3.3.1 抛物线的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 学习任务 核心素养 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．明确p的几何意义，掌握抛物线的简单应用．(难点) 1．通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过对抛物线定义及标准方程的应用，培养直观想象、数学建模等核心素养． 我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线——抛物线． 在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 现在来做一个实验． 如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板的顶点A处，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F处；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线． 知识点1　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝4x2的焦点坐标为(1，0)． (　　) (2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为x2＝4y． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________． 　[把方程化为标准形式为x2＝y，所以焦点在y轴上，坐标为．] 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　【链接教材P111例1、例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． [解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y． (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y． (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15． ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x． 【教材原题·P111例1、例2】 例1　已知抛物线的焦点为F(5，0)，求抛物线的标准方程和准线方程． [解]　因为抛物线的焦点为F(5，0)，所以可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)， 其中＝5，即p＝10，2p＝20． 因此，所求抛物线的标准方程是y2＝20x， 准线方程是x＝－5． 例2　求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程． [解]　如图3-3-3，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形 y2＝－2p1x(p1＞0)和x2＝－2p2y(p2＞0)． 分别将点P的坐标代入方程可以解得 p1＝4，p2＝． 因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y． 　1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个方面 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置不确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论次数； (3)注意p与的几何意义． [跟进训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点(－3，－1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． [解]　(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y． (2)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2p1y(p1>0)， 则由(－3)2＝－2p1×(－1)，解得p1＝． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y． (3)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x． 类型2　抛物线定义的应用 【例2】　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [思路探究]　利用抛物线的定义，把|PF|转化成点P到准线的距离． [解]　如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B， 则|PA|＋|PF| ＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5． 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1， ∴P(1，2)． 　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟进训练] 2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． [解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得， ∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|， 易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部， 连接AF，交y2＝2x于点P′， 欲使所求距离之和最小， 只需A，P′，F共线， ∴其最小值为 |AF|＝＝． 类型3　抛物线的实际应用 【例3】　河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问：水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y． ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－． 又知船露出水面部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航． 　求解抛物线实际应用题的步骤 [跟进训练] 3．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． [解]　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． ∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为． 由点B在抛物线上，得＝－2p·， ∴p＝．∴抛物线方程为x2＝－ay． 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点， 代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0， ∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝，令h＞3，则＞3， 解得a＞6＋或a＜6－(舍去)． ∴a的最小整数值为13． 1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－2x　　　　　　 B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B．] 2．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 D　[由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D．] 3．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________． 　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－－＝．] 4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 2　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．] 5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标． [解]　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝．设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x． 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．为了避免讨论，如何灵活地设抛物线的标准方程？ [提示]　焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－． 2．根据抛物线的定义，焦半径公式是什么？ [提示]　对于抛物线y2＝2px(p>0)，焦半径|MF|＝|x0＋|； 对于抛物线x2＝2py(p>0)，焦半径|MF|＝． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $