第2章 章末综合提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

该高中数学讲义通过分类梳理构建圆的方程与位置关系知识体系，以“求圆的方程”“直线与圆的位置关系”“圆与圆的位置关系”为核心模块，用知识框架图呈现待定系数法、几何法等方法脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“方法-例题”融合设计，如例1结合待定系数法与弦长公式求圆方程，例2用几何法判断直线与圆位置关系，培养数学思维与运算能力。分层例题满足不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

类型1　求圆的方程 1．求圆的方程的方法 求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式． (2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)． (3)解出a，b，r(或D，E，F)． (4)代入圆的方程． 【例1】　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程． [思路探究]　设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过求解方程组，从而得到圆的方程． [解]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由圆C与y轴相切，得|a|＝r，① 又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，② 圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴2＋()2＝r2．③ 联立①②③解方程组可得或 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9． 类型2　直线与圆的位置关系 判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系． 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程． [解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5． (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1． 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1． (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2． 设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离 d＝＝． 因为BC＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋2， 所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15． 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． 类型3　圆与圆的位置关系 判断两圆位置关系的两种方法比较 (1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系． 【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0． (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． [解]　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13． 圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝． 因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切． 由 得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0． 点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝． 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $