3.2.1 双曲线的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦双曲线的定义与标准方程核心知识点，通过拉链实验抽象定义，梳理焦点在x轴、y轴的标准方程形式，构建从概念到方程推导，再到求方程、焦点三角形、轨迹问题及实际应用的完整学习支架。 资料以实验操作培养数学抽象（观察拉链运动抽象双曲线定义），通过定义中常数与焦距关系的分类讨论提升逻辑推理，结合救灾药品运输等实际案例发展数学建模。课中例题与跟进训练助教师高效授课，课后母题探究与回顾问题帮学生巩固知识，弥补薄弱环节。

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 学习任务 核心素养 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过对双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养． 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 知识点1　双曲线的定义 文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹 符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点间的距离 (1)在双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)在双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M的轨迹为双曲线的右支． 知识点2　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a＞0，b＞0) 焦点 F1，F2 F1，F2 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1．双曲线＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4．] 2．已知方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________． (－∞，－2)　[由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2．即m的取值范围为(－∞，－2)．] 类型1　求双曲线的标准方程 【例1】　【链接教材P97例1、例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．所以所求双曲线的标准方程为＝1． (2)法一：设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， ∵焦点相同， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．① ∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1．② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴所以双曲线的标准方程为＝1． 法二：设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3，2)， ∴＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所以双曲线的标准方程为＝1． (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0． ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴所以双曲线的标准方程为＝1． 【教材原题·P97例1、例2】 例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程． [解]　由题意可设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 因为2a＝8，c＝5，所以a＝4，b2＝c2－a2＝52－42＝9． 故所求双曲线的标准方程为＝1． 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，b＝4，焦点在x轴上； (2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上． [解]　(1)依题意a＝3，b＝4，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为＝1． (2)因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 由a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，可得解得b2＝16． 因此，所求双曲线的标准方程为＝1． 　1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程＝1或＝1(a，b均为正数)，再根据条件求出待定的系数，然后将其代入方程即可． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0． [跟进训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6)． [解]　(1)依题意得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5． 所以所求双曲线的标准方程为＝1． (2)因为焦点在x轴上，且c＝， 所以设双曲线的标准方程为＝1，0＜a2＜6． 又因为过点(－5，2)，所以＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1． (3)法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝||＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20． 所以所求双曲线的标准方程为＝1． 法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为＝1． 由题意知 解得a2＝16，b2＝20． 所以所求双曲线的标准方程为＝1． 类型2　双曲线的焦点三角形 【例2】　(1)在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝(　　) A．　　　B．±　　　C．－　　　D．± (2)已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积． 1．对如何运用？ [提示]　结合三角形中正弦定理及双曲线的定义进行转化解题． 2．如何把条件“|PF1|·|PF2|＝32”与所求“△F1PF2的面积”联系起来？ [提示]　在焦点三角形F1PF2中，运用余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式． (1)D　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)． ∴＝＝． 又∵|BC|－|AC|＝±8， ∴＝±＝±．] (2)[解]　由双曲线的标准方程＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5． 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100． 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos ∠F1PF2＝ ＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16． [母题探究] 1．(变条件，变结论)若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离． [解]　由双曲线的标准方程＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5． 由双曲线定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6， ∴|10－|PF2||＝6， 解得|PF2|＝4或|PF2|＝16． 2．(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． [解]　由|PF1|∶|PF2|＝2∶5， ||PF2|－|PF1||＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝＝×4×4＝8． 3．(变条件)本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． [解]　由＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5． 由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝－6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16． 　求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝求得面积． (2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积． 类型3　与双曲线有关的轨迹问题 【例3】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B， ∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|． 由双曲线的定义，知点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6． 即所求轨迹方程为＝1(x>)． 　求解与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)建立恰当的坐标系，列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． [跟进训练] 2．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． [解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1． 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4． 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|． ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝． 故动圆圆心M的轨迹方程为＝． 类型4　双曲线在实际问题中的应用 【例4】　【链接教材P98例3】 某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程． [解]　灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹． 设M为界线上的任一点， 则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|， 即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)． 因为|AB|＝＝50>50， 所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分． 如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 因为a＝25，c＝25， 所以b2＝c2－a2＝3 750． 故双曲线的标准方程为＝1． 注意到点C的坐标为(25，60)， 故y的最大值为60，此时x＝35． 故界线的曲线方程为＝1(25x35，0y60)． 【教材原题·P98例3】 已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s． (1)爆炸点在什么曲线上？ (2)求这条曲线的方程． [解]　(1)设M为爆炸点，由题意得MA－MB＝340×2＝680． 因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上(图3-2-3)． (2)如图3-2-3，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．设M(x，y)为曲线上任一点． 由MA－MB＝680，得2a＝680，即a＝340． 由AB＝800，得2c＝800，即c＝400， 所以b2＝c2－a2＝44 400． 因为MA－MB＝680＞0， 所以x＞0． 因此，所求曲线的方程为 ＝1(x＞0)． 　利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题． 注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用； ②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围． [跟进训练] 3．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km．现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少． [解]　以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)．根据题意，得C(3，)，A(－2，0)． 因为|MA|－|MB|＝2<|AB|， 所以点M的轨迹是双曲线x2－＝1的右支． 总费用为a|MB|＋a|MC|＝a(|MB|＋|MC|)． 因为|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2＝2－2，当M，A，C三点共线时，等号成立， 所以总费用最低为(2－2)a万元． 1．以椭圆＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　) A．－y2＝1 B．y2－＝1 C．＝1 D．＝1 B　[椭圆＝1的焦点为F1(0，1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0，2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1．] 2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[方程＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＝1表示双曲线”的充要条件．] 3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________． ±6　[若焦点在x轴上，则方程可化为＝1，所以＋k＝32，解得k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为＝1，所以－k＋＝32， 即k＝－6． 综上所述，k的值为6或－6．] 4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________． 4　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．] 5．已知双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程． [解]　因为椭圆＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)， 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为＝1． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．椭圆与双曲线的定义、方程及图形特征有什么不同？ [提示]　如下表所示： 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c，2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c，2a＜2c) 标准方程 ＝1或＝1(a＞b＞0) ＝1或＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b 以正负分a，b如 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 2．如何用待定系数法求双曲线的方程？ [提示]　用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $