精品解析：上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二数学摸底考试卷 （满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上） 命题：李琛冰 审核：杨逸峰 考生注意： 1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、考号，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，则可用列举法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得到集合，然后由集合的运算得到结果. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴， 故答案为： 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定方程，求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线：的斜率，则直线的倾斜角满足，而， 因此，所以直线的倾斜角大小为. 故答案为： 3. 已知，则=__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 4. 设为虚数单位，若复数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的代数形式运算及复数模的性质得解. 【详解】由可得， 所以， 所以， 故答案为： 5. 设，在方向上的数量投影为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影的定义计算即可. 【详解】因为， 所以在方向上的数量投影为， 故答案为：. 6. 在中，、、分别为角、、的对边，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或. 经检验，，均符合题意. 故答案为：或. 7. 已知，则_____.（用的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】 利用换底公式化简求解即可 【详解】解：因为， 所以， 故答案为： 8. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求出倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】由对称性可知，直线与轴的夹角相等， 又，所以直线的倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得方程为，即. 故答案为： 9. 已知是奇函数，且，若，则___. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出，再将其代入求值即可得到答案 【详解】由题意，是奇函数，且（1）， 所以（1）解得 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型． 10. 已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______． 【答案】4或10##10或4 【解析】 【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值. 【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴， ∴，∴，k∈Z， ∵ω＞0，∴. 当时，， y＝sinx图像如图： 要使在区间上有最小值无最大值，则： 或， 此时ω＝4或10满足条件； 区间的长度为：， 当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件. 综上，ω＝4或10. 故答案为：4或10. 11. 若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元后，转化为一元二次方程有两个不等实数根，分离参数后转化为图象交点个数问题，利用数形结合得解. 【详解】由可得， 即， 令，则有两个实数根， 即有两个实数根，其中且， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象， 由图可知，当时，方程有符合条件的两个实数根， 故答案为： 12. 平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设，下列不等式中，恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数在上的单调性，即可判断A；令，即可判断B，C；令，即可判断D. 【详解】因为函数在上单调递增，当时，恒成立，故A正确； 若，可令，则，此时，故B错误； 而，此时，故C错误； 若，可令，则，此时，故D错误. 故选：A 14. 下列函数中，既是偶函数，又是上的严格减函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数单调性，对选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知的定义域为，且满足， 因此为偶函数，但在上不是严格减函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，但，因此为奇函数，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，满足，因此为偶函数， 当时，为严格减函数，即C正确； 对于D，的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为偶函数，即D错误. 故选：C 15. 设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；②且；③；④；其中真命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由，夹角和模未知，可判断①④；利用平面向量基本定理，结合相等向量、向量平行的概念可判断②③． 【详解】①根据向量的模的计算公式， 可得， ∵是平面向量的一个基， ∴，夹角和模未知， ∴不一定等于， ∴命题①错误． ②根据向量相等的定义，当且仅当与的模相等且方向相同， 即，即． ∵是平面向量的一个基， ∴，不共线， ∴且，即且， ∴命题②正确． ③根据向量平行的定义，若，则； 若为非零向量，则存在的唯一实数，使得， 即，即． ∵是平面向量的一个基，∴，不共线， ∴且， 即且， ∴. 综上，命题③正确． ④根据向量垂直的定义，， 即0， 即． ∵，夹角和模未知， 故不一定能得到， ∴命题④错误． 故选：B． 16. 已知平面直角坐标系中，设点（常数 ），其中无穷数列是公差为的等差数列．向量是一个取定的非零向量，满足：对于任意点，曲线上存在唯一的点，使得，则“存在正整数、，使得”的一个必要条件是（ ） A. B. C. （其中） D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数、对数函数图像的关系，以及必要条件的定义，举反例即可. 【详解】根据与以及图像关系， 若， 则在图像上方，在图像下方， 任取符合题意的，，如左图所示， 则点在图像上方，点在图像下方， 又由于与平行， 则与一定方向相同，不满足， 所以，则B选项正确， 当时，存在右图符合题意，则A选项错误， 取与同向，则C选项错误， 取右图为，则D选项错误， 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 设（常数、均为实数），关于的不等式的解集为． （1）若，求实数、的值； （2）设．记不等式的解集为，记（常数为实数），若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系，利用韦达定理求解即可； （2）先求出集合，再根据充分条件的性质，得到集合与的关系，进而列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为的解集为， 可知和2是方程的两根， 所以由韦达定理可得，， 解得； 【小问2详解】 当时，， 因为恒成立， 所以不等式等价于， 即，即， 解得，所以集合. 由“”是“”的充分条件，可知， 已知，要使， 须满足，解得， 所以，实数的取值范围是. 18. 设． （1）若，求的取值范围； （2）设函数是定义域为的偶函数，当时，．若关于的方程（常数）在上有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义求出函数的定义域为，利用对数的运算性质化简整理得不等式，再分别解分式不等式，最后取交集即可得结果； （2）利用偶函数的性质求出时，，利用对数的运算性质化简整理原方程得，结合分离参数法和换元法可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由可解得，所以函数的定义域为. 则有，解得， ， 原不等式可变形为，即， 解不等式，即，，解得； 解不等式，即，，解得或， 故解得， 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，当时，， 当时，，， 时，， 则方程，即， 即在上有实数解， 当时，方程显然不成立； 当时，， 令，则，，所以， 故实数的取值范围是. 19. 根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆）， 其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的 累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析： （1） （2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 20. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； （3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）圆心，半径； （2）以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧； （3），. 【解析】 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标及半径； （2）利用圆的性质及定义确定的轨迹. （3）利用点在圆内求出的范围，将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求出的范围. 【小问1详解】 圆的圆心，半径. 【小问2详解】 当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧. 【小问3详解】 圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是. 21. 对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：①存在最小正周期；②值域为；③存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为“类余弦函数”．设函数是类余弦函数． （1）若是偶函数，求该函数的最小正周期； （2）若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为； （3）设（常数），的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），的值为3或4或7 【解析】 【分析】（1）根据1-类余弦函数、偶函数以及周期的定义可得； （2）根据1-类余弦函数性质，可得，以及的解的分布情况，最终可得上的值域; （3）根据1-类余弦函数性质，以及余弦函数性质可求，根据图像可得. 【小问1详解】 因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数， 又因为是偶函数，所以在上为严格增函数，在上为严格减函数， 则根据周期的定义可得：该函数的最小正周期； 【小问2详解】 因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数， 又因为值域为，周期为， 所以，， 因为对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解， 结合，以及单调性可得在和各有1解， 所以函数在区间上的值域为， 所以函数在区间上的值域为； 【小问3详解】 由题意，， 所以， 又因为在上为严格增函数， 结合余弦函数性质可得， 所以, 若，如左图，在上恰有3个实数解， 若，如右图，在上恰有3个实数解， 由于，且， 所以的值为3或4或7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高二数学摸底考试卷 （满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上） 命题：李琛冰 审核：杨逸峰 考生注意： 1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、考号，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，则可用列举法表示为___________． 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角大小为___________． 3. 已知，则=__________. 4. 设为虚数单位，若复数满足，则___________． 5. 设，在方向上的数量投影为___________． 6. 在中，、、分别为角、、的对边，若，则___________． 7. 已知，则_____.（用的代数式表示） 8. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 9. 已知是奇函数，且，若，则___. 10. 已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______． 11. 若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是___________． 12. 平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设，下列不等式中，恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是偶函数，又是上的严格减函数的是（ ）． A. B. C. D. 15. 设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；②且；③；④；其中真命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 16. 已知平面直角坐标系中，设点（常数 ），其中无穷数列是公差为的等差数列．向量是一个取定的非零向量，满足：对于任意点，曲线上存在唯一的点，使得，则“存在正整数、，使得”的一个必要条件是（ ） A. B. C. （其中） D. 且 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 设（常数、均为实数），关于的不等式的解集为． （1）若，求实数、的值； （2）设．记不等式的解集为，记（常数为实数），若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 18. 设． （1）若，求的取值范围； （2）设函数是定义域为的偶函数，当时，．若关于的方程（常数）在上有实数解，求实数的取值范围． 19. 根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆）， 其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的 累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； （3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 21. 对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：①存在最小正周期；②值域为；③存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为“类余弦函数”．设函数是类余弦函数． （1）若是偶函数，求该函数的最小正周期； （2）若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为； （3）设（常数），的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $