5.3.3 第2课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

第2课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用 学习任务 核心素养 1．能用导数解决函数的零点问题． 2．体会导数在解决实际问题中的作用． 3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点) 1．借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养． 2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养． 3．借助对实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养． 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 知识点1　函数图象的画法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象： (1)求出函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出f(x)的大致图象． 知识点2　用导数解决优化问题的基本思路 [知识拓展]　解决生活中优化问题应注意的问题 (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 C　[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∵0x5，∴当x＝1时，f′(x)的最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1．] 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 C　[由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)． 当0＜x＜9时，y′＞0； 当x＞9时，y′＜0． 故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值．] 类型1　利用导数研究函数的图象 【例1】　函数y＝(其中e为自然对数的底数)的大致图象是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　[由函数y＝可知，当x＝0时，y＝0，排除C； 当x＜0时，y＜0，排除A； y′＝＝，当x＜3时，y′＞0，当x＞3时，y′＜0， ∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B．] 　由解析式研究图象常用的方法 根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性、定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等． [跟进训练] 1．函数f(x)＝－2x2的图象大致为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[∵f(x)＝f(－x)，当x＞0时，f′(x)＝·2x－4x，令f′(x)＝0，则－2)＝0⇒x＝∈(0，1)，且f()＝2－2ln 2＞0，∴当x＞0时，f(x)＞0，且只有一个极值点，∴排除B，C，D．故选A．] 类型2　用导数研究方程的根 【例2】　设函数f(x)＝－k ln x，k＞0． (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． [解]　(1)由f(x)＝－k ln x(k＞0)得f′(x)＝x－＝，x>0，由f′(x)＝0解得x＝． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)   所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值． (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝． 因为f(x)存在零点，所以0，从而ke． 当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0， 所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点． 当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0， 所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 　与函数零点有关的问题 与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)，确定参数的取值范围． [跟进训练] 2．若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，求实数a的取值范围． [解]　由ax＝x知x＞0，故 x ln a－ln x＝0⇒ln a＝， 令f(x)＝(x＞0)，则 f′(x)＝． 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0， f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝，即ln a＜，即a＜．画出函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝x的图象，结合图象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则a＞1．综上可知，实数a的取值范围为． 类型3　导数在实际生活问题中的应用 角度1　用料最省、成本(费用)最低问题 【例3】　【链接教材P219例9】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． [思路探究]　(1)由C(0)＝8可求k的值，从而求出f(x)的表达式． (2)求函数式f(x)的最小值． [解]　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0x10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝． 而建造费用为C1(x)＝6x． 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0x10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)． 当0x<5时，f′(x)<0， 当5<x10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70． 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 【教材原题·P219例9】 某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？ [解]　如图5-3-8，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积为S(R)＝2πRh＋2πR2． 又V＝πR2h(定值)，则h＝，所以S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2(R＞0)． S′(R)＝－＋4πR，令S′(R)＝0，解得R＝＝2R， 即h＝2R． 当R＜时，S′(R)＜0；当R＞时，S′(R)＞0． 因此，当h＝2R时，S(R)取得极小值，且是最小值 答：当罐高与罐底的直径相等时，用料最省． 　求解优化问题中的最小值问题的思路 在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值．若求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值． [跟进训练] 3．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜vv0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？ [解]　设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2．∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，则y1＝5v2． 设全程燃料费为y元，由题意， 得y＝y1·＝， ∴y′＝＝． 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16． 若v016，当v∈(8，16)时，y′＜0，函数单调递减；当v∈(16，v0]时，y′＞0，函数单调递增．故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省． 若8<v0＜16，则v∈(8，v0]，且y′＜0，函数在(8，v0]上单调递减．故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省． 综上可得，若v016，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元． 角度2　利润最大、效率最高问题 【例4】　【链接教材P220例10】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ [提示]　根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值． 2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ [提示]　(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数． [解]　(1)因为当x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，a＝2． (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝＋10(x－6)2(3＜x＜6)， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6， 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)， 令f′(x)＝0， 得x＝4或x＝6(舍去)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值42  由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42． 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【教材原题·P220例10】 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)． (1)如果C(x)＝10-6x3－0.003x2＋5x＋1 000，那么生产多少单位产品时，边际成本C′(x)最低？ (2)如果C(x)＝50x＋10 000，产品的单价p(x)＝100－0.01x，那么怎样定价可使利润最大？ [解]　(1)C′(x)＝3×10-6x2－0.006x＋5， 记g(x)＝C′(x)． 由g′(x)＝6×10-6x－0.006＝0， 解得x＝1 000． 结合C′(x)的图象(图5-3-9(2))可知， 当x＝1 000时，边际成本最低． (2)由p(x)＝100－0.01x，得收益函数 R(x)＝x(100－0.01x)，则利润函数 P(x)＝R(x)－C(x) ＝x(100－0.01x)－(50x＋10 000) ＝－0.01x2＋50x－10 000． 由P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得x＝2 500． 结合图5-3-9(3)可知，当x＝2 500时，利润最大，此时 p(2 500)＝100－0.01×2 500＝75． 答：生产1 000个单位产品时，边际成本最低；当产品的单价为75时，利润最大． 　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． [跟进训练] 4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高．市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大． [解]　(1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件， 则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)， ∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)． (2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝，x2＝－(舍)， 当0＜x＜时，y′＞0；＜x＜1时，y′＜0， ∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝处取得极大值也是最大值， 故改进工艺后，每个配件的销售价为20×＝30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大． 1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　) A．30　 　　B．40　　 　C．50　 　　D．60 B　[V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)， 因为0＜x＜60， 所以当0＜x＜40时，V′(x)>0， 此时V(x)单调递增； 当40<x<60时，V′(x)<0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40．] 2．设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D．又由于函数f(x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C．] 3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[0，2] C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) A　[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题． 令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3， 令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]， ∴m∈[－2，2]，故选A．] 4．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 800　[设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800．当0<x<200时，y′<0；当x>200时，y′>0．所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．利用导数解决函数的零点问题的一般方法是什么？ [提示]　与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系． 2．利用导数解决实际应用问题的一般方法是什么？ [提示]　(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域； (2)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点处函数值比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $