专题03 圆（五大题型+好题推送）（期中真题汇编 北京专用）高二数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03曲线方程的概念与圆（五大题型+好题推送) ☆5大高频考点概览 考点01圆的方程 考点02直线与圆的位置关系 考点3圆与圆的位置关系 考点04圆的综合问题 考点05曲线与方程综合题 目目 考点01 圆的方程 1.(24-25高二上·北京·期中)以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为() A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=4 C.(x+2)2+(y+1)2=1 D.(x+2)2+(y+1)2=4 2.(24-25高二上北京期中)以A(0,0),B(2,0)为直径两端点的圆的方程为() A.2+y2-2x=0 B.x2+y2+2x=0 C.x2+y2-2y=0 D.x2+y2+2y=0 3.(24-25高二上北京第八中学期中)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心 的轨迹方程是() A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=1 4.(24-25高二上北京房山区调研已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，,B(m,0) (m>0)，若圆C上存在点P,使得∠APB=90°，则m的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 5,(24-25高二上北京大兴区期中圆x2+(y+2)=1关于x轴对称的圆的方程为() A.x2+(y+2)=1 B.(x+2+y2=1 C.x+22+y-22=1 D.x2+(y-2)2-1 6.(21-22高二上北京海淀区期末)圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心坐标为」 ;半径 为 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(17-18高一北京昌平区期末)已知圆C:x2+y2-2x+4y+a=0,则圆心C坐标为. ，当圆 C与y轴相切时，实数a的值为 8.(24-25高二上北京房山区·调研)已知点A(0,0),B(0,2),C(3,-1),D(4,2)在同一个圆上，则 这个圆的方程为一 9.己知圆x2+y2-4x-m=0的面积为π，则m=_ 10.(2425高二上·北京大兴区期中0.己知圆C过A(4,1),B(0,1),M(2,3)三点，直线：y=x+2. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线1对称的圆C的方程： (3)若P为直线1上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求0P+PQ的最小值. 目目 考点02 直线与圆的位置关系 1.(24-25高二上北京期中已知直线2x-my+6=0平分圆C2:(x-1)2+(y-2)2=4的周长，则 m=() A.2 B.4 C.6 D.8 2.(24-25高二上北京陈经纶中学期中)直线3x+4y=b与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则b的值 是() A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 3.(24-25高二上北京通州区期中)过点(-4,2V3作圆C:x2+y2+4x=0的两条切线，则这两条切线的 夹角为() A.晋 B.罗 C. D. 4.(2425高二上北京丰台区期中)过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+(y-2)2=4所截得的弦长为 () A.1 B.2 c.5 D.25 5.(22-23高二上北京海淀区期末)已知直线1：y=kx+b,⊙0：x2+y2=1,则b<1”是“直线1与 ⊙0相交”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高二上北京期中)当曲线y=1一V4-x2与直线kx-y-3k+3=0有两个相异的交点时，实 数k的取值范围是 A.(0,号) B.(2] c.(0,] D.[2,号) 7.(24-25高二上北京期中)己知圆0：x2+y2=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆0的一条切 线，切点为A,则|PA的最小值为() A.1 B.2 c.5 D.2 8.(24-25高二上北京·期中)在同一坐标系中，直线ax+y+c=0与圆x2+y2+ax+by+c=0的图 形情况可能是() C. D 9.(24-25高二上北京期中)点M是直线2x-y+5=0上的动点，O是坐标原点，则以0M为直径的圆经 过定点()· A.(0,0和(-1,1) B.(0,0和(-2,2 C.(0,0)和(-1,2 D.(0,0)和(-2,1) 10.(24-25高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)0.己知圆x2+y2-2x+6y+1=0关于 直线x+y+m=0对称，则实数m=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.(24-25高二上北京期中已知点C(2,0),直线a-y十0(0)与圆(x-1)2+(y-1)2=2 交于A,B两点，则“△ABC为等边三角形”是“1”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.24-25高二上北京第一。一中学期中2.过点M(-1,2)的直线1与圆C:（(x+3)2+(y-4)2=25 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于A,B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线的方程是 13.(24-25高二上北京通州区期中)3.已知两点A(0,1),B(-3,4)和圆C:x2+y2=8,则直线AB与圆C 的位置关系为_若点M在圆C上，且S△4BN=3,则满足条件的点M共有 个 14.22-23高二上北京大学附属中学行知学院期中)4.已知圆C:x2+(y一1)2=4，过点P(V5,2)作圆的 切线，则切线方程为 15.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是 16.(24-25高二上北京通州区期中)直线x+my-1=0(m∈R与圆x2+y2=4相交于A、B两点，当 弦AB最短时，m= 17.(24-25高二上北京期中)已知圆M过点(1,0)，(2，-1)，(V5,-2)三个点. (1)求圆M的标准方程： (2)已知a+c=2b,直线ax+by+c=0与圆M相交于A,B两点，求AB|的最小值 18.(2425高二上北京通州区期中)在平面直角坐标系xOy中，点A2,0),B(0,2),且圆M是以AB为直径 的圆 (1)求圆M的方程； (2)若直线y=kx一1与圆M相交，求实数k的取值范围. 19.(24-25高二上·北京期中)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相 切 (1)求圆C的标准方程. (2)求直线1：x-2y+2=0与圆C相交的弦长 20.(24-25高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)0.己知直线1： (27+1)x+(-1)y-5-1=0,λ∈R, (1)当直线1与直线x+2y=0垂直时，求的值； (2)设直线1恒过定点P,求P的坐标； (3)若对任意的实数，直线1与圆x2+y2=r2(r>0)总有公共点，直接写出r的取值范围. 21.(24-25高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)1.已知⊙C经过点A(0,-2),B(3,1) ,并且圆心C在直线y=2x-8上， (1)求⊙C的方程： (2设过点P(2,0)的直线1与⊙C交于M,N两点，若MN=4y2,求1的方程. 22.(24-25高二上北京房山区，调研)己知圆C与x轴相切于点(1,0)，并且圆心在直线2x-y=0上. 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与直线1：x-y+m=0交于A,B两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个 作为已知，求m的值 条件①：圆C被直线1分成两段圆弧，其弧长比为21： 条件②：AB1=2V2, 条件③：∠ACB=90° 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分 目目 考点03 圆与圆的位置关系 1.(24-25高二上北京陈经纶中学期中)在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2-4y+3=0, 若直线y=kx一1上存在点P,使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是() A.（-∞-]U[左+∞) B.(-∞-]U[克+0) c.（-o-与]u与+) D.（--5]U[V5,+∞) 2.(24-25高二上北京期中)圆01：x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 A.相离 B.相交 C.外切 D,内切 3.24-25高二上北京第一0一中学期中已知直线：kx-y-k+V5=0与⊙0：x2+y2=9相交于A ，B两点，Q为弦AB的中点给出下列三个结论： ①弦AB长度的最小值为2V5； ②点Q的轨迹是一个圆； ®若点C(-0),点D(-V⑤，则不存在点Q使得∠CQD=受： 其中所有正确结论的序号是 3.(24-25高二上北京房山区调研)已知直线1：ax+by=1,圆01：x2+y2=1,圆02： (x-a)+y-b)=1,a,bER则下列说法错误的是() A.若圆心02在圆01内，则圆心01在圆02内 B.若圆心02在圆01内，则直线1与圆01相离 C.若直线1与圆01相切，则直线1与圆02相切 D.若直线1与圆O1相切，则圆心02在直线1上 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25高二上·北京房山区调研)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽 象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为x一1)+y一)2=8，给出 下面四个结论： ①曲线C上两点间距离的最大值为6√2： ②若点P(a,-a)在曲线C内部（不含边界），则-3<a<3: ③若曲线C与直线y=x十m有公共点，则-6≤m≤6： ④若曲线C与圆x2+y2=r2(r>0)有公共点，则4≤r≤3V2 其中所有正确结论的序号是一 5.(24-25高二上北京丰台区期中)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,圆C1:(x-3)+(y-1)2=4 及点P(3,1) (1)判断圆C和圆C1的位置关系，并说明理由； (2)若斜率为k的直线1经过点P且与圆C相切，求直线1的方程 6.(2425高二上·北京大兴区·期中)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (I)若圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程： (2)设过点A的直线1与圆M相交的另一交点为B,且△ABM为直角三角形，求1的方程； (3)设动点T(t,O),若圆M上存在P,Q两点，使得TA+T户=T,求实数t的取值范围. 目目 考点04 直线与圆的综合问题 1.(24-25高二上·北京大兴区·期中)如图，放在平面直角坐标系中的“太极图整体是一个圆形，且黑色阴影 区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线 1:y=(x-2.给出下列四个结论： VA 2 ①当a=0时，若直线1截黑色阴影区域所得两部分面积记为S1,S2（S1≥S2),则S1:S2=3:1; 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当a=-号时，直线与黑色阴影区域有1个公共点： ③当a∈[-1,1时，直线1与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点. 其中所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(24-25高二上北京通州区期中在平面直角坐标系x0y中，已知圆C过点Q(1,-V3)且圆心C在x轴 上，与直线1：y=号x+1交于不同的两点M、N,且IQN=1QM (1)求圆C的方程： (2)设圆C与y轴交于A,B两点，点P为直线y=4上的动点，直线PA,PB与圆的另一个交点分别为R,S ,且R,S在直线AB两侧，求证：直线RS过定点H(O,t),并求出t的值 3.(24-25高二上北京第一o一中学期中)已知圆C过点E(1,4)和点F(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上， 直线l1过点A(1,0) (1)求圆C的方程； (2)若1与圆C相切，求11的方程； (3)若1与圆C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证： AM·AN为定值 4.(24-25高二上·北京丰台区·期中已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点A-2,2 (1)求圆M的标准方程； (2)设点D(0,1),过点D作直线1，交圆M于P,Q两点(P,Q不在y轴上)，过点D作与直线l1垂直的 直线2，交圆M于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值 5.(2425高二上·北京理工大学附属中学期中)设二次函数y=x2-3的图象与两坐标轴的交点分别记为M ,N,G,曲线C是经过这三点的圆 (1)求圆C的方程； (2)过P(一1,0作直线1与圆C相交于A,B两点 (1)PAPB是否是定值？如果是，请求出这个定值； (i)设Q(0,-2),求QA+QB的最大值， 7/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 曲线与方程综合题 1.(24-25高二上北京第一o一中学期中)如图，长方形ABCD中，AB=2,BC=4,E为BC的中点，现 将△BAE沿AE向上翻折到△PAE的位置，连接PC,PD,在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点 B再次落到平面ACD内)，点P到平面ACD距离的最大值为一，PD的中点F的轨迹长度为 P(B) A B 2.(24-25高二上北京·期中)如图所示，在8×6的长方形区域（含边界)中有AB两点，对于该区域中的 点P,若其到A的距离不超过到B距离的一半，则称P处于A的控制下，例如原点O满足 0A=V13≤引OB|=5,即有0点处于A的控制下.同理可定义P处于B的控制下 12 给出下列四个结论： ①点(4,2)处于A的控制下； ②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下； ③若P处于A的控制下，则PA≤V13: ④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为8+5π 其中所有正确结论的序号是」 3.(24-25高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家 伯努利(1654-1705)在1694年提出的.伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为 定值的点的轨迹是双纽线。 在平面直角坐标系xOy中，到定点A(-a,0),B(a,0)的距离之积为a2(a>0)的点的轨迹C就是伯努 利双纽线，C的方程为(x2+y2)2=2a2(x2-y2),其形状类似于符号o,若点P(x0yg)是轨迹C上 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称： ②ly。l≤|xo恒成立： ③曲线C上任一点到原点的距离不超过yV2a: ④当|xo=a时，y,取得最大值或最小值. 其中所有正确结论的序号是 4.(24-25高二上·北京陈经纶中学期中曲线C:xm+yn=1,其中mn均为正数，则下列命题正确的个数 是() ①当m=壳，n=专时，曲线C是轴对称图形 ②当m=3,n=1时，曲线C关于(0,1)中心对称 ③当m=4,n=2时，曲线C所围成的面积小于π ④当m=3,n=2时，曲线C上的点与(0,0)距离的最小值等于1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25高二上北京第一o一中学期中)在平面直角坐标系x0y中，动点P(x,y)到两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之积等于12，化简得曲线C:x2+y2+4=4Vy2+9,下列结论不正确的 是() A.曲线C关于x轴对称 B.x的最大值为3 C.|PF+|PF2的最小值为4V3 D.OP|的最大值为4 6.(24-25高二上北京通州区期中)如图，空间直角坐标系D-xyz中，点N(Xy121),F(x2y222) ,定义NF川=x1-x2+y1-Y+|21-2l正方体ABCD-ABC1D1的棱长为3，E为棱BC 的中点，平面yDz内两个动点P,M,分别满足‖PD=2,∠AMD=∠CME,则川PM的取值范围是 () z·P D B M 2 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.[要-2,3v5+2] B.[1,V41+2] c.[9-2+2] D.[1,35+2] 1.(24-25高二上北京延庆区期中)已知点A(0,-1),B(0,1),直线：y=kx-2,若直线1上至少存在 三个M,使得△MAB为直角三角形，直线！倾斜角的取值范围是() A.(0,]U[,π] B.[,罗)U(,等] C.[,)U(5,平] D.[)U(罗，要] 2.(24-25高二上北京期中)若直线ax+by=1经过点M(cos%,sina),则() A.京+京≤1 B.京+宗≥1 C.a2+b2≤1 D.a2+b2≥1 3.(24-25高二上北京期中)已知圆M:(x+4)+y2=4直线1：x+y-2=0,点P在直线1上运动，直 线PA,PB分别与圆M相切于点A,B.则下列说法正确的个数是() (1)四边形PAB的面积最小值为√14 (2PA曼短时，弦B长为 (3)PA最短时，弦AB直线方程为3x+3y-8=0 (4)直线AB过定点(-号，2) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2425高二上北京第一0一中学期中)如图，棱长为2的正方体ABCD-AB1C1D1中，点M为B1C1的 中点动点N满足AN=A而+uAA1,,uE(0,1)给出下列四个结论： B ①平面C1AN⊥平面BDA1: ②设直线MN与平面DD1AA所成角为6，则cos8的取值范围是(0.5)： 10/11 专题03 曲线方程的概念与圆（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 圆的综合问题 考点05 曲线与方程综合题 地 城 考点01 圆的方程 1．(24-25高二上·北京·期中)以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和半径可得圆的方程. 【详解】以点为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1． 故圆的标准方程是． 故选:A． 2．(24-25高二上·北京·期中)以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解. 【详解】，， 的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，又， 圆的半径为1， 以为直径的圆的方程为即. 故选：A. 3．(24-25高二上·北京第八中学·期中)已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知点坐标代入圆方程，变更字母即可得． 【详解】圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 4．(24-25高二上·北京房山区·调研)已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由直角三角形性质得，要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，从而得解. 【详解】显然，因为，所以， 所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离， 因为，所以，即的最小值为.    故选：C 5．(24-25高二上·北京大兴区·期中)圆关于轴对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定出已知圆的圆心关于轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为关于轴对称的点为， 所以对称圆的方程为， 故选：D. 6．(21-22高二上·北京海淀区·期末)圆的圆心坐标为 ；半径为 . 【答案】 【分析】配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是， 圆心坐标为，半径为． 故答案为：；． 7．(17-18高一·北京昌平区·期末)已知圆，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 . 【答案】 . 4. 【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值. 【详解】由，配方得， 所以圆心C的坐标为； 当圆与轴相切时，则有，解得； 故答案是，4. 8．(24-25高二上·北京房山区·调研)已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的方程为, 将点，，代入得, 解得,满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为， 故答案为： 9．已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 10．(24-25高二上·北京大兴区·期中)0．已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； （3）因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二上·北京·期中)已知直线平分圆：的周长，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求. 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 2．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)直线与圆相切，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意得到，求解即可. 【详解】由，得圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：D. 3．(24-25高二上·北京通州区·期中)过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 . 【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、， 而圆，即，则圆的半径为2，圆心, , 故，故，进而可得， 故选：C． 4．(24-25高二上·北京丰台区·期中)过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先得到过原点且倾斜角为的直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理进行求解. 【详解】过原点且倾斜角为的直线为，即， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：B 5．(22-23高二上·北京海淀区·期末)已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得直线与相交， 则 当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件； 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件. 故选:A. 6．(24-25高二上·北京·期中)当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像计算直线过时和相切时的斜率，计算得到答案. 【详解】如图所示： ∵曲线，直线， ∴，，， 圆心，直线过定点， 直线过时，有两个交点，此时，， 直线与下半圆相切时，，， ∴. 故答案选D． 7．(24-25高二上·北京·期中)已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 8．(24-25高二上·北京·期中)在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立，可得，当时可判断BC；圆心为，由原点与圆的位置关系求出的范围，根据圆心所在象限及的符号即可判断AD. 【详解】联立，可得，解得, 当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误. 化为标准方程为, 其圆心为，半径为. 由选项可得，将化为斜截式可得. 对于A，圆心在第一象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故. 由直线方程可得，矛盾，故A错误. 对于D，圆心在第二象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故， 由直线方程可得，故D正确. 故选:D. 9．(24-25高二上·北京·期中)点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    10．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)0．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案. 【详解】将化成标准方程为， 圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：D. 11．(24-25高二上·北京·期中)已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当为等边三角形时，求出斜率的值，当时，判断的形状，即可选出答案. 【详解】设圆心为，易知，半径， 当为等边三角形时，，而， 因为，所以， 当时，直线为：，而， 所以，所以，所以为等腰三角形， 因为， 圆心到直线的距离为，即， 所以圆心为的重心，同时也是的外心， 所以为等边三角形， 所以“为等边三角形”是“”的充要条件， 故选：A. 12．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)2．过点的直线与圆：交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，判断直线与圆的位置关系，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】点在圆：的内部，则直线和圆相交， 当最小时，圆心到直线的距离最大，此时直线， 直线的斜率，因此直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 13．(24-25高二上·北京通州区·期中)3．已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为 .若点在圆上，且，则满足条件的点共有 个. 【答案】 相交 4 【分析】先求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离判断直线与圆相交；先求出点到的距离， 再结合圆心到直线的距离为和圆的半径为判断得解. 【详解】由题得，所以直线的方程为， 所以直线的方程为， 由可知，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离，    所以直线与圆相交， 又， 设点到直线的距离为，则， 解得， 又圆心到直线的距离为，圆的半径为， 所以圆上有个满足条件的点. 故答案为：相交；. 14．(22-23高二上·北京大学附属中学行知学院·期中)4．已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 15．设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 【答案】x+y-4=0 【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得AB的斜率，写出AB的方程即可． 【详解】解：由x2+y2﹣4x﹣5＝0得：（x﹣2）2+y2＝9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为1，根据垂径定理可知OP⊥AB 所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）即x+y﹣4＝0 故答案为x+y﹣4＝0 16．(24-25高二上·北京通州区·期中)直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时， . 【答案】0 【分析】由题意可知当直线与过定点的直径垂直时，弦AB最短，通过垂直关系即可求出结果. 【详解】由题得，直线，即， ，解得：， 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为2， 当垂直直线时，弦最短， 此时直线为，则. 故答案为：. 17．(24-25高二上·北京·期中)已知圆过点三个点． (1)求圆的标准方程； (2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设圆的一般式方程，将点的坐标代入计算，即可求解，然后化为标准式即可； （2）将代入直线方程，可得直线过定点，即可得到当时，最小，代入计算，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 代入各点得：， 所求圆的一般方程为：标准方程为：. （2）把代入直线方程得：， 即，令，可得， 所以直线过定点． 又，所以定点在圆内， 当时，最小，此时，， 则. 18．(24-25高二上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆M的方程； (2)若直线与圆M相交，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可确定圆心坐标与半径，即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线距离小于半径，可得到关于的不等式，解不等式得到的范围. 【详解】（1）由已知，，则圆心. 半径，所以圆的方程为. （2）由直线，即，又直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，可得， 整理有：，解得. 19．(24-25高二上·北京·期中)已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程. （2）求直线：与圆相交的弦长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程. （2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可. 【详解】（1）令圆心为且， ∴由圆与相切，有，即可得. ∴圆的标准方程为. （2）由（1）知： ，， ∴到直线的距离为， ∴直线与圆相交的弦长为. 20．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)0．已知直线l：，． (1)当直线l与直线垂直时，求的值； (2)设直线l恒过定点P，求P的坐标； (3)若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线与直线垂直关系列方程即可求得的值； （2）将直线方程转化为，列方程组解得定点坐标即可； （3）根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可. 【详解】（1）当直线l：与直线垂直时， 可得，解得； （2）直线l：方程整理得， 令，解得 即直线l恒过定点； （3）对任意的实数，直线l与圆总有公共点， 则直线l恒过定点在圆上或者圆内，则， 即. 21．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)1．已知经过点，，并且圆心C在直线上， (1)求的方程； (2)设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据圆的几何性质确定线段的垂直平分线方程，从而联立直线可得圆心坐标，根据圆的定义得半径，从而得圆的方程； （2）根据直线与圆相交弦长公式，分直线斜率存在与不存在两种情况验证求解直线方程即可. 【详解】（1）因为，，则，且线段AB中点为， 则线段AB的垂直平分线的斜率为，故其方程为，即， 由圆的对称性知点C在AB的垂直平分线上， 因此联立解得即点， 又因为，所以圆C：． （2）圆心，半径 当的斜率不存在时，：，则圆心到直线的距离为， 此时相交弦长，满足题意； 当的斜率存在时，设：，即， 因为相交弦长， 所以C到的距离为，解得， 此时，直线：， 综上，直线的方程为或． 22．(24-25高二上·北京房山区·调研)已知圆C与x轴相切于点，并且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与直线l：交于A，B两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求m的值. 条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可. 【详解】（1）由题意知圆C的圆心在直线上，与x轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为2， 故圆C的标准方程为 （2）若选条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 则，而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件②：； 而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件③：， 而，是等腰直角三角形，, 故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或. 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程，所以圆是以为圆心，1为半径的圆. 设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 得关于的不等式有解，即有解， 所以，解得或. 故选：C 2．(24-25高二上·北京·期中)圆O1：和圆O2：的位置关系是 A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】B 【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 3．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)已知直线：与：相交于，两点，为弦的中点.给出下列三个结论： ①弦长度的最小值为； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则不存在点使得； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】求出直线过的定点，再利用圆的性质求出弦长最小值判断①；利用圆的性质求出点的轨迹判断②；判断两圆的位置关系判断③即可得答案. 【详解】直线：过定点，：的圆心，半径， 显然点在内，， 对于①，当时，弦长度最小，最小值为，①正确； 对于②，当与都不重合时，，则点在以线段为直径的圆上， 当与之一重合时，点也在以线段为直径的圆上，此圆圆心，半径为1， 而直线不包含过点且垂直于轴的直线，即点的坐标不能是， 所以点的轨迹是以线段为直径的一个圆，除点外，②错误； 对于③，以点与为直径端点的圆的圆心，半径为， 而，即以为直径的圆和以为直径的圆相离， 点在以为直径的圆外，因此不存在点使得，③正确， 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③    3．(24-25高二上·北京房山区·调研)已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（    ） A．若圆心在圆内，则圆心在圆内 B．若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C．若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D．若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心的半径，结合点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 对于A，圆心在圆内，则，，圆心在圆内，A正确； 对于B，圆心在圆内，则，点到直线的距离，直线l与圆相离，B正确； 对于CD，直线l与圆相切，则，点到直线的距离， 圆心在直线l上，直线l与圆相交，C错误，D正确. 故选：C 4．(24-25高二上·北京房山区·调研)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为，给出下面四个结论： ①曲线C上两点间距离的最大值为； ②若点在曲线C内部（不含边界），则； ③若曲线C与直线有公共点，则； ④若曲线C与圆（）有公共点，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】作出的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值判断①；根据直线与的交点坐标进行判断②；根据直线与相切时的取值进行判断③；分析临界情况：经过与坐标轴的交点、与在四个象限相切，由此求解出的范围判断④. 【详解】当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，；当时， 作出在平面直角坐标系下的图象如下： 对于①，上任意两点距离的最大值为，①正确； 对于②，点在直线上，由，解得或， 而点在曲线内部（不含边界），则有，②正确； 对于③，当直线与相切时，如图， 若与在第二象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 则，而，解得， 若与在第四象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 则，而，解得， 结合图象知，曲线与直线有公共点时有，③正确； 对于④，如图， 曲线与坐标轴的交点坐标为， 因此当刚好经过曲线与坐标轴的交点时，此时， 当刚好与在四个象限内部分都相切时，， 因此曲线与圆有公共点时，④错误. 故答案为：①②③ 5．(24-25高二上·北京丰台区·期中)已知圆，圆及点. (1)判断圆和圆的位置关系，并说明理由； (2)若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)圆和圆相交，理由见解析 (2)或. 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系. （2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程. 【详解】（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径， 由圆方程可知：圆心，半径， 因为，，， 所以， 所以圆和圆相交. （2）当过的直线斜率不存在， 即直线为时，其与圆不相切， 所以可设所求切线方程为：，即， 所以圆心到切线的距离，即，解得：或， 所以切线方程为：或，即或. 6．(24-25高二上·北京大兴区·期中)已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. （3），所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 地 城 考点04 直线与圆的综合问题 1．(24-25高二上·北京大兴区·期中)如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论： ①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则； ②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题知根据直线：过定点，为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解. 【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1， 所以大圆的面积为，小圆的面积为． 对于①，当时，直线的方程为． 此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，， 所以，故①正确． 对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为, 当时，直线的方程为，即， 小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切， 如图2所示， 所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确． 对于③，当时，如图3所示， 直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点， 当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误． 综上所述，①②正确． 故选：A． 2．(24-25高二上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设出圆心坐标，由可得，则可计算出，即可得圆心坐标，借助圆心坐标与点坐标即可得半径，即可得圆的方程； （2）求出，两点坐标后，设出点坐标，即可表示出，则，从而可设出直线、方程，从而联立曲线，得到，两点坐标，利用计算即可得. 【详解】（1）因为圆心在轴上，故可设， 由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以， 则有，则，解得， 则，故圆的方程为：； （2）由圆的方程为：，令，则，则可设，， 设，，，则，， 设，则，直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， ，， 直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， 则，， 设直线过定点，则直线斜率为：， 即有，整理得， 所以，故直线过定点. 3．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. (1)求圆的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程. （1）按直线l1的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （2）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即，解得，即， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为2，直线与圆相切，方程为； 当直线的斜率存在，设直线为，即， 圆心到直线的距离等于半径2，即 ，解得，方程为， 所以直线方程是或. （3）由（2）知，直线的斜率必定存在，且不为0，其方程为：， 由，解得，即， 又直线与垂直，则直线所在的直线方程为， 由，解得， 即， 因此 . 所以为定值. 4．(24-25高二上·北京丰台区·期中)已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点. (1)求圆M的标准方程； (2)设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设圆心坐标为，根据半径列式求出b，即可求得答案； （2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为， 又因为半径为2，且经过点， 所以，解得：， 所以圆M的标准方程为：. （2）直线的斜率存在，设直线的方程，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 若，则直线斜率不存在， 则，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以，        则 , 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7. 5．(24-25高二上·北京理工大学附属中学·期中)设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． (1)求圆的方程； (2)过作直线与圆相交于，两点． （i）是否是定值？如果是，请求出这个定值； （ii）设，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）是定值，定值为2；（ii） 【分析】（1）分别求出，，的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可； （2）（i）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，进而可求的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出并化简，然后计算即可；（ii）同（i）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出关于的表达式，结合函数性质即可求最大值. 【详解】（1）设二次函数与x轴分别交于，与y轴交于点，令，则， 即，令，则，则， 设圆C的方程为， 将点M、N、G的坐标代入可得，解得， 则，化为标准式为. （2）是定值. （i）当直线的斜率不存在时，则方程为， 联立，可得或， 即，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为，设， 联立直线与圆的方程，消去y可得， 由韦达定理可得， 且， ， 则 ； 综上所述，是定值. （ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，， 且，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为， 则 令，则 令 当，即时，； 当，即时，； 当，即，时， 取最大值.所以. 地 城 考点05 曲线与方程综合题 1．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .    【答案】 【分析】第一空，直观想象翻折过程中点的运动轨迹，结合点面距离的定义判断得所求为，从而得解；第二空，利用平行线的传递性，将问题等价于点的轨迹长试，从而得解. 【详解】第一空：过作交于， 易知当平面时，点到平面距离取得最大值，    因为在中，，，， 所以，； 第二空，取的中点，连接， 则，又， 则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同. 过作的垂线，垂足为， 则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧， 从而PD的中点F的轨迹长度为. 故答案为：；. 2．(24-25高二上·北京·期中)如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下.    给出下列四个结论： ①点处于的控制下； ②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下； ③若处于的控制下，则； ④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④. 【详解】由图可知, 设，则，,满足，故①正确； 点不处于的控制下则，即，得不到， 例如取点，，，，即 点不处于的控制下，也不处于B的控制下，故②错误； 若处于的控制下，则，设， 则，化简整理得， 作出图象如图，    由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于的控制下,由图可知，当处于时，有最大值，故③正确； 由③知处于的控制下点构成的区域面积，可以看作是圆与矩形的面积之和，如图，    故面积为，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用. 3．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解. 【详解】 在曲线上任取一点，关于原点的对称点为， 代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 因为点是轨迹C上一点，所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 因为，所以， 所以，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过，故③正确； 因为，所以， 又，所以，即， 所以，当时等号成立，故④错误， 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析. 4．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积小于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，设为曲线上的点，则将点代入验证即可判断；对于②，将代入验证，即可判断；对于③④，将曲线与单位圆进行比较即可判断. 【详解】对于①，当时，曲线即， 设为曲线上的点，则将点代入，方程不变， 即曲线关于直线对称，是轴对称图形，①正确； 对于②，当时，曲线即， 设为曲线上的点，则点关于的对称点为， 将代入，即，化简得， 即方程不变，故曲线关于中心对称，②正确； 对于③，当时，曲线即， 设为该曲线上任一点，设为单位圆上任一点， 则，，当时，；当时，； 不妨取为一定值，此时， 则，即曲线所围成的面积大于单位圆面积，③错误； 对于④，当时，曲线即， 设为该曲线上任一点，则，当时，； 设为单位圆上任一点， 当时，，则，当或时取等号， 则，当或时即可取等号， 当时，， 故曲线上的点与距离的最小值等于1，④正确， 故选：C 5．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于12，化简得曲线：，下列结论不正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】B 【分析】令可判断A；结合条件利用基本不等式可判断B；将曲线方程进行变形，结合换元法与二次函数的性质可判断C；利用两点间的距离公式，结合的范围可判断D. 【详解】对于A：方程中的换成方程不变， 所以曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B：由题意，得， 令，则，， 所以， 因为当且仅当，时，，此时才有， 但显然不成立，所以不可能取得这个值，故B错误； 对于C：由题意得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为， 即，则，解得， 因为， 而，，，此时， 所以，即的最大值为4，故D正确， 故选：B. 6．(24-25高二上·北京通州区·期中)如图，空间直角坐标系中，点，，定义 .正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【好题推送】 1．(24-25高二上·北京延庆区·期中)已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，共有两个交点满足题意，然后由直线与 以为直径的圆有交点可得倾斜角的范围． 【详解】当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当，如图，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，这就是符合题意的两个， 因为至少有三个，使得为直角三角形， 所以直线与以为直径的圆有公共点，圆心是原点，半径为， 由，解得或， 设直线的倾斜角为，则或， 所以或， 所以倾斜角范围是， 故选：B． 2．(24-25高二上·北京·期中)若直线经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点可知点在单位圆上运动，由题意可得直线和单位圆有公共点，借助圆心到直线的距离与半径的关系可求. 【详解】因为，所以点在单位圆上， 因为直线过点，所以直线和单位圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 可得， 故选：D. 3．(24-25高二上·北京·期中)已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 4．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)如图，棱长为2的正方体中，点为的中点.动点满足，，.给出下列四个结论： ①平面平面； ②设直线与平面所成角为，则的取值范围是； ③设平面，则三棱锥的体积为； ④以的边所在直线为旋转轴，将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是. 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①如图建立坐标系，求出平面与平面法向量，即可判断两平面关系；②由坐标系可求出表达式，后由表达式几何意义可得其范围，即可得范围；③由空间几何知识可得点P位置，后由题可得，由空间向量知识可得点P到平面距离，即可得三棱锥的体积；④由题可得轨迹，画出平面图，由圆外一点到圆上点距离最值可得的取值范围. 【详解】①如图建立以D为原点的空间直角坐标系， 则. 则，，，. 设平面法向量为，则， 取.设平面法向量为， 则，取. 注意到，则①平面平面，故①正确； ②由①可得，则， 又，则. 又平面的法向量可取， 则. 注意到表示点 到点的距离. 如下图所示，则当与S无限接近时，； 当无限接近或时，， 则，则. 故②正确； ③如图，连接，过作MC平行线，则N为AD中点，四点共面， 连接，则与交点即为P.注意到与相似， 则，则. ，设平面的法向量为， 则，取， 则点P到平面距离为：， 又. 则，故③正确. ④连接，设，中点为F. 由题可得，则轨迹为以为圆心，以为半径在 平面上的圆.又M在平面上的射影为中点G， 则，因，则. 如下列平面图，连接EF，则，则. 则如图，当E，H，G三点共线时，最短，为； 当G，E，I三点共线时，最长，为. 则，即的取值范围是. 故④正确. 故选：D 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $