4.6 利用相似三角形测高 教学设计 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦于利用相似三角形测高这一核心知识点，通过“情境导入—方案设计—实践测量—模型构建”的学习支架，自然衔接旧知与新知。从阳光下的影子到标杆法再到镜子反射法，层层递进地引导学生将现实问题抽象为几何模型，实现从生活现象到数学原理的转化。 本资料亮点突出，充分落实数学核心素养。以“几何直观”和“逻辑推理”为核心，如在“镜子反射法”中借助图形分析入射角与反射角相等的关系，帮助学生建立空间想象能力；通过小组合作设计多种测高方案，培养“应用意识”与“创新意识”，例如学生自主提出“小孔成像”类比问题，体现迁移思维。教师可直接使用结构清晰的教学流程与真实情境任务，提升课堂实效，学生则能在做中学、学中悟，深化对数学本质的理解，增强解决实际问题的能力。

4.6利用相似三角形测高 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（上册）第四章“图形的相似”的第六节。内容包括运用相似三角形的判定与性质，设计测量不能直接到达顶部的物体（如旗杆、大树）高度的方案，并进行实际测量与计算。 （二）教学内容解析 教材地位：本节是相似三角形知识的“应用性”延伸，前承相似三角形的判定与性质，后启几何知识在实际问题中的综合运用，是连接理论几何与实践几何的关键节点。 核心素养：通过设计测量方案，培养学生的直观想象与逻辑推理能力；通过实际测量与数据计算，提升数学建模与运算能力，让学生体会“数学源于生活，用于生活”。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的高度. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能说出利用相似三角形测高的基本原理，会设计至少两种测高方案，并能根据测量数据准确计算物体高度。 2、通过小组讨论设计方案、合作完成实际测量，经历“提出问题—设计方案—实践操作—验证结论”的过程，提升合作探究与问题解决能力。 3、感受数学与现实生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣；在小组合作中培养团队协作意识与严谨的科学态度。 （二）教学目标解析 1、达成“知识与技能”目标的标志：学生能独立阐述“利用阳光下的影子”“利用标杆”等测高方案的原理，且能根据测量的长度数据，正确列出比例式并计算出物体高度，结果误差在合理范围内。 2、达成“过程与方法”目标的标志：在小组讨论中，学生能主动提出测高思路，与同伴共同完善方案；实际测量时，能合理分工（如测量、记录、监督），并能根据测量中遇到的问题（如影子被遮挡）及时调整方案。 3、 达成“情感态度与价值观”目标的标志：学生在实践活动中表现出积极参与的态度，愿意与同伴交流想法；在计算后能主动验证结果的合理性，体现严谨的科学精神。 三、学生学情分析 已有知识基础：学生已掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对应角相等），具备基本的几何推理能力；能进行简单的比例式变形与计算，为利用相似三角形列比例式求高度奠定基础。 潜在困难：一是难以将实际测高问题抽象为几何模型，无法准确识别出图中的相似三角形；二是在实际测量中，对测量工具（如卷尺）的使用不熟练，可能出现数据测量误差；三是设计方案时，考虑不全面，忽略实际场景中的限制条件（如无阳光、空间狭小）。 学习特点：九年级学生具备一定的自主探究与合作学习能力，对动手操作类的实践活动兴趣较高，更易通过“做中学”理解抽象的数学知识。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题)． 四、教学策略分析 1. 情境导入策略 通过播放“古代工匠测量金字塔高度”的短视频，或提出“学校旗杆很高，如何不爬上去就能知道它的高度”的真实问题，创设生活化情境，激发学生的探究欲望，自然引入本节课主题。 2. 合作探究策略 将学生分为4-5人小组，给予10分钟时间讨论“可以用哪些方法测量旗杆高度”，并要求画出方案对应的几何图形。教师巡视指导，引导学生从“相似三角形”的角度思考，帮助学生将实际问题转化为几何模型，突破“抽象建模”的难点。 3. 实践操作策略 针对小组讨论出的可行方案（如“影子法”“标杆法”），组织学生到室外进行实际测量。提前明确测量任务（如测量人的身高、影子长度、物体影子长度等），指导学生正确使用卷尺，记录数据时要求多次测量取平均值，减少误差，解决“测量不熟练”的问题。 五、教学过程分析 （一）复习引入 播放“金字塔测高”短视频，提问：“视频中古人利用影子测量金字塔高度，背后蕴含着什么数学知识？我们学校的旗杆高度，能不能用类似的方法测量？”引导学生思考，引出课题《利用相似三角形测高》。 学生活动：观看视频，积极思考教师提出的问题，初步感知“用相似三角形测高”的思路。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 方法1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度． 操作方法：如图所示,每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部分,一部分同学测量该同学的影长,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长. 根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由. ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB． ∴∠AEB=∠CBD． ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE=∠CDB=90°． ∴△ABE∽△CDB． ∴，即． 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 方法2．利用标杆测量旗杆的高度． 根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由. 如图，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M． ∵EF⊥BD，CD⊥BD， ∴∠EFB=∠CDB=90°． ∴EF∥CD． ∴∠AME=∠ANC=90°． 又∵∠EAM=∠CAN， ∴△AME∽△ANC． ∴，即． 又∵AB⊥BD， ∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°， ∴四边形ABDN为矩形． ∴DN=AB，AN=BD． ∴CD=CN+ND=CN+AB． 因此，只要测量出人的高度AB，人到旗杆的距离BD，人到标杆的距离BF，标杆的高度EF，就可以求出旗杆CD的高度了． 方法3．利用镜子的反射测量旗杆的高度． 操作方法：如图所示,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子.在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. ∵入射角=反射角， ∴∠AEB=∠CED． ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°． ∴△ABE∽△CDE． ∴． ∴． 因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 想一想：你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 议一议：你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 例1：如图所示，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的距离为1.6 m，请你帮助小明计算一下楼的高度（结果精确到0.1 m）． 师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 解：∵BC⊥CA，MN⊥NA， ∴∠BCA=∠MNA=90°． ∵∠BAC=∠MAN， ∴△BCA∽△MNA． ∴，即． ∴MN≈21.3（m）． 答：楼的高度约为21.3 m． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 4．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为 ． 5．小玲很想知道法门寺合十舍利塔的高度，于是，她带着测量工具来到合十舍利塔进行测量．测量方案如下：如图，首先，小玲在点C处放置一平面镜，她从点C处沿后退，当后退到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为；然后，小玲沿的延长线继续后退到点G处，用测倾器测得舍利塔的顶端A的仰角为，此时，测得，测倾器的高度．已知点在同一水平直线上，且均垂直于，则合十舍利塔的高度为 m． 6．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 7．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $