5.1.1 平均变化率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦“平均变化率”核心知识点，前承函数变化的直观认识，后启导数概念的精确构建，通过高台跳水情境引入、定义解析、步骤归纳（求自变量改变量、函数值改变量、计算平均变化率）及基础计算、实际应用（如圆面积变化、赛车速度）等分层例题搭建学习支架。 该资料以实际情境驱动教学，如高台跳水、赛车位移问题培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过定义辨析题和步骤归纳发展数学思维，结合曲线陡峭程度的几何意义强化数学语言表达。课中例题分层助力阶梯式教学，课后练习题与回顾总结帮助学生查漏补缺，巩固知识。

5.1　导数的概念 5.1.1　平均变化率 学习任务 核心素养 1．了解平均变化率的实际背景． 2．理解平均变化率的含义．(重点) 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点) 1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养． 高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 知识点　平均变化率 (1)平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 1．思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0． (　　) (2)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故选B．] 类型1　求平均变化率 【例1】　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [解]　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为 ＝＝12.3． (2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝3． 　求函数平均变化率的步骤是什么？ [提示]　求函数平均变化率的步骤： (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率． [跟进训练] 1．如图，函数y＝f(x)在[1，5]上的平均变化率为(　　) A．　　　　　　 B．－ C．2 D．－2 B　[＝＝－．故选B．] 2．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1，0]上的平均变化率为________． 1　 [∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，f(0)＝－5， ∴＝＝1．] 类型2　实际问题中的平均变化率 【例2】　【链接教材P188例1、例2】 (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________． (2)在F1赛车中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？ (1)0.4π　[∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时， 圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π．] (2)[解]　赛车在[20，20.1]上的平均速度为 ＝ ＝＝210.5(m/s)． 【教材原题·P188例1、例2】 例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图5-1-2所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． [解]　从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为＝1(kg/月)， 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月)． 例2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(图5-1-3)，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率． [解]　在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为 ≈＝－0.316 1(cm3/s)， 即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)． 　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． [跟进训练] 3．某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率． [解]　前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年)． 后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年)． 类型3　函数平均变化率的应用 【例3】　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系是________． 如何确定的大小关系？ [提示]　根据平均变化率的几何意义，即转化为直线的斜率进行判断． ＞＞　[＝＝kOA， ＝＝kAB，＝＝kBC， 由图象知，kOA<kAB<kBC，所以>>．] [母题探究] 在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是(　　) A．[0，1]　　　　　　 B． C． D． D　[在区间[0，1]，上时，Δt相同，由图象可知函数在区间上的Δs最大．所以函数f在区间上的平均变化率最大．] 　平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢． [跟进训练] 4．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号) ①v甲>v乙；②v甲<v乙；③v甲＝v乙；④大小关系不确定． ②　[由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<， 所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．] 1．函数f(x)＝x2＋c(c∈R)在区间上的平均变化率为(　　) A．2 B．4 C．c D．2c B　[根据题意，f(x)＝x2＋c，则有＝＝4．] 2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 B　[＝＝＝2．] 3．若函数f＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于(　　) A． B．3 C．5 D．16 B　[因为＝＝m＋1＝4，所以m＝3．] 4．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________． 2　[＝＝＝2．] 5．(教材P190练习T3改编)已知函数f(x)＝3x2＋5． 求：(1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [解]　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9． (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝＝－5＝6x0Δx＋3(Δx)2． 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是什么？ [提示]　函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． 2．平均变化率的几何意义是什么？ [提示]　(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $