数学试题-【轮轮清·高考模拟卷】2025年湘豫名校高三9月入学摸底考试巩固训练（河南专版）

姓名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填 写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选 择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x|一2<x<2},N={一√2,0，√5}，则M∩N= A.{0} B.{2} C.{-√2,0} D.{-√2,5} 2.已知复数之在复平面内对应的点为(1，一1)，则之= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 3.设椭圆号十y=1的上顶点为B,右焦点为F,则坐标原点到直线BF的距 离为 A司 ®号 C.1 D.√2 4.函数f(x)=sin3x图像的对称轴方程可以为 Ax=-3 Bz=军 C.x=-骨 D.x- 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a· (a-b)= -14 b ￥.」 A.-10 B.5 C.15 D.20 数学试题第1页（共6页） 6.若函数f(x)=ax3+f'(1)ex十x是奇函数，则a= A.-1 3 c号 7.已知圆台的上、下底面半径分别为2,4，体积为14π，则该圆台的表面积为 A.35元 B.36π C.37π D.38π &若函数fx)-x是-a十x-a有且仅有2个零点，则。的取值范围是 A.(-1,0)U(0,1] B.(-∞，-1)U[1,+∞) C.(-1,0)U{1} D.(-1,0)U(0,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知双南线C:号-行1，则 A.C的焦点在y轴上 B.C的焦距为10 C,C的离心率为 D.C的渐近线方程为y=士4 10.设样本数据x1,x2,…,x8的平均数为x,方差为s1;设y:=2x:十1，i=1, 2,…,8,样本数据y1,y2,…,y8的平均数为y,方差为s,则 A.2x=y-1 B.4s3<s8 c822:-刀=-1 2：-2到=+1 D. 11.已知f(x)是定义在区间(0，十∞)上的增函数，且对任意的正数x,y,满 足f(xy)=f(x)+f(y).设a,b,c为互不相等的正数，则 A.f(a+b)+f(6+c)+f(c+a)>O B.fa+)+f()c+)> C.af(2)+of()+cf(2)<o D.2-“f(分)+2-f()+2-f()<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S= 13.函数f(x)=3√1-x2十x的最大值为 14.在△ABC中，A=王，os(B-C)-2 ,BC=3,则△ABC的面积为 数学试题第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)随机依次取出2张卡片，求第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡 片上的数字大2的概率； (2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的绝对值为X,求X的 分布列及数学期望E(X). 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H 为PD上的两点，且PG=GH=HD (1)证明：GF∥平面BEH; (2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求面BEH与面 FGK所成的二面角的正弦值 G E F H D B 数学试题第3页（共6页） 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线 与C交于P,Q两点，且当点P的横坐标为4时，|PF|=5.设P'为P关于x轴的 对称点 (1)求C的方程： 2若1PQ-,求P'Q1: (3)证明：直线P'Q过定点. 数学试题第4页（共6页） 18.(17分) 已知西数f)=2nx+是g(x)=esim工. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x>0时，g(x)<e2x十ax,求a的取值范围； (3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(ln),证明：f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s). 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 设飞为正整数，数列X:a,1,a,2,…,a,2和数列Y:a1,i,a2,i,…,a2,可构成 如下2k×2k数表，i=1,2,…,2k,且数列2：X1,X2,…,X2为1,2，…，4k2的一 个排列. a1,1 a1,2 a1,2k a2,1 a2,2 a2,2k a2k,1 a2k,2 a2k,2k (1)若k=2,2:1,2,…,16,写出X3和Y3 (2)若Y,是公差为的等差数列，i=1,2,…,2,求登a (3)若对任意给定的2，总能在数表的某一行中或某一列中找到和不大于S 的两项，且总能在数表的某一行中或某一列中找到差的绝对值不小于的两项， 记m为S的最小值，M为d的最大值，证明十1<M不： 2m2 数学试题第6页（共6页） 2025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 ·数学· 叁考答亲及解折 湘豫名校联考2025年9月高三秋季入学摸底考试巩固训练·数学 一、选择题 ,则圆台的侧面积为S= 5 圆台的母线1= 1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2}, N={-√2,0，√5}，所以M∩N={-2,0}. π(2十4)×2 =15π，所以圆台的表面积为4π十 2.B【解析】因为复数之在复平面内对应的点 为(1，-1)，所以z=1-i,则z=1十i. 16π+15π=35π. 3.B【解析】椭圆号+y2=1的上顶点为B(0, 8.D【解标】f(x)=r2-a+x-a 1),半焦距为√2-1=1，则F(1,0),所以直线 |ax2-x|-(-x+a)(x≠0)零点的个数等价 BF的方程为x十y一1=0，故坐标原点到直线 于曲线y=|ax2-x|与直线y=一x十a交点 的个数.当a=0时，曲线y=|x|与直线y= BF的距离为 10+0-1_√2 √12+12 2 一x有无数个交点，不符合题意；当a<0时， 4.D【解析】根据题意得3x一十kπ，k∈乙，故 曲线y=|ax2一x|与x轴的2个交点坐标分 x一晋十经：k∈Z当及-1时，x一受，满足 别为日0)和(0,0)，直线y=-x十a与y轴 要求 的交点坐标为(0，a),因为直线y=一x十a的 5.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3), 斜率为-1若>al,即-1<a<0,则它 所以a·(a-b)=15. 们有2个交点.又曲线y=-ax2+x在x=1 处的切线的斜率恰为一1，所以当a≤一1时， 该曲线与直线y=一x十a至多有一个交点， 不符合题意；当a>0时，曲线y=|ax2一x|与 x轴的2个交点坐标分别为（合0）和0,0， 6.B【解析】若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x 是奇函数，则f(x)十f(-x)=0,故f'(1) 且曲线y=一ax2十x在x=士处的切线的斜 0,f(x)=ax3+x,所以f'(x)=3ax2+1,则 率为一1，与直线y=一x十a的斜率相同，即当 了1=a十1=0，所以a=-号 a=1时，曲线y=|ax2-x|与直线y=-x十a 7.A【解析】设圆台的高为h,则令(4π+16x+ 在点(1,0)处相切，故当a>0时，它们总有 2个交点.综上，若函数f(x)有且仅有2个零 3 V4πX16元)=14元，故h=分·由几何关系可知 点，则a的取值范围是(-1,0)U(0,十∞). 。1· ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 0,故C正确对于D,不妨设a>b>c,则分> 9.AB【解析】由双曲线C:号6-1可知C 1,>1,f(8)>0,f()>0,且2< 的焦点在y轴上，焦距2c=2√9+16=10，离 心率为？，渐近线方程为y=士是x,故A,B 3 22<2,所以2f合)+f()+ 正确，C,D错误 2-f(）<2-f(分)+2-f()+ 10.ACD【解折】可-合产：-日之2，+1D 2f(后）=xf(合·名·)=2必f) 2+1,即2元=y-1,放A正确；号= 2o 0,故D正确， 三、填空题 9-82知x,+1-ex+叮-4x82c, 12.22【解析】因为a1=2,S2=a1十a2=-2,所 8=1 以a2=-4,故等比数列(an}的公比g=a2- 一10=了-5-1=-1，放C正确；号含 -2,所以5，=a11二9）=2. 1-q 2x)2=2y:-y+1)=含(y,-)2+ 13.√10【解析】法一：设y=√1-x2,则x2+ 8日1 8-1 y2=1(y≥0)，该曲线为圆心是坐标原点，且 号2：-可+1=+1，放D正确 半径是1的半圆.设3√1一x2+x=x+3y= 11.BCD【解析】令x=y=1,由f(xy)=f(x)十 6,得y=一音+合故当直线)=一专+9与 f(y),得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0,且 当x∈(0,1)时，f(x)<0;当x∈(1，+o∞)时， 半圆相切时，名的值最大，根据几何关系可知 f)>0对于A,不妨设a=}b=写c=司 1 号°，故f(x)的最大值为V. 则f(a+b)<0,f(b+c)<0,f(c+a)<0, 所以f(a十b)+f(b+c)+f(c+a)<0,故 法二：设x=c0s0,0∈[0，π]，则3√1-x+ A错误对于B,根据f(x)的性质有f(a+ x=3sin0+cos0=√10sin(0+p),故当sin(0+ p)=1时，f(x)的最大值为10. )+f+)+f+a)>f层)H 14. 2【解析】在△ABC中，因为A=平，所以 )+(8)=fg·名·豆) f(1)=0,故B正确.对于C,不妨设a<b<c coso cos oos C- 则>1，>1（台）>0，（分）>0，所以 sin Bsin C--√2 cos(B-C)=cos Bcos C+ f(怡)+f(后)+f()<f(合) sin Bsin C=2 3,由以上两式可知sin Bsin C= f(6)+f()-cf(台·6·)-cfw= 72设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由 22025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 ·数学· 叁考答亲及解折 湘豫名校联考2025年9月高三秋季入学摸底考试巩固训练·数学 一、选择题 ,则圆台的侧面积为S= 5 圆台的母线1= 1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2}, N={-√2,0，√5}，所以M∩N={-2,0}. π(2十4)×2 =15π，所以圆台的表面积为4π十 2.B【解析】因为复数之在复平面内对应的点 为(1，-1)，所以z=1-i,则z=1十i. 16π+15π=35π. 3.B【解析】椭圆号+y2=1的上顶点为B(0, 8.D【解标】f(x)=r2-a+x-a 1),半焦距为√2-1=1，则F(1,0),所以直线 |ax2-x|-(-x+a)(x≠0)零点的个数等价 BF的方程为x十y一1=0，故坐标原点到直线 于曲线y=|ax2-x|与直线y=一x十a交点 的个数.当a=0时，曲线y=|x|与直线y= BF的距离为 10+0-1_√2 √12+12 2 一x有无数个交点，不符合题意；当a<0时， 4.D【解析】根据题意得3x一十kπ，k∈乙，故 曲线y=|ax2一x|与x轴的2个交点坐标分 x一晋十经：k∈Z当及-1时，x一受，满足 别为日0)和(0,0)，直线y=-x十a与y轴 要求 的交点坐标为(0，a),因为直线y=一x十a的 5.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3), 斜率为-1若>al,即-1<a<0,则它 所以a·(a-b)=15. 们有2个交点.又曲线y=-ax2+x在x=1 处的切线的斜率恰为一1，所以当a≤一1时， 该曲线与直线y=一x十a至多有一个交点， 不符合题意；当a>0时，曲线y=|ax2一x|与 x轴的2个交点坐标分别为（合0）和0,0， 6.B【解析】若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x 是奇函数，则f(x)十f(-x)=0,故f'(1) 且曲线y=一ax2十x在x=士处的切线的斜 0,f(x)=ax3+x,所以f'(x)=3ax2+1,则 率为一1，与直线y=一x十a的斜率相同，即当 了1=a十1=0，所以a=-号 a=1时，曲线y=|ax2-x|与直线y=-x十a 7.A【解析】设圆台的高为h,则令(4π+16x+ 在点(1,0)处相切，故当a>0时，它们总有 2个交点.综上，若函数f(x)有且仅有2个零 3 V4πX16元)=14元，故h=分·由几何关系可知 点，则a的取值范围是(-1,0)U(0,十∞). 。1· ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 0,故C正确对于D,不妨设a>b>c,则分> 9.AB【解析】由双曲线C:号6-1可知C 1,>1,f(8)>0,f()>0,且2< 的焦点在y轴上，焦距2c=2√9+16=10，离 心率为？，渐近线方程为y=士是x,故A,B 3 22<2,所以2f合)+f()+ 正确，C,D错误 2-f(）<2-f(分)+2-f()+ 10.ACD【解折】可-合产：-日之2，+1D 2f(后）=xf(合·名·)=2必f) 2+1,即2元=y-1,放A正确；号= 2o 0,故D正确， 三、填空题 9-82知x,+1-ex+叮-4x82c, 12.22【解析】因为a1=2,S2=a1十a2=-2,所 8=1 以a2=-4,故等比数列(an}的公比g=a2- 一10=了-5-1=-1，放C正确；号含 -2,所以5，=a11二9）=2. 1-q 2x)2=2y:-y+1)=含(y,-)2+ 13.√10【解析】法一：设y=√1-x2,则x2+ 8日1 8-1 y2=1(y≥0)，该曲线为圆心是坐标原点，且 号2：-可+1=+1，放D正确 半径是1的半圆.设3√1一x2+x=x+3y= 11.BCD【解析】令x=y=1,由f(xy)=f(x)十 6,得y=一音+合故当直线)=一专+9与 f(y),得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0,且 当x∈(0,1)时，f(x)<0;当x∈(1，+o∞)时， 半圆相切时，名的值最大，根据几何关系可知 f)>0对于A,不妨设a=}b=写c=司 1 号°，故f(x)的最大值为V. 则f(a+b)<0,f(b+c)<0,f(c+a)<0, 所以f(a十b)+f(b+c)+f(c+a)<0,故 法二：设x=c0s0,0∈[0，π]，则3√1-x+ A错误对于B,根据f(x)的性质有f(a+ x=3sin0+cos0=√10sin(0+p),故当sin(0+ p)=1时，f(x)的最大值为10. )+f+)+f+a)>f层)H 14. 2【解析】在△ABC中，因为A=平，所以 )+(8)=fg·名·豆) f(1)=0,故B正确.对于C,不妨设a<b<c coso cos oos C- 则>1，>1（台）>0，（分）>0，所以 sin Bsin C--√2 cos(B-C)=cos Bcos C+ f(怡)+f(后)+f()<f(合) sin Bsin C=2 3,由以上两式可知sin Bsin C= f(6)+f()-cf(台·6·)-cfw= 72设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由 2 2025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 ·数学· b 1 正弦定理可知， sin A sin B-sin C sin B- C 放Ex)=1x号+x+3X+4X0-2 6b,sin C= √2 6c,sin Bsin C=1 _7√2 (13分) 12’ 16.(1)证明：因为PG=GH, 解得c=21 21 22,所以Sae=2csnA- 1 所以G为PH的中点. 又F为PB的中点， 四、解答题 所以由三角形中位线定理可知GF∥BH. 15.解：(1)从5张卡片中随机依次取出2张卡 (3分) 片，共有A=20种取法， (2分) 因为BHC平面BEH,GF中平面BEH, 其中第二次取出的卡片上的数字比第一次取 所以GF∥平面BEH. (5分) 出的卡片上的数字大2的情况有3种，分别 (2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正 是第一次取出的卡片上的数字为1，第二次取 方形， 出的卡片上的数字为3；第一次取出的卡片上 所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所 的数字为2，第二次取出的卡片上的数字为 在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示 4;第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取 的空间直角坐标系。 出的卡片上的数字为5， (4分) AZ 所以第二次取出的卡片上的数字比第一次取 出的卡片上的数字大2的概率为易 (5分) G (2)从5张卡片中随机一次取出2张卡片，共 有C号=10种取法， (6分) E H 其中2张卡片上的数字之差的绝对值X的所 有可能取值为1,2,3,4. K X二1的取法有4种，故P(X=1)二=) (7分) X=2的取法有3种，故P(X=2》=3 0: 设AD=DG=2,则B(22,0),E(1,02) (8分) G(0,0,2),H(0,0,1),K(1,0,0), X=3的取法有2种，故P(X=3)= 21 105 所以-(1,0,2)，=(2,2，-1)， (9分) GR=(1,0,-2). (8分) 1 X=4的取法有1种，故P(X=4)=10, 设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,之1)， (10分) H龙·m=0, 1 则 即1十21=0， 所以X的分布列为 HB·m=0 2x1+2y1-z1=0. X 2 3 令x1=1,得y1=一2，之1=一2，则平面BEH 3 的一个法向量为m=(1,一2，一2). P 5 10 5 10 设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,之2)，由 (11分) (1)可知GF与HB共线， ·3· ·数学· 参考答案及解析 则 GK·n=0, 即22-22=0, (3)证明：在(2)的条件下可知x1x2=1. HB.n=0, 2x2十2y2-z2=0. 不妨设点P在第一象限，则P(x1,2√x1), 令x2=2,得y2=- 22=1,则平面FGK P'(x1,-2x1),Q(x2,-2x2), 的-个法向量为m=(么，一含1小 故直线p'Q的斜率为一2+2V2_ (12分) x1一x2 2 所以|cos〈m,n〉= m·n √x1+√x2 m n 即P'Q的方程为y= 2 1X2+(-2)×(-2)+(-2)x1 (x-x1) √x1十√x2 2√29 29 2√J1. (13分) 令y=0,则x=-√x1x2=一1， (14分》 故直线P'Q过定点(-1,0) (15分) 故平面BEH与平面FGK所成二面角的正 18.(1)解：f(x)=2-2= 2(x+1)(x-1) 弦值为5v29 29 (15分) (x>0), (1分) 17.(1)解：当点P的横坐标为4时，由抛物线的 当0<x<1时，f'(x)<0; 定义可知PF-名=5-2-4， 当x>1时，f'(x)>0, (2分) 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递 故p=2,所以C的方程为y2=4x. (3分) 增区间是(1，十∞). (3分) (2)解：由(1)知F(1,0),设过点F且不与x (2)解：设h(x)=g（x)-e2r-a.x=e 轴垂直的直线的斜率为k,则直线方程为y= e2r-sin x-ax,h(0)=0,h'(x)=e- k(x-1) 2e2:-cos x-a. 联立=4x, 令h'(0)=0,则a=-2. (4分) 得k2x2-2(k2+2)x+ y=k(x-1), 当a<-2时，h'(0)>0, k2=0. (5分) 所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)> 0,h(x)单调递增， 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k≠0，△>0，且 故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0, x1十x2= 2(k2+2) k2 ,x1x2=1. (6分) 即g(x)>e2r十ax,不符合题意. (5分) 故由抛物线的定义可知|PQ|=x1十x2十2 当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2x-cosx十2， 克，放十 且当x>0时，e'-2e2x-cosx+2<-e2x- 17 4, cos x+2. 令k(x)=-e2x一cosx十2，则当x>0时， 解得x1=4,x2= 4或x1=4,x2=4, k'(x)=-2e2:+sin x<0, 所以不妨设P4,0,Q(行，-则p'4,-0, 故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)< k(0)=0, (8分) 所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以1PQ=4-)+(-4+1)_3④ 所以当x>0时，h(x)<h(0)=0, 即g(x)<e2x十ax. (8分) (10分) 综上，a的取值范围是[一2，十o∞).(9分) ·4· 2025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 ·数学· (3)证明：设ln=r,则r>0,t=e∈(0,1)， (2)解：因为Y:是公差为k的等差数列，i=1, 2,…,2k,所以a,=a1,d十(i-1),(4分) 故f)-g(n)=fe)-g)=e 故2a4=2a1+(总：-2)=2a14十 =1 =1 =1 2r-e+sin r, 2k3-k2. (5分) 由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0, 记数表中第j行的数字之和为S,=登。， 故f(e)>g(r). (11分) j=1,2,…,2k, 由f1-s)=8(n）=g),得f(e)> 因为Y:是公差为k的等差数列， 所以S1,S2,…,S2是公差为2k2的等差数列， f(1-s). (6分) 又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区 间(0,1)上单调递减， 故多3，=265，十2k26-卫.2=1+2+…+ 所以0<er<1-s<1, 4级：=462（462+1D=26(4h+1）, 即-lnt=r>-ln(1-s),s<1-t.(13分) 2 令(x)=lnx-x+1,则p'(x)=1- 解得登a1=S,=2k3十b2十k, 当0<x<1时，9'(x)>0,p(x)单调递增； 放a-e十2-6=4长+.（8分) 当x>1时，p'(x)<0,9(x)单调递减， (3)证明：构造如下2k×2k数表： 故当x≠1时，p(x)<p(1)=0, Y Ya Y2-1 Yu 所以r>-ln(1-s)>s. (14分) X 4k9 a1,2k-1 6k-2 当x>0时，g'(x)=e-cosx>0. X2 4k2-1 2 a2,2k-1 6k一4 令t(x)=e-cosx,x>0, 则t'(x)=e+sinx>0, X2k-1a2k-1,1 a2k-1.2 2k-1 2k+2 故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增， 6k-3 6k-5 2k+1 2k 所以f(t)=f(er)>g(r)>g(-ln(1-s)> 由该表可以看出在所有行和所有列中两个数 g(s)>0. (15分) 和的最小值为(2k一1)+(2k十1)=4k 当0<x<1时，设x3[f'(x)十g'(1-x)]< 若将1,2，…，2k,2k十1这2k十1个数填入数 2(x2-1)+x[e1-x-cos(1-x]=u(x), 表，则必存在一个数（记为之）及另外两个数 u'(x)=4x+el-*-cos(1-x)+x[-el-*- (记为x和y),使得之与x在同一行，且之与 sin(1-x)]>x[3-sin(1-x)]+(1 y在同一列，而之十x和之十y中至少有一个 x)(e1-x-1)>0, 不大于4k, 故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0. 故S的最小值m=4k. (10分) 又g'(x)单调递增，s<1-t, 所以0<g'(s)<g'(1-t)<-f'(t). 若子1份≤号，则2≤M<26+2,且由 综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)+g'(s), (2)可知X1的各项之和为S1=2k3+k2十k, 即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s). (17分) 不妨设a1,1<a1.2<…<a1.2,则易知a11= 19.(1)解：X3:9,10,11,12; (1分) 1,a2,2k=4k2,且a1,2十（2k-1)k=a2k,2= Y3:3,7,11,15. (2分) 4k2,故a1,2%=2k2十k,故可令X1:1,2,…,k, ·5· ·数学· 参考答案及解析 2k2十1,2k2十2，…，2k2十k,满足上述要求， 同理，设数表中包含D2中所有元素的行共有 并将(2)中所给定的X1,X2,…,X填入数 u行，且包含D2中所有元素的列共有v列，则 表，此时数表中每一行中所填的数的最大差 uw≥>k2+1,从而u+v≥2√uw≥2√k2+1>2k. 不超过2k2十一1，而每一列中所填的数的最 (15分) 大差不超过22一k,故对于该数表，任意一行 又s,t,u,v均为正整数， 或一列中所填的数的最大差不超过2k2十k一 所以s+t≥2k,u+v≥2k+1,s+t+u+v≥ 1,故猜想d的最大值M=2k2+k-1. 4k+1, (12分) 所以一定存在某一行或某一列，使得该行或 下面证明对任意给定的数表，一定存在某一 该列既包含D1中的元素，也包含D2中的元 行或某一列中两个数的差不小于2k2+k一1. 素，而D2中任意元素与D1中任意元素之差 设集合D1={1,2,…,k2一k十1}，D2={3k2, 至少为2k2+k-1,故M=2k2+k-1, 3k2+1,…,4k2〉. (13分) (16分) 设数表中包含D1中所有元素的行共有s行， 故对任意的∈N·, m 4k2 且包含D1中所有元素的列共有t列，则D M=2k2+k-1≤2，且 中所有元素都位于这些行与这些列的相 4 2 2 交处， M-(2k-1)(k+1) (1-)+ k+1 所以st≥k2一k十1，从而s+t≥2√st≥ 2m2 (17分) 2WR2-k+1>2k-1. 综上十1M杀 ·6姓名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年9月高三秋季人学摸底考试巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓 名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填 写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选 择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x|一2<x<2},N={一√2,0，√5}，则M∩N= A.{0} B.{2} C.{-√2,0} D.{-√2,5} 2.已知复数之在复平面内对应的点为(1，一1)，则之= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 3.设椭圆号十y=1的上顶点为B,右焦点为F,则坐标原点到直线BF的距 离为 A司 ®号 C.1 D.√2 4.函数f(x)=sin3x图像的对称轴方程可以为 Ax=-3 Bz=军 C.x=-骨 D.x- 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a· (a-b)= -14 b ￥.」 A.-10 B.5 C.15 D.20 数学试题第1页（共6页） 6.若函数f(x)=ax3+f'(1)ex十x是奇函数，则a= A.-1 3 c号 7.已知圆台的上、下底面半径分别为2,4，体积为14π，则该圆台的表面积为 A.35元 B.36π C.37π D.38π &若函数fx)-x是-a十x-a有且仅有2个零点，则。的取值范围是 A.(-1,0)U(0,1] B.(-∞，-1)U[1,+∞) C.(-1,0)U{1} D.(-1,0)U(0,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知双南线C:号-行1，则 A.C的焦点在y轴上 B.C的焦距为10 C,C的离心率为 D.C的渐近线方程为y=士4 10.设样本数据x1,x2,…,x8的平均数为x,方差为s1;设y:=2x:十1，i=1, 2,…,8,样本数据y1,y2,…,y8的平均数为y,方差为s,则 A.2x=y-1 B.4s3<s8 c822:-刀=-1 2：-2到=+1 D. 11.已知f(x)是定义在区间(0，十∞)上的增函数，且对任意的正数x,y,满 足f(xy)=f(x)+f(y).设a,b,c为互不相等的正数，则 A.f(a+b)+f(6+c)+f(c+a)>O B.fa+)+f()c+)> C.af(2)+of()+cf(2)<o D.2-“f(分)+2-f()+2-f()<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S= 13.函数f(x)=3√1-x2十x的最大值为 14.在△ABC中，A=王，os(B-C)-2 ,BC=3,则△ABC的面积为 数学试题第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)随机依次取出2张卡片，求第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡 片上的数字大2的概率； (2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的绝对值为X,求X的 分布列及数学期望E(X). 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H 为PD上的两点，且PG=GH=HD (1)证明：GF∥平面BEH; (2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求面BEH与面 FGK所成的二面角的正弦值 G E F H D B 数学试题第3页（共6页） 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线 与C交于P,Q两点，且当点P的横坐标为4时，|PF|=5.设P'为P关于x轴的 对称点 (1)求C的方程： 2若1PQ-,求P'Q1: (3)证明：直线P'Q过定点. 数学试题第4页（共6页） 18.(17分) 已知西数f)=2nx+是g(x)=esim工. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x>0时，g(x)<e2x十ax,求a的取值范围； (3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(ln),证明：f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s). 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 设飞为正整数，数列X:a,1,a,2,…,a,2和数列Y:a1,i,a2,i,…,a2,可构成 如下2k×2k数表，i=1,2,…,2k,且数列2：X1,X2,…,X2为1,2，…，4k2的一 个排列. a1,1 a1,2 a1,2k a2,1 a2,2 a2,2k a2k,1 a2k,2 a2k,2k (1)若k=2,2:1,2,…,16,写出X3和Y3 (2)若Y,是公差为的等差数列，i=1,2,…,2,求登a (3)若对任意给定的2，总能在数表的某一行中或某一列中找到和不大于S 的两项，且总能在数表的某一行中或某一列中找到差的绝对值不小于的两项， 记m为S的最小值，M为d的最大值，证明十1<M不： 2m2 数学试题第6页（共6页）