专题04 圆的方程（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题04 圆的方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求圆的标准方程及简单应用 1 题型二、圆的一般方程判别条件的应用 2 题型三、求圆的一般方程及简单应用 2 题型四、点与圆的位置关系判断 3 题型五、利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 3 题型六、与圆有关的轨迹问题 4 题型七、与圆有关的最值问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求圆的标准方程及简单应用 1．经过，，三点的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 2．已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（  ） A． B． C． D． 3．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 4．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 5．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 题型二、圆的一般方程判别条件的应用 6．若方程表示圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．“”是“方程表示圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，则方程表示的圆的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 10．已知表示圆，则实数的值为 题型三、求圆的一般方程及简单应用 11．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（  ） A． B． C． D． 12．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ． 14．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的方程为 ． 15．已知点外接圆的方程是 16．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 题型四、点与圆的位置关系判断 17．已知点，与圆O：，则（  ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 18．点在圆的（  ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 19．“”是“坐标原点在圆的外部”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 21．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 题型五、利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 22．若点在圆外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 24．若点在圆外，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 25．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 26．写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 27．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 题型六、与圆有关的轨迹问题 28.已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 29.已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 30.已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形，则点的轨迹方程为 ． 31.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 题型七、与圆有关的最值问题 32．已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4   33．已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 34．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．3 D． 35．已知点是圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．5 B．6 C．25 D．36 36．已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为 ．． 37．若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 . 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 4．平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（  ） A． B．6 C． D．9 6．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（  ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 8．（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（  ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 9．（多选）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（  ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 10．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 11．如图，在等腰中，已知，，边的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 12．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 13．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求圆的标准方程及简单应用 1 题型二、圆的一般方程判别条件的应用 4 题型三、求圆的一般方程及简单应用 5 题型四、点与圆的位置关系判断 8 题型五、利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 10 题型六、与圆有关的轨迹问题 11 题型七、与圆有关的最值问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求圆的标准方程及简单应用 1．经过，，三点的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程． 【解析】由于所求的圆经过三点，和原点， 故圆心在直线上，又在上，故圆心的坐标为， 半径为，故要求的圆的标准方程为， 故选：B． 2．已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案. 【解析】由圆C：可知圆心，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的方程为：. 故选：D 3．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【解析】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B 4．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【解析】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 5．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1)或；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （2）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. （3）首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. （4）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程. 【解析】（1）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （2）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． （3）设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： （4）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为，的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点，直线与直线垂直， ，直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为. 题型二、圆的一般方程判别条件的应用 6．若方程表示圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 7．“”是“方程表示圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 8．若，则方程表示的圆的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 9．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【解析】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 10．已知表示圆，则实数的值为 【答案】 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【解析】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故答案为： 题型三、求圆的一般方程及简单应用 11．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【解析】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 12．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【解析】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 13．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ． 【答案】 【解析】设的外接圆方程为，， 则，解得， 于是的外接圆方程为，即，其圆心， 由点在直线上，得，解得 故答案为： 14．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 故答案为： 15．已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【解析】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 16．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 【分析】利用圆的一般方程，代入条件，列出关系式，即可得到圆的一般方程. 【解析】圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型四、点与圆的位置关系判断 17．已知点，与圆O：，则（  ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解. 【解析】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C 18．点在圆的（  ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【解析】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 19．“”是“坐标原点在圆的外部”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【解析】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 20．已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的半径，再求出相关长度即可. 【解析】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：B. 21．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【答案】 外 【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系. 【解析】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外 题型五、利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 22．若点在圆外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【解析】点在圆外， 且， 解得． 故选：C 23．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 24．若点在圆外，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 25．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 26．写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【答案】4（答案不唯一， ） 【分析】利用点与圆的位置关系求参数范围即可. 【解析】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 27．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案. 【解析】若表示圆，则， 解得. “”是“”表示圆的必要不充分条件， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型六、与圆有关的轨迹问题 28.已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为. 故选：C. 29.已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，由题意计算即可得. 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为： 30.已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形，则点的轨迹方程为 ． 【答案】. 【分析】由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得. 【解析】由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 31.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）x2＋y2－x－y－1＝0 【分析】（1）设出点M坐标，找到要求点M与已知点P的关系，代入已知点P满足的关系式由题意计算即可得.（2）设出点N(x，y)，直接根据题目提供的条件列出方程化简整理即得 【解析】(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 题型七、与圆有关的最值问题 32．已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解. 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆， 由，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 故选：B．    33．已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【解析】由，得，所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为， 所以在圆外，故的最大值为. 故选：C. 34．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【解析】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 35．已知点是圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【解析】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 36．已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为 ．． 【答案】2 【分析】由点和，动点P满足，得到点P的轨迹方程，再求距离最大值即可. 【解析】因为点和，动点P满足， 设点，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为直线恒过点， 当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值， 所以最大值为, 故答案为：2 37．若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 . 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系,根据距离公式可得出点的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得的最大值,再代入运算即可. 【解析】设,,由得即, 则 由圆的几何性质可知 所以即最大值为. 故答案为:. 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为3的圆的标准方程． 【解析】设圆心坐标， 由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直， 结合的斜率为1得直线的斜率为， 所以，化简得①， 再由的中点在直线上， 得到，化简得② 联解①②，可得，， 圆心的坐标为， 半径为3的圆的标准方程为． 故选：D． 2．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数m的取值范围即可. 【解析】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 3．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【解析】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 4．平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【解析】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（  ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【解析】化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 6．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 7．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（  ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 8．（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（  ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【解析】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB 9．（多选）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（  ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足，求出MQ|的取值范围. 【解析】将化为，所以圆心C坐标为，故A正确：因为两点之间的距离为，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点在圆C上，所以，所以，即．所以直线的斜为，故C错误，因为圆心，半径所以，即，故D正确 故选：ABD． 10．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【解析】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 11．如图，在等腰中，已知，，边的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 【答案】 【分析】利用解析几何思想直接求出点的轨迹方程，再用相关点法求出点的轨迹方程，从而可以判断轨迹是圆，再用圆的面积公式即可求解. 【解析】 因为，所以点的轨迹是阿波罗尼斯圆， 设点，代入两点间距离公式可得：， 整理方程得：． 又设动点，由边的中点为，可知点，代入以上方程， 可得点的轨迹方程为， 即，故所求的面积为． 故答案为：. 12．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【解析】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 13．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或；(2)圆心，半径，； (3). 【解析】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②存在定点 【分析】（1）由题意得出OM的直线方程，设出Q点坐标，利用点到直线的距离公式得出Q点坐标，利用两点距离公式得出； （2）①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，得出圆心，半径得出圆的方程； ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，，得出关系式求出得出结论． 【解析】（1）解：直线OM的方程为，即，设，， 由题意可得，解得或（舍），所以点， 所以 （2）解：①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，所以圆心坐标为，半径为， 所以圆C的方程为，即 ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，， 所以，化简得， 又因为点P在圆上，所以， 所以， 点P为圆C上任意一点，所以 解得， 经检验符合题意，所以在x轴及射线OM上分别存在定点，使为定值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $