，已经得到∠C = ∠E，∠BAC = ∠DAE，又已知AC = AE。根据全等三角形的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，所以可以得出△ABC≌△ADE。 5．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 【答案】B 【解析】A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B．　 6.如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 【答案】A　 【解析】在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).故选A. 7.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【答案】D 【解析】因为AB‖CD，根据两直线平行，内错角相等，所以∠A=∠ C，∠B=∠D。已知AB = CD，在△ABE和△CDE中：依据 ASA 判断我们有∠A=∠C，AB = CD，∠B=∠D，两角及其夹边分别相等，满足 ASA 判定定理。依据 AAS 判定我们可以把∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），AB = CD，这里是两角及其中一角（∠A）的对边（AB）对应相等，满足 AAS 判定定理。 8．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【解析】如图，图中与△DEF全等的格点三角形最多有：△DAF、△BGQ、△CGQ、△NFH、△AFH、△CKR、△KRW、△CGR，共8个.故答案为：A. 8．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH＝∠ADB＝90°.∵∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)．∴BD＝AD，BH＝AC.故①③正确；结论②④错误．故选B. 10.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是(　　) A.①②③④　 B.①②③　　 C.①②　　 D.②③ 【答案】A 【解析】AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AB=BA，:.Rt△ABD=Rt△BAC(HL)，:.AD = BC，∠ABC=∠BAD，∠BAC= ∠ABD,∠DAC=∠BAD - ∠BAC，∠CBD=∠ABC-∠ABD,:.∠DAC=∠CBD. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 如图，木工师傅做好一门框后钉上木条AB，CD，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性，故答案为三角形的稳定性. 12. 如图，，BE=4，AE=1，则DE的长是______． 【答案】5 【解析】∵全等三角形的对应边相等，∴DE=AB，AB=AE+BE=4+1=5，∴DE=5．故答案为：5． 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 【答案】96° 【解析】因为在△ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得∠B = ∠C。在△BDE与△CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到∠B = ∠C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以△BDE≌△CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以∠EDB = ∠DFC，∠FDC = ∠BED。又因为∠EDF + ∠EDB + ∠FDC = 180°（平角的定义：平角为180°），∠B + ∠BED + ∠EDB = 180°（三角形内角和定理：三角形内角和为180°），且∠FDC = ∠BED，∠EDB = ∠EDB，所以可得∠B = ∠EDF。 已知∠EDF = 42°，由步骤3可知∠B = ∠EDF，所以∠B = 42°。又因为∠B = ∠C（步骤1已证），所以∠C = 42°。在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。已知∠B = 42°，∠C = 42°，所以∠BAC = 180°- ∠B - ∠C = 180° - 42°- 42 °= 96°。 14.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线.垂足分别为点E，F，G.若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 【答案】12 【解析】如图，过点D A作DHLCF，垂足为H,四边形ABCD是正方 形，∴CBF+∠FBA= 90°, ∠CBF+∠BCF= 90°∴∠ABE= B∠CF.在△ABE与△BCF中， ∴△ABE=△BCF(AAS),AE = BF,四边形ABCD是正方形，:.∠BCF+∠DCH=90°， ∠HDC+∠DCH=90°,:.∠BCF=∠HDC，在△BCF与△CDH中 △BCF=△CDH(AAS):.CH=BF=2.FH=CF-CH=6-2=4.∵CF⊥L，DG⊥L，DH⊥CF∠BFC=∠DHC =∠DGB= 90°，四边形FHDG是矩形，:.DG =FH =4,即CF +AE+DG =6+2+4=12.故填12. 15.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图所示,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度为　　　　m.. 【答案】20 【解析】:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO.∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,∴∠ABO=90°,即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等,∴OB=OD.在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO(AAS),∴CD=AB=20(米).(也可利用“ASA”证△ABO≌△CDO,其他过程相同) 16．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是________. 【答案】20° 【解析】　连结FG，EG.∵AB∥CD，∠C＝140°，∴∠CAB＝40°.由题意及作图步骤可知：AF＝AE，FG＝EG.又∵AG＝AG，∴△AFG≌△AEG(SSS)．∴∠FAG＝∠EAG＝20°.∴∠AHC＝∠EAG＝20°. 17. 如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有_____对． 【答案】4 【解析】∵，，∴，在和中， ，∴，∴，，∵，，∴，在和中，， ∴，∴，，∵，∴， 在和中，，∴，在和中，，∴，即全等三角形共4对．故答案为：4． 18. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC， ∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中， ,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④． 19、如图，已知AB=12米，MA⊥AB于A，MA=6米，射线BD⊥AB于B，P点从B向A运动，每秒走1米，Q点从B向D运动，每秒走2米，P、Q同时从B出发，则出发_____秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 【答案】4秒 【解析】当△APC≌△BQP时，AP=BQ，即12﹣x=2x，解得：x=4；当△APC≌△BPQ时，AP=BP=AB=6米，此时所用时间为6秒，AC=BQ=12米，不合题意，舍去；综上，出发4秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．故答案为：4秒． 20、如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，四边形ABCD的面积为____． 【答案】24 【解析】作EA⊥AC，DE⊥AE，∵∠BAC+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AE=AC，∴四边形ABCD的面积=四边形ACDE的面积，∵四边形ACDE的面积=（AC+DE）AE=×8×6=24，∴四边形ABCD的面积=24， 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21.（6分）探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE． 证明：∵ O是AB的中点，∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD(ASA). 变式：证明：∵ O是AB的中点，∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD(AAS). 22.(8分)(1)如图1,已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2,求证:△ACE≌△BCE; (2)如图2,已知CD与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,探究AE与BE的数量关系,并说明理由. 图1　 　 图2 解：(1)证明:在△ACE和△BCE中,∴△ACE≌△BCE(SAS). (2)AE=BE.理由如下:如图,在CE上截取CF=DE,连接BF,在△ADE和△BCF中, ∴△ADE≌△BCF(SAS),∴AE=BF,∠AED=∠CFB,∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°, ∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,∴AE=BE. 23.（8分）如图，已知AB＝CB，BE＝BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1＝∠2． (1)证明：△ABE≌△CBF； (2)若∠FBE＝40°，∠C＝45°，求∠E的度数． 解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBF＝∠2＋∠EBF，即∠ABE＝∠CBF． △ABE和△CBF中，∵∴△ABE≌△CBF． (2)∵∠1＝∠2，∠FBE＝40°，∴∠1＝∠2＝70°．∵△ABE≌△CBF，∴∠A＝∠C＝45°， ∵∠ABE＝∠1＋∠FBE＝70°＋40°＝110°，∴∠E＝180°－∠A－∠ABE＝180°－45°－110°＝25°． 24.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）. ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）. （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立. （3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF； 同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 25.（12分）. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 解：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|； ②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°． （2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF． 26.（14分）【拓展运用】学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究. 【深入探究】 第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF. (1)如图在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据　　　　可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.  第二种情况,当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF. (2)如图在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角. 求证:△ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等. (3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你在图12中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹) (4)∠B还满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请你写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角.若　　　　　　,则△ABC≌△DEF.  解:(1)H.L. （2）证明:如图①,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H.∵CG⊥AB,FH⊥DE,∴∠G=∠H=90°.∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角,∴180°-∠ABC=180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH.在△CBG和△FEH中,∵∠CBG=∠FEH,∠G=∠H=90°,BC=EF,∴△CBG≌△FEH(A.A.S.),∴CG=FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,∵AC=DF,CG=FH,∴Rt△ACG≌Rt△DFH(H.L.),∴∠A=∠D. 在△ABC和△DEF中,∵∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(A.A.S.). (3)如图②所示,△DEF和△ABC不全等. (4)∠B≥∠A 学科网（北京）股份有限公司 $