4.3.2 第2课时 等比数列的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

第2课时　等比数列的性质 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点) 1．通过灵活设项求解等比数列问题以及对等比数列性质的应用，培养数学运算素养． 2．借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养． 在等差数列{an}中，存在很多的性质，如 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． (3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列． 那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？ 知识点1　推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 如何推导an＝amqn－m? [提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m． 1．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________． 9　[因为a7＝a5q2，所以q2＝． 所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9．] 知识点2　“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，其公比为q，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． 知识点3　等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 2．已知数列{an}是等比数列，下列说法错误的是(　　) A．a3，a5，a7成等比数列 B．a1，a3，a9成等比数列 C．an，an＋1，an＋2成等比数列 D．n＞3时，an－3，an，an＋3成等比数列 B　[在等比数列{an}中，若m＋n＝2p，则aman＝，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B．] 3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　) A．－25 B．25 C．10 D．20 B　[在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝9＋10， ∴a7a12＝a8a11＝a9a10． ∴原式＝(a7a12)2＝25．故选B．] 类型1　等比数列的性质及应用 【例1】　已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [思路探究]　利用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”求解． [解]　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝． (2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10． 　解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量．这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐． (2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等等性质经常用到． [跟进训练] 1．(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5　　 　B．7　　 　C．6　 　　D．±5 (2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为(　　) A．－或 B．－ C． D．或－ (1)A　(2)D　[(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝＝10，所以a2a8＝50， 所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝＝()3＝＝5． 法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5．又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5． (2)等比数列{an}中，∵a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根， ∴a2·a16＝2．又∵ a2 ·a16 ＝ ＝2，∴a9＝±，∴＝＝a9＝±．故选D．] 类型2　灵活设项求解等比数列 【例2】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． [解]　法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a． 由题意得解得q＝2或q＝． 当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18； 当q＝时，a＝，这四个数为． 法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d． 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或． 法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a， 设第二个数为b，则第三个数为18－b， 则这四个数为a，b，18－b，21－a， 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或． 　巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三个数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2． (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2． 若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3． [跟进训练] 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，由条件得 解得或所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1． 法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a， 设第二个数为b，则第三个数为12－b， ∴这四个数为a，b，12－b，16－a， 由题意得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1． 类型3　由递推公式构造等比数列 求通项 【例3】　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4． (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． 如何由Sn＝2an＋n－4转化为an的关系式？ [提示]　Sn－Sn－1＝an(n2)． [解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1－4，解得a1＝3． (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n2时， Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1， 且b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列． 　两种递推公式构造等比数列的模型 (1)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}． (2)形如an＋1＝can＋dn(c≠d，cd≠0)的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn+1得＝，进而化归为等比数列．还可以两边同除以cn+1得＝，再利用累加法求出，即得an． [跟进训练] 3．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝an＋，试证明为等比数列，并求{an}的通项公式． [证明]　令an＋1－A×＝， 则an＋1＝an＋． 由已知条件知＝1，得A＝3， 所以an＋1－3×＝． 又a1－3×＝－≠0， 所以是首项为－，公比为的等比数列． 于是an－3×＝－， 故an＝3×－2×． 类型4　等比数列的实际应用 【例4】　从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样继续进行． (1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现各次剩余的纯酒精的体积构成什么数列吗？ (2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升？(精确到小数点后两位) [解]　(1)倒第1次后，剩下的酒精是19 L，用水填满后，混合溶液浓度为×100%，故第2次倒出的1 L混合溶液中含纯酒精1×＝(L)，此时容器里还剩有纯酒精19－＝19×＝18.05(L)．每次倒完后剩下的纯酒精为原来的， 即每次倒完后剩下的纯酒精的体积是以a1＝19为首项，q＝为公比的等比数列． (2)由(1)知an＝19·(n∈N*)， a5＝19×＝19×0.954≈15.48(L)，故倒5次后容器中还剩有纯酒精15.48 L． 　求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要． [跟进训练] 4．《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”问：巢有几何？________． 6 561　[由题意可知堤、木、枝等各事物的数量构成以9为首项，9为公比的等比数列，由等比数列通项公式可知，巢的数量为a4＝9×93＝94＝6 561．] 1．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝(　　) A．26 B．30 C．34 D．38 C　[由题意可得＝a2a6，即＝a2， 结合题意有(a2＋4)2＝a2(a2＋16)，解得a2＝2，则a10＝a2＋8d＝2＋8×4＝34．故选C．] 2．已知数列{an}为等比数列，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6 ，则S11＝(　　) A．44 B．－44 C．88 D．－88 A　[由题意，数列{an}为等比数列，满足a2＝1，a10＝16，根据等比数列的性质，可得a2a10＝1×16＝，a6＝a2q4>0，可得a6＝4， 所以b6＝a6＝4，则S11＝＝11b6＝44，故选A．] 3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________． 8　[设插入的3个数依次为a，b，c， 即，a，b，c，8成等比数列， 由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4， 因为a2＝b>0，所以b＝2(舍负)． 所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．] 4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________． 7　[∵a6a10＝，a3a5＝， ＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数， ∴a4＋a8＝7．] 5．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7； (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q． [解]　(1)法一：由题知相除得q8＝9． 所以q4＝3， 所以a7＝a3·q4＝9． 法二：因为＝a3a11＝81， 所以a7＝±9． 又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9． (2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3． 所以q4＝＝4或， 所以q＝±或q＝±． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 等比数列项的运算性质有哪些？ [提示]　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $