专题08 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题08 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 类型二、利用一元一次方程的解求参数 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 类型四、利用一元一次方程同解求参数 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 利用一元一次方程定义求参数 一、核心知识点 一元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程（标准形式：ax + b = 0，其中a ≠ 0，a、b为常数）。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系数不为0。 二、解题技巧 1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m - 2)x|m| - 1 + 3 = 0是一元一次方程，先令|m| - 1 = 1，得m = ±2）。 2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m = 2时，系数m - 2 = 0，舍去，最终m = -2）。 3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。 例1．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程；根据此概念得：，再求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，根据一元一次方程的定义得出且，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，根据一元一次方程的定义，得到且，进行求解即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴； 故答案为：0． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 类型二、利用一元一次方程的解求参数 利用一元一次方程的解求参数 一、核心知识点 方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。 二、解题技巧 1.代入解：将已知的解（如x = 2）代入含参数的原方程（如2x + k = 7，代入得2×2 + k = 7）。 2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4 + k = 7）当作普通一元一次方程，求解参数（得k = 3）。 3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax = b中a = 0且b = 0）或“无解”（a = 0且b ≠ 0），需根据系数关系列等式求参数。 例2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中，求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：3 【变式2-1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，由题意可得，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是方程的解， ，即， ． 故答案为：2026． 【变式2-2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知是方程的解，则代数式 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程求出的值，再根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．根据题意得到的值，然后化简条件式即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是，且式子成立， ∴， ∴． 故答案为： ． 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 利用一元一次方程整数解求参数 一、核心知识点 先将方程化为ax = b（a含参数，b为常数或含参数）的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满足的整除关系（若x为整数，则b能被a整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限制条件（如整数、正整数等）求解。 二、解题技巧 1. 化简方程：将原方程整理为x = （m、n含参数）的形式（如(k + 1)x = 6，得x = ）。 2. 分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k + 1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6）。 3. 求参数值：根据约数列出方程求参数（如k + 1 = 1得k = 0），并检验参数是否使原方程系数不为0。 例3．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】0或6或8 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数， ∴或或， 解得或或， 故答案为：0或6或8． 【变式3-1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程的解是负整数得到的值为，，，求出k值解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数， ∴的值为，，， 解得的值为，，，共个， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 类型四、利用一元一次方程同解求参数 利用一元一次方程同解求参数 一、核心知识点 同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据“解相等”列等式，进而求解参数；若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。 二、解题技巧 1.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x = m（m为含参数的表达式）的形式。 2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x = 2k，方程2的解x = k + 3，则2k = k + 3），解出新参数。 3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。 例4．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）若方程与的解相同，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，然后将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 把代入，得，解得：； 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若方程和方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟练掌握方程解的定义是解题的关键．先求出方程的解是，然后把代入方程，再求出a即可． 【详解】解：解方程，得， ∵方程和方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，先求出方程的解，再把解代入方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25六年级下·山东泰安·期末）若方程与方程的解相同，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的定义是解题的关键．先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入方程中即可求出k的值． 【详解】解：解方程得，， 根据题意把代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 含字母参数的一元一次方程新定义型问题 一、核心知识点 新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一次方程定义（未知数次数为1、系数不为0） 和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求解参数或方程的解。 二、解题技巧 1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b = ax + b”，则“3※2 = 0”即3x + 2 = 0）。 2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。 3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验是否符合题意。 例5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解题意并求得方程的解是解题的关键． （1）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得与方程互为“成双方程”的解为，据此写出一个方程即可； （2）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得的解为，将其代入解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 则与方程互为“成双方程”的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）； （2）解： ， 解得：， ∵关于x的方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 则， 解得：． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 【变式5-2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，合并同类项，得：． ∵方程与方程是“关联方程”， ∴， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，得：， 系数化为“1”，得：． ∵方程和方程是“关联方程”， ∴， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川资阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值； (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：解得：， 解得：， 方程与方程互为“唯美方程”， 解得：； （2）解：由题意得，当，即时， ，解得， 当，即时， ，解得， 综上所述：或； （3）解：由得 ， 所以的解是， 将整理得 ， 所以， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．把代入即可得出关于a的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（    ） A．0 B．2 C．     D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握等式两边是只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式的方程叫一元一次方程成为解题的关键． 直接根据一元一次方程的定义列式求解即可解答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，解得：． 故选B． 4．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 分别求出两个方程的解，根据互为相反数的条件建立方程求解m的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与的解互为相反数， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 6．（24-25七年级上·重庆丰都·阶段练习）若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程方程的解，首先解方程，将原方程转化为关于x的表达式，再根据解为正整数确定m的可能值，最后求和． 【详解】解： ， 两边同乘3，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵关于x的方程的解是正整数，m是正整数， ∴或， 解得 或 ， ∴满足条件的 为2和4，和为 ， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）已知和互为相反数，则 ； 【答案】5 【分析】本题考查了相反数意义，一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出一元一次方程是解题关键． 根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为和互为相反数， 所以， 解得：． 故答案为：5． 8．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义得出且，求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，且， 解得：， 故答案为： 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若是方程的解，则值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解以及代数式的运算，得到“”是解决本题的关键． 先将代入方程，可得，再整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的意义，利用方程的解求参数等知识点，解题的关键是掌握方程的解的意义． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值，然后代入关于y的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， ∴关于y的方程为， 解得， 故答案为：5． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程 与方程的解互为倒数，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解以及倒数的性质和代数式求值．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和倒数的性质，能准确根据已知条件建立等式是解题的关键．本题可先分别求解两个方程，再根据两个方程的解互为倒数这一关系求出的值，最后代入代数式求值．解题的关键在于准确求解方程以及利用倒数的性质建立等式． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ∵两个方程的解互为倒数， ∴方程的解为． 把代入方程中， ， ， ， ， ， ． 把代入， 原式． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】0或6或8 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数， ∴或或， 解得或或， 故答案为：0或6或8． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 14．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义一种新的运算“※”： ，例如： ． (1)求2※的值； (2)若※，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据，将，代入求解即可； （2）根据新定义，将，代入左边，得到一个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． 15．（24-25七年级上·北京房山·阶段练习）已知关于x的方程 ． (1)当时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，再结合方程的解是整数，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，为整数， ∴． 16．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． （1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 17．（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 类型二、利用一元一次方程的解求参数 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 类型四、利用一元一次方程同解求参数 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 利用一元一次方程定义求参数 一、核心知识点 元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程 (标准形式：ax+b=0,其中a≠0，a、b为常数)。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系 数不为0。 二、解题技巧 1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m-2)xm-1+3=0是一元一次方 程，先令m-1=1,得m=±2)。 2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m=2时，系数m-2=0,舍去，最终m= -2)。 3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。 2xa-2-5= 例1，(24-25七年级上四川自贡期末)若方程1 0是关于的一元一次方程，则“ 【变式1-】(2425七年级上贵州黔东南阶段练习)若m-3列=5 关于x的一元一次方程，则m= 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(2425七年级上山东聊城阶段练习)已知关于x的方程k-2到-10=0 一元一次方程， 则k的值为 【变式1-】(2425七年级上山东枣庄阶段练习)若关于x的方程m--8=0是一元一次方程，则 m= 类型二、利用一元一次方程的解求参数 利用一元一次方程的解求参数 一、核心知识点 方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数 的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。 二、解题技巧 1.代入解：将已知的解（如x=2)代入含参数的原方程（如2x+k=7,代入得2×2+k=7)。 2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4+k=7)当作普通一元一次方程，求解参数（得k=3)。 3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax=b中a=0且b=0)或“无解”(a=0且b≠ 0),需根据系数关系列等式求参数。 例2.(24-25七年级上山东青岛阶段练习)已知x=-2是关于x的方程2x+3a=5的解，则a=一 【变式2-1】(24-25七年级上河南周口阶段练习)若关于x的方程2x+a+b=0的解是x=1,则代数式 2024-a-b的值为-. 【变式2-2】(24-25七年级上·重庆·阶段练习)已知x=-1是方程2ax+3br-5=-17的解，则代数式 6a+9b-5= 【变式2-3】(24-25七年级上陕西安康阶段练习)例如“已知关于x的方程2x-a=b的解为x=2,求关 于y的方程2y-2-4=b的解。”可以这样解：可得，-2-2，所以y=4.若关于x的方程+m=川的 解是x=3’且式子 a-b 2 +m=n成立，则5a-2(2a-b)-3b的值为一· 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 利用一元一次方程整数解求参数 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、 核心知识点 先将方程化为a心=b(α含参数，b为常数或含参数)的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满足 的整除关系（若x为整数，则b能被α整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限 制条件（如整数、正整数等）求解。 二、解题技巧 1,化简方程：将原方程整理为x=四(m、n含参数)的形式（如（低+I=6,得xK十）。 6 n 2.分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k+1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6）。 3.求参数值：根据约数列出方程求参数（如k+1-1得k=0),并检验参数是否使原方程系数不为0。 例3.(24-25七年级上江西南昌阶段练习)己知关于x的方程9x-3=x+6有正整数解，则满足条件的 所有整数k的值为· 【变式3-】(24.25七年级上重庆阶段练习)关于*的一元一次方程3m心=2-+3 正整数解， 则所有满足条件的整数m的值之和为 【变式3-2】(2425七年级上江苏无锡阶段练习)若关于x的方程(k+2到x=4 的解是负整数，则满足条 件的整数k的值有一个. 【变式3-3】(24-25六年级下·黑龙江大庆期末)已知关于，的方程x- 一6=3一2有整数解，则满足条 件的所有整数a的和为一· 类型四、利用一元一次方程同解求参数 利用一元一次方程同解求参数 一、 核心知识点 同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据 “解相等”列等式，进而求解参数：若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。 二、解题技巧 L.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x=m(m为含参数的表达式)的形式。 2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x=2k,方程2的解x=k+3, 则2k=k+3),解出新参数。 3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。 例4。(2526八年级上吉林长春开学考试)若方程2x-1=1与2x-3a=ax的解相同，则a的值是一 【变式4-1】(24-25七年级下·吉林长春·阶段练习)若方程2x=8和方程ax+2x=4的解相同，则a的值为 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-2】(24-25七年级上湖南株洲期末)关于*的方程2x-3=5x+m与3到x-2=2x-1 的解相同， 则m的值为一. 【安式】(2435六年级下山东奉实期未)若方程”：-1与方是+5-1的相同，则的省为 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 含字母参数的一元一次方程新定义型问题 一、核心知识点 新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一 次方程定义（未知数次数为1、系数不为0）和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求 解参数或方程的解。 二、解题技巧 1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b=ax+b”,则“3※2=0”即3x+ 2=0)。 2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。 3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验 是否符合题意。 例5.(24-25七年级下·福建漳州期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方 3+1 程互为“成双方程”·例如：方程1上2的解为x,方程210的解为，因为22，所 以这两个方程互为“成双方程” (I)请写出一个一元一次方程，使得它与方程x+2=0互为“成双方程”； ②若关于x的方程2025-1=0和2023x+3=2r+m互为“成双方程”，求m的值. 【变式5-1】(24-25七年级上·湖南长沙期末)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之， 并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如 果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”· (1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值. 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-2_x+a (②若关于x的方程+a=0与关于x的方程)-2互为“归一方程”，求a的值. 4m 3)若关于x的两个方程3x+2m+1)=mn与)mm3. 4互为“归一方程”，求出所有满足条件的正 整数m、n值。 【变式5-2】(24-25七年级上江苏常州阶段练习)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们 就称这两个方程为“对称方程”· (1)若关于x的方程2x-m=1与方程2x-4=x+3是“对称方程”，求m的值 .2y+3m=0..2m-3y+5=0 (2)若关于的方程 与方程 是“对称方程”，求”的值。 【变式5-3】(24-25七年级下·四川资阳·期末)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这 两个方程互为“唯美方程”.如方程2x-6=0和x+2=0互为“唯美方程”. (D若关于x的方程x+m=0与方程7(x-)+3=x+8 为“唯美方程”，求m的值： (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n,求n的值： 1 1 (3)若关于x的一元次方程2025x+3=2r+k和2025+1=0互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程 1 2025y+1=2y+k-1的解. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·福建泉州期中)已知关于x的方程2x-a=3的解是x=1,则a的值为() A.1 B.-1 C.7 D.-7 2.(24-25七年级下山西临汾阶段练习)若x=2是方程a-bx=-2的解，则3a-6b+1的值为() A.-5 B.7 C.-4 D.5 3.(24-25七年级下河南周口阶段练习)如果方程m+2+3=5 关于x的一元一次方程，那么m 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值是() A.0 B.2 C. D.1 4、（Q425七年餐上山东济阶段练》心知关，府方程21智与生”x2伯能互为相反或 则m的值为() 4 5 A.4 B.3 C.5 D. 5.(24-25六年级下山东淄博期末)若不论k取何值，关于x的方 2+a-城=2(a'6是常数) 36 的解总是x=1,则a+b的值是() B.2 D.2 6。（2425七年级上·重庆丰都阶段练习)若关于x的方程x2xm-6, 3 3的解是正整数，则所有满足条 件的正整数m的和为() A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 7.(24-25七年级上广东惠州阶段练习)已知m-4和-1互为相反数，则m=一： 8。（24-25七年级上山东枣庄阶段练习)若关于x的方程(2-利x=1 一元一次方程，则k的值为 9.(24-25七年级上江苏扬州期中)若x=3是方程a-br=4的解，则-6b+2a+2016值为一. 10.(24-25七年级上江苏南通期末)已知x=4是关于x的方程x-5=9x-a的解，那么关于y的方程 a1-y+5=91-)+0的解是y= 1。(2425七年级上江苏无镯阶段练习)已知关于的方程号=3x-1与方程2” 3的解互为 倒数，则代数式-m2-2m的值是一. 12.(24-25七年级上·江西南昌·阶段练习)已知关于x的方程9x-3=c+6有正整数解，则满足条件的所 有整数k的值为一· 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 13.(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)如果x=-2是关于x的方程r+b=5-2x的解，求3-4a+2b 的值 14.(24-25七年级上·陕西宝鸡阶段练习)定义一种新的运算“※”：m※n=3m-2n,例如： 5※-2)=3×5-2×-2)=15+4=19 0求2※-3 的值： (2) 3x-2引※x+1=6,求x的值， 15.（24-25七年级上北京房山阶段练习)已知关于x的方程(k+3列x+2=1+3(x+1(k≠0) (1)当k=1时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数k的值. 16.(24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习)定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程 互为“优雅方程”.例如：2x=4和2x-1=0互为“优雅方程”. (1)方程x+1=0与方程-3x+5=4x+12是“优雅方程”吗？请说明理由： 2若方程2(x+4利-9=0与关于的方程2-a+10-6互为“优雅方程”，求“的值。 17.(24-25七年级下·江西赣州期末)新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程 为“友好方程”，如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值： (2若关于x的方程2x+3=2b与方程2(x-a)=4层 是“友好方程”，求a+b的值： (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n,求n的值. 18.(24-25七年级上·安微六安·期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程 为“美好方程”.例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”. (1)若关于x的方程：3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，求m的值. (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为n,求n的值. (3)若关于x的一元一次方程2025x+3=2r+k和2025x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2025y+刊+3=2y+k+2的解。 8/8