第二章 直角三角形的边角关系（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值（ ） A．都扩大2倍 B．都扩大4倍 C．没有变化 D．都缩小一半 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．根据题意可知锐角A的大小不变，即得出锐角A的正弦、余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ∴中，各边的长度都扩大2倍，则， ． 故选∶C． 2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 3.在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值和平方的非负性、三角形内角和定理，根据绝对值和平方的非负性即可求得的度数，根据三角形内角和即可求得的度数. 【详解】解：， 且 . 故选：B. 4.如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴，故A、B选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 故选：C 5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、、都在网格的格点上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：C． 6.如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 8.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，综合应用知识是解决本题的关键．根据， ，可得长度，已知，根据勾股定理可得，在中，可求，因为，可得题目所求． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ，， ， ． 故选：A． 9.如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 10.如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12.若锐角A满足，则 . 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A-15°=60°，进而求出即可． 【详解】∵ ∴ ∴∠A-15°=60°， ∴∠A=75°． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 13.如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 【答案】57 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，，在中，，根据，可得，即可求出，则问题得解． 【详解】解：如图， 根据题意可知四边形是矩形，，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：57． 14.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC= ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题、求角的正切值 【详解】连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD，且EF =BD， ∴BD=4， ∵BD=4，BC=5，CD=3， ∴△BDC是直角三角形， ∴tan C==． 15.如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线，分别交，于点D，E，连接，则的值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，进而可得，，，在中，根据三角函数的定义可得，，进而可得．在中，根据三角函数的定义可求得的值， 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，以及利用三角函数的定义解直角三角形．熟练掌握相关的三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ∴ ， 在中，，， ， ，． 在中， ． 故答案为： ． 16.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【知识点】实数的混合运算、二次根式的乘法、特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，计算乘方及化简绝对值，再计算加减即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．（6分）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 【答案】飞机距离地面的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， ，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 20．（8分）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 21．（10分）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】(1)展板最低点到地面的距离为； (2)当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 22.（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、三角函数综合 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 23．（12分）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题； （2）过点作于点，利用线段中点特点和锐角三角函数求出，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题. 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点， 点E是边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ， ， ， ， . 24．（12分）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【知识点】三角函数综合、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值（ ） A．都扩大2倍 B．都扩大4倍 C．没有变化 D．都缩小一半 2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 3.在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、、都在网格的格点上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 6.如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 8.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 9.如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 10.如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（用连接），，，，则 ． 12.若锐角A满足，则 . 13.如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 14.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC= ． 15.如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线，分别交，于点D，E，连接，则的值为 ． 16.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算： （2）计算： 18．（6分）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 19．（8分）如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 20．（8分）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 21．（10分）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 22.（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 23．（12分）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积． 24．（12分）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章直角三角形的边角关系·基础通关（参考答 案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 12 3 6 > 6 10 CA B A B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.cos53°<sin47°<tan45 12.75 13.57 4 15.2-1 1 16.2 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【详解】解：(1)原式=2×+1-2+V2 =1+1-2+V2 =V2 ；(3分) 2原式2*v0 -2x2+ 3 2 =1-1-1+1 =0.(6分) 18.(6分) 【详解】(I)解：：在△ABC中，BD⊥AC,AB=6,∠A=30°， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=4B=3 AD-AB-CO5ZB4D=6x005306x3 2 ;(3分) (2)4C=55.AD=3W5 :DC=4C-4D=55-35=25,4分) BD=3, :tan∠Cs BD 33 DC252.(6分) 19.(8分) 【详解】解：过点D作DH⊥AB于点H,如图， “斜坡C 的坡比1：3 ,铅垂高度DG=30米， DG 1 CG3' ·.CG=90米，(2分) DG⊥BG,AB⊥BG, ∴.四边形BHDG是矩形， ∴BH=DG=30米，DH=BG, FP✉30 45-H EG B .·∠ABC=90° ∠ACB=45° :△ABC是等腰直角三角形， AB=BC,(4分) 设AB=BC=米，则 H=AB-BH=(x-30)米， DH=BG=CG+BC=(x+90米， 在RtsADH中，an∠ADH=9=5 DH 3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-30V5 x+903,(6分) 解得x=60W3+90 AB=(60N5+90)米， 答：飞机距离地面的高度为60√5+90米.8分) 20.(8分) 【详解】(I)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, 45% 60 B D 根据题意可知： ∠ACE=∠CAE=45°AC=25V2 海里， .AE=CE=25海里， ∠CBE=30°， .BE=25V5 海里， .BC=2CE=50海里.(3分) 答：观测点B与C点之间的距离为50海里： (2)解：如图，作CF⊥DB于点F, CF⊥DB,FB⊥EB,CE LAB, ·四边形CEBF是矩形， FB=CE=25海里， CF=BE=253 海里， .DF=BD+BF=30+25=55海里，(5分) 在RtDCF中，根据勾股定理，得 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=VCF2+DF2=V(2532+552=70海里，(7分) 70÷60=6小时. 7 7 答：救援船到达C点需要的最少时间是石小时.(8分) 21.(10分) 【详解】(I)解：如图2，过C作CH⊥QM于H,过B点作BN⊥CH于N,作BG⊥QM 于G, P B 在 中， G HEMF 图2 Rt△CHM CM=125cm∠CME=539 CH=CM-sm53=125×号=10(cm,1分) ∠ACM=106°， ∠BCM=180°-∠ACM=74°、 又'∠HCM=90°-∠CME-37°， ∴.∠NCB=37 .∠CBN=90°-∠NCB=53°，(3分) :CB=50, 在RtBCN中，CW=BCsin∠CBN=50X号=40cm, .BG=NH=CH-CN=100-40=60(cm),(5分) 答：展板最低点B到地面EF的距离为6Ocm; (2)如图，过C点作CC 作C0LPO手O点，作 BK LPO于K点， 由(1)知CN=40cm,CB=50cm, ..BN =30cm, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G HEMF 图2 ·.·PC⊥AB∠PKB=909 ∠P+∠CBK=180°， :∠CBK+∠CBN=180°， ∠P=∠CBN=53°，(6分) 设BK=x, .CO=BK+BN=x+30, .PO=160,NH =60cm,CN=40cm, .PO=PO-NH-CN =60cm ∴在RtA POC中，an∠P=tan53°=C0_-x+304 P060 3,(8分) .x=50, :.BK 50cm, PO 答：当点”为“最佳观测点”时，求点B到的距离为 0cm m.(10分) 22.(10分) 【详解】(1)证明：作EF⊥BC于F则∠EFC=90°，(1分) :四边形ABCD是正方形， ,∠D=∠DCF=90° ∴四边形DEFC是矩形. ..EF=CD :四边形ABCD是正方形， :CD=BC, :.EF=BC.(3分) ·△BCE是等高底三角形.(4分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B F 图1 (2)解：作BG⊥AC于点G, :CA=BA,AD⊥BC, ∴BD=CD, ∴BC=2FD AD=BC, .AD=2DC,(5分) 设∠BAD=a, AB=AC,AD⊥BC, .∠BAD=∠CAD=a, CD 1 在△4DC中，tana= AD2’∠CBG+∠C=90°’ :∠CAD+∠C=90°， ∠CBG=∠CAD=a,(6分) tan∠CBG=CG-1 BG 2' 设CG=m,BG=2m,AG=x,则AB=AC=x+m, 在RtAACB x2+(2m)2=(x+m)2 中由勾股定理得： ,(8分) .3 解得x=2m, tan∠BAC= BG 2m 4 AG 3m 3 .(10分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 23.(12分) 【详解】(1)解：①：四边形ABCD为矩形， D F E A B .·.∠BAD=90° ∠ABD=30° AB BD =cos30°= 2, EF⊥AB, ∴.∠BEF=90°， 由旋转的性质可知，∠EBF=∠ABD=30°，∠ABE=∠DBF, BE =c0s30°= 3 AB BF 2=BD, △ABE∽△DBF, AEAB√5 :.DFBD 2 5 故答案为：2；(3分) ②延长AE与DF交于点M,记AE交BD于点N, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F M B :△ABE一△DBF .∠BAN=∠MDN, .DDNM =DANB, .∠M=∠ABN=30° 即直线AE与DF所夹锐角的度数为30°： 故答案为：30°；(6分) (2)解：过点A作AG⊥DF于点G, DG CE A O 点E是边 的中点， 图3 B AB AB=25 Q如 BE =tan30°， EF3 53, 解得EF=1,(7分) 由①同理可证△ABE~△DBF, .∠BAE=∠BDF, ∴.∠BDE+∠DEO+∠DOE=∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°， .∠AED=∠ABD=30°， 60-e, AB3 .BD 2, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23V5 ∴.BD2,解得BD=4, 在RIABDE中，有DE=VBD-BE=42-(5=丽，(8分) .DF=DE+EF=√13+1 △ABE一△DBF, AE AB 3 ·.DFDB2,(10分) :A6.E+55+5 2 2 ∴4G=AE=9+5 4, mrAG=丽g 8.(12分) 24.(12分) 【详解】I)解：如图①，在R△ABC中，sinA= b .c= C=- sinA’ sinB· a b sin A sin B' a b 故答案为：sinA:sinB:=·(3分） (2)证明：如图，作CD⊥AB于点D,则∠ADC=∠BDC=90°， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D b a B 在R△4CD中，sinA-CP-CD AC b, .CD=bsin A, CDCD 在R△BCD中，sinB= BC a .CD=asin B, .bsin A=asin B. a b sin A sin B' 同理可得：sinAsinC' a b C sinA sin B sinC· 故答案为：=；=.(5分) (3)解：作△ABC使得∠B=30°，∠C=45°，则∠A=180°-∠B-∠C=105°，如图所示， 钝角三角形的示意图即为所求： 30° 450 B D C 作AD L BC于点D,则∠ADC=∠ADB=90°， :∠C=45 ÷∠DAC=90°-∠C=45°， ∠DAC=∠C, .AD=CD,(7分)………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值（ ） A．都扩大2倍 B．都扩大4倍 C．没有变化 D．都缩小一半 2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 3.在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、、都在网格的格点上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 6. 如图，在中，，，， ，则的值为（   ） A． B． C． D． 7.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 第7题 第8题 第9题 8.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 9.如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 10.如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（用连接），，，，则 ． 12.若锐角A满足，则 . 13.如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分 别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为 和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m． （，，结果精确到） 14. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．若EF＝2， BC＝5，CD＝3，则tanC= ． 15.如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线，分别交，于点D，E，连接，则的值为 ． 第15题 第16题 16.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算： （2）计算： 18．（6分）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 19．（8分）如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 20．（8分）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 21．（10分）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 22.（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 23．（12分）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积． 24．（12分）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $