专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆的位置关系的判定及简单应用 1 题型二、由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 1 题型三、切线与切线长问题 2 题型四、弦长问题 3 题型五、圆与圆的位置关系的判定 4 题型六、由圆与圆的位置关系确定参数 5 题型七、公共弦与切点弦问题 6 题型八、公切线问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线与圆的位置关系的判定及简单应用 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 4．（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 5．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 题型二、由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 6．若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 8．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 9．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 10.已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 11．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是 ． 12．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 题型三、切线与切线长问题 13．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 15．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 16．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 17．过作圆的切线，则其切线方程为 . 18.已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 19.（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 20.已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 题型四、弦长问题 21．直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 22．直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为（    ） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 23．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（    ） A． B． C． D． 24．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 26．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 27．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 28．已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 题型五、圆与圆的位置关系的判定 29．圆与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 30．已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 31．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 32.以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 33．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为 个． 题型六、由圆与圆的位置关系确定参数 34．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 36．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 37.在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．若圆与圆外切，则＝ ． 39.已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 40．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 41．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 题型七、公共弦与切点弦问题 42．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D．10 43．若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 44.圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 45.（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：外切，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 46．已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 47．设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为 . 48.已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 题型八、公切线问题 49.圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 50.已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51.两圆，的公切线有且仅有 条． 52.在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 53.（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 3．若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设直线与圆，则下列结论正确的为（  ） A．与可能相离 B．不可能将的周长平分 C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为 8．（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（  ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 9．（多选）已知圆：，圆：（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．，为圆上的两动点，且，则的最大值为 10．已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 11．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 13．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5，若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值及此时直线的方程. 14.已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆的位置关系的判定及简单应用 1 题型二、由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 3 题型三、切线与切线长问题 5 题型四、弦长问题 10 题型五、圆与圆的位置关系的判定 14 题型六、由圆与圆的位置关系确定参数 16 题型七、公共弦与切点弦问题 20 题型八、公切线问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线与圆的位置关系的判定及简单应用 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相切， 故选：B. 2．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解析】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 3．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 4．（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【解析】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD 5．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【解析】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交 题型二、由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 6．若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线和圆相切的条件可得答案. 【解析】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 8．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解析】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 9．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解析】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 10.已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可. 【解析】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一） 11．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是 ． 【答案】 【分析】分直线的斜率存在与否，探讨直线的斜率范围，即可求解作答. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线：与圆相离，无公共点， 当直线的斜率存在时，设直线：，即， 由，解得，令直线的倾斜角为，则，而，因此， 直线的倾斜角取值范围是. 故答案为： 12．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【答案】A 【分析】运用几何法：圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系；方程法：将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系． 【解析】方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 题型三、切线与切线长问题 13．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率. 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线方程为，即， 又由反射光线与圆相切，可得， 整理得，解得或. 故选：D. 14．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故选：C. 15．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 故选：B 16．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 17．过作圆的切线，则其切线方程为 . 【答案】或 【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【解析】圆的圆心为，半径为1， （1）当过点的直线垂直于轴时， 此时直线斜率不存在，方程是， 圆心到直线的距离为， 直线符合题意； （2）当过点的直线不垂直于轴时， 设直线方程为，即． 直线是的切线， 点到直线的距离为，解之得， 此时直线方程为． 切线方程为或． 故答案为：或． 18.已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 19.（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【解析】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 20.已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 题型四、弦长问题 21．直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【解析】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 22．直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为（    ） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，圆心到的距离为，由距离公式求解即可. 【解析】因为弦长为，半径， 所以圆心到的距离为：， 所以， 所以或3. 故选：C 23．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 24．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【解析】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A. 25．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解析】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 26．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 27．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【解析】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 28．已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或；(2)最大，此时. 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【解析】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 题型五、圆与圆的位置关系的判定 29．圆与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知圆的位置关系. 【解析】由题设，，， ∴，；，， ∴，故两圆相切. 故选：C 30．已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 【答案】B 【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案. 【解析】易知直线即过定点，因为，故在圆内. 故弦最短时直线垂直，又，所以，解得， 此时圆的方程是. 两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3 又，所以这两圆外离. 故选：B. 31．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 32.以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【解析】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为： 33．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为 个． 【答案】2 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【解析】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故答案为：2. 题型六、由圆与圆的位置关系确定参数 34．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 35．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解. 【解析】由得， 两圆圆心之间的距离为＝. ∵两圆有公共点，∴， ∴， 即，∴， 故选：C. 36．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解. 【解析】设，则， 因为，可得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足， 即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 37.在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点P坐标为，点Q坐标为. 因为点P和点Q关于直线对称， 所以，整理得：，即点Q坐标为. 因为点P在圆：上，点Q在圆：上， 所以，即. 则是方程组的解， 则圆和圆的位置关系是相切或者相交. 又因为圆的圆心坐标为圆，半径为； 圆的圆心坐标为圆，半径为， 所以两圆的圆心间距离为， 则由两圆的位置关系可得：，解得：. 故选：C. 38．若圆与圆外切，则＝ ． 【答案】9 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故答案为：9 39.已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 40．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可. 【解析】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为： 41．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 【答案】(1) a＝5时，两圆外切；a＝3时，两圆内切；(2)3<a<5；(3)a>5；(4)0<a<3 【分析】要注意相切是指外切和内切两种情况． 【解析】圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 题型七、公共弦与切点弦问题 42．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 43．若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 44.圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 45.（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：外切，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】对于选项A：由可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确； 对于选项C：由可得，圆心，， 由 可得， 圆心，，由两圆相外切，所以， 即，解得：，故选项C正确； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆相减可得， 消去可得：即，由可得， 所以直线经过定点，故选项D正确. 故选：BCD. 46．已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【解析】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为： 47．设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为 . 【答案】 【分析】当最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：与联立联立求得，和PC的中点坐标及，可得以PC为直径的圆的方程与圆C的方程相减可得答案． 【解析】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点， 所以 ， 当最小时，四边形PACB的面积取得最小， 此时PC：，即， 联立得所以， PC的中点为，， 以PC为直径的圆的方程为， 即， 与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程． 故答案为： 48.已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【解析】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 题型八、公切线问题 49.圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【解析】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 50.已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 51.两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【解析】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 52.在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】 如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线， 因为， 所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条， 故选：C. 53.（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【解析】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为3的圆的标准方程． 【解析】设圆心坐标， 由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直， 结合的斜率为1得直线的斜率为， 所以，化简得①， 再由的中点在直线上， 得到，化简得② 联解①②，可得，， 圆心的坐标为， 半径为3的圆的标准方程为． 故选：D． 2．已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 3．若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【解析】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解． 【解析】圆心为，半径为2， 斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设直线方程为，即， 由，得，直线方程为，即． 故选：D 5．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可. 【解析】圆，即，圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以， 即，解得，即； 故选：A 6．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点. 【解析】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC， 则点A、B在以PC为直径的圆上， 又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：， 变形可得：， 则有，联立可得：，变形可得：， 即直线AB的方程为， 变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点. 故选：A． 7．（多选）设直线与圆，则下列结论正确的为（  ） A．与可能相离 B．不可能将的周长平分 C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为 【答案】BD 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【解析】对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误； 对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确； 对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，C选项错误； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，D选项正确. 故选：BD. 8．（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（  ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为判断C，由题知A，B在以为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB的方程判断D. 【解析】由圆C：，则圆心，半径， ∴圆心到直线l：的距离为，而，故A错误； 由圆的性质，切线长， ∴当最小时，有最小值，又，则，故B错误； ∵四边形AMBP面积为， ∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误； 设，由题知A，B在以为直径的圆上，又， ∴，即， 又圆C：，即， ∴直线AB的方程为：，即， 由，得，即直线AB恒过定点，故D正确. 故选：D. 9．（多选）已知圆：，圆：（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．，为圆上的两动点，且，则的最大值为 【答案】ABC 【分析】两圆相减就得到公共弦所在的直线的方程, 点代入直线的方程, 即可判断选项,正确; 分析出的中点恰为的中点即可得到选项正确; 设的中点为H , 把求的最大值转化为求的最大值, 即可判断选项D. 【解析】由, 得 , 两圆的方程相减得到直线的方程为, 因为点在直线上, 代入直线的方程, 得, 因此选项正确; 又因为也在直线上, 所以代入直线的方程, 得, 联立，得, 因此选项B正确; 因为两圆半径相等, 所以的中点恰为的中点, 所以成立, 因此选项正确; 设的中点为H , 则 , 当且点与点分布在异侧最大, 最大为 , 则最大值为，而不是， 因此选项D错误. 故选: ABC. 10．已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解. 【解析】由题意得，所以点在圆外， 由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得， 即直线：， 的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为： ， 将代入，得，解得， 即外接圆方程为，即. 故答案为： 11．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 【答案】x=1或5x+12y+13=0 【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程． 【解析】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1， 所以, 故， 所以直线满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 故， 因为， 所以， 整理得，解得或． 当时，则，解得； 当时，则，此方程无解． 故直线方程为，即． 综上可得所求直线方程为或． 故答案为或． 12．在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 13．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5，若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）根据题意，设，列出方程组求得，求得圆，再利用点关于直线的对称，求得圆的圆心坐标，即可求得圆的方程； （2）根据题意求得，当时，取得最小值，得到，确定的以为直径的圆的方程，结合圆的方程，两式相减求得公共弦的方程即可. 【解析】（1）由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且与直线相切， 可得，整理得， 因为圆的半径小于5，所以，即，且半径 所以圆的方程为， 设圆，因为圆与圆关于直线对称， 可得，解得，所以圆的方程为． （2）圆，可得， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为，且； 由，可得以为直径的圆的方程为 因为在以为直径的圆上，且在上，且圆， 两圆的方程相减，可得直线的方程为 14.已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值； （3）由（2）得，直线：，画出图形，可知所求圆的圆心，联立直线方程求得圆心坐标，再求出所求圆的半径，则圆的标准方程可求． 【解析】（1）由直线l：，得， 联立解得 ∴直线l恒过一定点． （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM， 化圆C：为，可得， 则， ∴，解得． （3）由（2）得，直线：，即．    如图，过C与直线垂直的直线方程为，即． 联立解得 而C到直线的距离， ∴所求圆的半径为． 故圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $