1.2.1 直线的点斜式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 学习任务 核心素养 1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养． 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线． 已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？ 知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 点斜式 斜截式 已知 条件 点P(x1，y1)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程 形式 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b 适用 条件 斜率存在 提醒：在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　) (2)＝k与y－y1＝k(x－x1)都是直线的点斜式方程． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2 B．－1 C．3 D．－3 C　[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3．] 3．直线＝1在y轴上的截距是(　　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b B　[令x＝0，则y＝－b2．] 4．过点(2，1)且斜率为3的直线的点斜式方程为________． y－1＝3(x－2)　[因为直线的斜率为3，所以所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2)．] 类型1　直线的点斜式方程 【例1】　【链接教材P12例1】 (1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且与y轴的夹角为30°的直线方程为________． (1)y－5＝x－2　(2)y－2＝(x＋5)或y－2＝－(x＋5)　[(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2． (2)因为直线与y轴夹角为30°，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以斜率k＝tan 60°＝或k＝tan 120°＝－，所以直线的点斜式方程为y－2＝(x＋5)或y－2＝－(x＋5)．] 【教材原题·P12例1】 已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程． [解]　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0． 　求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0． [跟进训练] 1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． [解]　(1)由点斜式方程得y－4＝2(x－3)．(2)与x轴平行时，k＝0，∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4．(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3． 类型2　直线的斜截式方程 【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，与y轴的交点坐标为(0，2)； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． [解]　(1)由题意知直线在y轴上的截距为2，由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋2． (2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2． (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3． 　求直线的斜截式方程 (1)先求参数k和b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离． [跟进训练] 2．已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程． (1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)； (2)直线l与坐标轴围成等腰三角形． [解]　(1)由题意得直线l的斜率为k＝＝－1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2． (2)因为直线l在y轴上的截距为－2，所以l与y轴的交点为P(0，－2)，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为(－2，0)或(2，0)．由过两点的斜率公式得k＝－1或1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2． 类型3　直线的方程的简单应用 【例3】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 直线y－y1＝k(x－x1)与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？ [提示]　令x＝0，得y＝y1－kx1，所以直线y－y1＝k(x－x1)与y轴的交点坐标是(0，y1－kx1)； 令y＝0，得x＝x1－，所以直线y－y1＝k(x－x1)与x轴的交点坐标是． [解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1．故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1． 　利用待定系数法求直线方程 (1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率． (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距． [跟进训练] 3．已知△ABC的三个顶点分别是A，B，C．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的斜截式方程． [解]　由题意知：直线l是△ABC在BC边上的中线，由B，C，得B，C的中点坐标为，所以直线l的斜率k＝＝－，则直线l的斜截式方程为y＝－x＋3． 4．已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点，求直线l的点斜式方程． [解]　设直线y＝x＋1的倾斜角为α，则tan α＝，又α∈[0，π)，所以α＝，因为直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ＝tan ＝，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝． 1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D　[α＝135°的斜率k＝－1，所以方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0．] 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 C　[直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1．] 3．已知直线l过点(3，4)且与y轴的交点坐标为(0，1)，则直线l的方程为________． y＝x＋1　[由题意知直线的斜率k＝＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1．] 4．无论k取何值，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________． (－2，－3)　[直线方程能化成点斜式方程：y＋3＝k(x＋2)，所以过定点(－2，－3)．] 5．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程． [解]　直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－6＋＝0．∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°．如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0． 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．建立点斜式方程的依据是什么？ [提示]　直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1． 2．斜截式方程的标准形式及特征是什么？ [提示]　斜截式方程的标准形式是y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $