专题09 一元一次方程应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题09 一元一次方程应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）长沙市第十五中学元旦排练已经拉开序幕．5班在某实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额元 优惠办法 不予优惠 高于元且不高于元的部分八折优惠 不高于元的部分不予优惠 高于元且不高于元的部分八折优惠 高于元的部分六折优惠 (1)若5班在实体店的消费金额是元，那么班实际付款___________元；若5班在实体店付款元，那么班在这家实体店消费金额是___________元． (2)若班在该实体店消费金额为元， ①当时，他实际付款___________元； ②当时，他实际付款___________元．（用含a的代数式表示并化简） (3)5班家委会又找到了一家网店，该家网店承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后班在该网店购买比在实体店购买优惠了元．你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 【答案】(1)1400，2100 (2)； (3)或元 【分析】（1）根据实体书店优惠规则，元消费中元不优惠，超过元的部分（）按八折，计算实际付款；第二小问：设消费金额为元，分阶段考虑优惠，结合付款元判断所在区间，列方程求解． （2）①当时，元不优惠，超过元部分（）八折，据此列代数式；②当时，元不优惠，到元部分（元）八折，超过元部分（）六折，据此列代数式并化简． （3）设原价为元，分、、三种情况，根据网店七折与实体店优惠后价格差元列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的实际应用及根据不同优惠方案列代数式，涉及到分段计价问题．熟练掌握分段分析优惠情况，根据等量关系列方程或代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：若消费金额是元：实际付款元． 若实际付款元，设消费金额是元： 当时，实际付款元，，所以． ， 解得， 消费金额是元， 故答案为：1400，2100． （2）解：①当时：实际付款为元， 故答案为： ． ②当时：实际付款为元 故答案为： （3）解：设原价是元： 当时：， 解得（不符合，舍去） 当时： 解得 当时： ， 解得 综上所述，这个班级购买服装的原价是元或元． 【变式1-1】（24-25七年级上·云南·期末）因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【答案】(1)，； (2)购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用； （）根据选择两种方案所省的钱数一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得：， 答：购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东东莞·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1) (2)购进甲种商品10件 (3)小明这天在该商场购买甲商品6件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据乙种商品每件的进价为40元，售价为60元，列出算式，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：乙种商品每件的利润率为： ； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得：， 解得 ， 答：购进甲种商品10件； （3）解：根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分为两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有， 解得 ， 检验：当时，购买甲商品的原售价为元，满足， 故符合题意； 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有， 解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，小明购买了甲种商品6件． 【变式1-3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元； 信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元； 信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元． (1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价； (2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？ 【答案】(1)A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系是解题的关键． （1）分3种情况：选①②，选①③，选②③，分别讨论即可； （2）设A品牌饮料买瓶，购买品牌饮料瓶，得方程，解得，a应该是整数，不能是分数，可判断错误． 【详解】（1）解：选①②，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选①③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴． 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选②③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． （2）解：设A品牌饮料买瓶，则购买品牌饮料瓶， 由题意可得：， 解得． 因为饮料的数量不可能是分数，所以小文弄错了． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 【变式2-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【答案】(1)240人 (2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设这个学校一共有学生x人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可； （2）求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低，则在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设这个学校一共有学生x人， 由题意得，， 解得， 答：这个学校五年级一共有学生240人； （2）解：， 所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低， 所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多， 辆， 当租用6辆45座客车时的租金为元， 人， 当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为元， 因为， 所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东河源·期末）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)x为36时购票费用刚好相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（24-25七年级上·吉林·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套 【分析】本题考查了一元一次方程在配套问题中的应用，解题的关键是根据＂一个盒身配两个盒底＂这一配套关系列出方程 设制作盒身的工人数为，则制作盒底的工人数为，根据盒底数量是盒身数量的2倍列出方程求解． 【详解】解：设安排人制作盒身，人制作盒底 才能使每小时制作的盒身与盒底恰如配套． ． 答：安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【变式3-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【答案】(1) (2)九二折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可； （2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可． 【详解】（1）解：设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子， ， 解得， 米， 答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子； （2）解：套， 成本：元， 销售额：元， 单价：元， ， 答：商场计划打九二折出售． 【变式3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得： ， 解得：， 人 答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 【变式4-2】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 【变式4-3】（24-25七年级上·吉林·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） 【答案】绳子长20尺，竿长15尺 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设绳子长x尺，则竿长尺，根据用绳去量竿，则绳比竿长5尺，若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设绳子长x尺，则竿长尺，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 答：绳子长20尺，竿长15尺． 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、列出方程并正确求解是解题的关键；设正方形的边长为，则可分别表示两次剪下的长条的面积，根据第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，列出方程并求解，再用正方形面积减去再次剪下的长条面积即可求得剪下两次后剩下的图形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，则第一次剪下长条面积为，第二次剪下长条面积为， 由题意得：， 解得：； 剪下两次后剩下的图形的面积为． 答：剪下两次后剩下的图形的面积为． 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图①，将一张长为，宽为的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则长方体盒子的底面积为______． (2)若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该盒子的体积． 【答案】(1)1500 (2) 【分析】（1）由题意知，无盖长方体盒子的长为，宽为，把代入求出长和宽，进而求出面积． （2）根据题意列方程得，求出x的值，进而求出长方体盒子的长宽高，然后由长方体的体积公式求其体积即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，长方体盒子的底面的长为： ，宽为，面积为， 当时，． 故答案为：1500 （2）解：若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，则 ， 解得， 则，， 该盒子的体积为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 【答案】(1)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 (2)平方米 (3)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宽为x米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （2）设正方形的边长为m米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （3）设宽为a米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设宽为x米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米； （2）解：设正方形的边长为m米，根据题意得： ， 解得：， ， 答：此正方形窗子的透光面积为平方米； （3）解：设宽为a米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米． 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例6．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如表： 档次 月用电量 电价（元／度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． (1)表中的值为_______；若用电400度，则应缴电费_______元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元／度，求老李家8月份的用电量． 【答案】(1)；248 (2)老李家9月份的用电量为300度； (3)老李家8月份的用电量为800度． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再利用应缴电费，即可求出结论； （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 若用电400度，则应缴电费（元）． 故答案为：；248； （2）解：设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度； （3）解：设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【变式6-1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（注：水费按月计算，用水量单位：） 阶梯 月用水量 单价（元/） 第一阶梯 不超过22 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若小广家10月份用水，则应交水费为________元； (2)小广家某月用水量为，则应交水费多少元？（用含x的式子表示） (3)若小雅家11、12月用水量共．（11月份用水量小于12月份用水量），这两个月共交水费244元，小雅家11、12月用水量分别为多少？ 【答案】(1)76 (2)见详解 (3)小雅家11月份用水量为月份用水量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，找出应交水费与之间的关系式；分及两种情况，找出关于的一元一次方程． （1）利用应交水费超过的部分，即可求出结论； （2）分三个阶段分别用x表示出应交水费，即可得出结论； （3）设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为，根据“11月份用水量小于12月份用水量”，得出，分及两种情况，根据这两个月共交水费244 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 元， ∴应交水费为76元． 故答案为：76； （2）解：根据题意得： 当时，应交水费， 当时，应交水费， 当时，应交水费． （3）解：设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为， 由11月份用水量小于12月份用水量可得：， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小雅家11月份用水量为月份用水量为． 【变式6-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分段计费）目前，某市对市区居民用气户的燃气收费以户为基础、以年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，某年用气量为 则该年此户需缴纳燃气费用 元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5 人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 【答案】(1)534 (2)该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是列方程解决问题． （1）用200乘以第一阶梯的电价即可； （2）先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出燃气量即可． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：534； （2）∵， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 设甲户该年用气量为， 由题意得：， 解得：， ， 且， 乙户该年的用气量达到第二阶段，但未达到第三阶段， 设乙户年用气量为，则有， 解得， ∴， 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气． 【变式6-3】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题 为了平衡电力负荷，减少用电高峰时段用电和不必要的能源消耗，某省居民生活用电可申请“峰谷电”，两种收费标准如下： 未申请峰谷电即阶梯电价收费标准： 月用电总量（单位：千瓦时） 电价（单位：元/千瓦时） 230及以下部分 超过230至400部分 超过400部分 峰谷电收费标准： 高峰电价 低谷电价 元/千瓦时 元/千瓦时 (1)小明家5月份用电总量为400千瓦时，其中高峰时间段用电量为150千瓦时，低谷时段用电量为250千瓦时，如不申请峰谷电，应付电费________元，若申请峰谷电，应付电费________元． (2)小强家未申请峰谷电，7月份一共付电费元，7月份的用电总量为________千瓦时；8月份一共付电费元，8月份的用电总量为________千瓦时； (3)小强听朋友介绍峰谷电节能且收费便宜，于是9月份就申请了峰谷电，九月份用电总量是330千瓦时，经计算申请峰谷电后比申请前节约了元，求小强家9月份的高峰时段用电量是多少？ 【答案】(1)；158 (2)300；500 (3)100千瓦时 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）根据两种计费方式进行求解即可； （2）根据题意可得7月份用电量超过230千瓦时，未超过400千瓦时，根据未申请峰谷电的方式，计算即可；可设小强家8月份用电总量为x千瓦时，根据未申请峰谷电的方式进行列方程计算即可； （3）设小强家9月份的峰时用电量为y千瓦时，根据两种方式相差元可列出方程求解． 【详解】（1）解：不申请峰谷电，应付电费为元； 申请峰谷电，应付电费为：元， 故答案为：；158 （2）解：∵，且， ∴7月份用电量超过230千瓦时，未超过400千瓦时， ∴千瓦时； ∵， ∴8月份用电量超过400千瓦时， 设小强家8月份用电总量为x千瓦时，依题意得： ， 解得：， 答：小强家8月份用电总量为500千瓦时； 故答案为：300；500 （3）解：设小强家9月份的峰时用电量为y千瓦时，依题意得： ， 解得：， 答：小强家9月份的峰时用电量为100千瓦时． 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据原来甲、乙桶油质量间的关系，可得出甲桶油有千克，根据“甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等”，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：∵甲桶油是乙桶的倍，且乙桶油有x千克， ∴甲桶油有千克． 根据题意得：，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列方程． 设走路快的人要走x步才能追上，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步”可知走路快的人走x步后走路慢的人走步，根据“走路慢的人走的路程+先走100步=走路快的人走的路程”列方程即可． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上， ∵走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步 ∴走路快的人走x步后走路慢的人走步， ∴， 故选：A 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 设框出的个数中中间一个数为，则同一行与同一列的其它两个数均可表示出来，则可求得其和，根据其和的特征及“十”字型框的特点即可求解． 【详解】解：设框出的个数中中间一个数为，则同一行的另外两个数从左到右分别为、，同一列的两个数从上到下分别为、， 这个数的和为：， 因此这个数的和是的倍数， 由于一个月最多天，则，即， 则， 即框里的个数的和最大为， 显然当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，则这个数分别为、、、、， 显然一个月没有天，这个数的和为，这是不可能的，选项符合题意． 故选：． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）有三个连续的奇数之和是2025，这三个奇数中，最大的数是 ． 【答案】677 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设最大的数是x，则另外两数为，，根据和是2025列方程求解即可． 【详解】解：设最大的数是x，则另外两数为，， 则 解得： 故答案为：677． 5．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 【答案】500 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为，利用路程=速度×时间，结合甲追上乙时甲、乙的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 因此甲出发后需用500分钟才能追上乙． 故答案为：500． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：， ， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个 (2)100 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．需要准确梳理数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，解题的关键是由数量关系建立等式． （1）设购进“滨滨”的个数为未知数，根据购进两种冰箱贴的总数以及总花费列出方程求解． （2）先分别计算出按标价销售和打折销售的收入，再根据利润的关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个， 因为购进“滨滨”和“妮妮”一共1000个， 所以购进“妮妮”个． 所以， 解得：， 则购进“妮妮”的个数为：（个）． 答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个． （2）解：当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个时， 这部分的收入为元． “滨滨”购进400个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“滨滨”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． “妮妮”购进600个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“妮妮”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． 所以， 解得：． 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 【答案】(1) (2)点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意表示出各边长进而得出答案； （2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案． 【详解】（1）解：，，且点是边的中点，， ，， 四边形面积为； （2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则， ， 解得：， 如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则 ， 解得：， 答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 【答案】任务1：1100元，700元 任务2：96人 任务3：方案二最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于任务1：设大客车和小客车每辆每天的租金，再根据总租金等于5700列出方程，求出解即可； 对于任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于任务3：分别求出三种方案的租金，再比较即可. 【详解】解：任务1：设大客车每辆每天的租金为x元，小客车每辆每天的租金为元，根据题意，得 ， 解得， 则. 所以大客车和小客车每辆每天的租金是1100元，700元； 任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据题意，得 ， 解得， 则（人）. 所以旅行社中参加此次延安1日游活动的游客人数是96人； 任务3：方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：需要1辆大客车和2辆小客车，即（元）， 可知， 所以选择方案二最省钱. 12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次方程应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）长沙市第十五中学元旦排练已经拉开序幕．5班在某实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额元 优惠办法 不予优惠 高于元且不高于元的部分八折优惠 不高于元的部分不予优惠 高于元且不高于元的部分八折优惠 高于元的部分六折优惠 (1)若5班在实体店的消费金额是元，那么班实际付款___________元；若5班在实体店付款元，那么班在这家实体店消费金额是___________元． (2)若班在该实体店消费金额为元， ①当时，他实际付款___________元； ②当时，他实际付款___________元．（用含a的代数式表示并化简） (3)5班家委会又找到了一家网店，该家网店承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后班在该网店购买比在实体店购买优惠了元．你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 【变式1-1】（24-25七年级上·云南·期末）因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【变式1-2】（24-25七年级上·广东东莞·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【变式1-3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元； 信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元； 信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元． (1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价； (2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？ 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【变式2-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【变式2-2】（24-25七年级下·广东河源·期末）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（24-25七年级上·吉林·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【变式3-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【变式3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【变式4-2】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【变式4-3】（24-25七年级上·吉林·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图①，将一张长为，宽为的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则长方体盒子的底面积为______． (2)若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该盒子的体积． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例6．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如表： 档次 月用电量 电价（元／度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． (1)表中的值为_______；若用电400度，则应缴电费_______元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元／度，求老李家8月份的用电量． 【变式6-1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（注：水费按月计算，用水量单位：） 阶梯 月用水量 单价（元/） 第一阶梯 不超过22 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若小广家10月份用水，则应交水费为________元； (2)小广家某月用水量为，则应交水费多少元？（用含x的式子表示） (3)若小雅家11、12月用水量共．（11月份用水量小于12月份用水量），这两个月共交水费244元，小雅家11、12月用水量分别为多少？ 【变式6-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分段计费）目前，某市对市区居民用气户的燃气收费以户为基础、以年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，某年用气量为 则该年此户需缴纳燃气费用 元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5 人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 【变式6-3】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题 为了平衡电力负荷，减少用电高峰时段用电和不必要的能源消耗，某省居民生活用电可申请“峰谷电”，两种收费标准如下： 未申请峰谷电即阶梯电价收费标准： 月用电总量（单位：千瓦时） 电价（单位：元/千瓦时） 230及以下部分 超过230至400部分 超过400部分 峰谷电收费标准： 高峰电价 低谷电价 元/千瓦时 元/千瓦时 (1)小明家5月份用电总量为400千瓦时，其中高峰时间段用电量为150千瓦时，低谷时段用电量为250千瓦时，如不申请峰谷电，应付电费________元，若申请峰谷电，应付电费________元． (2)小强家未申请峰谷电，7月份一共付电费元，7月份的用电总量为________千瓦时；8月份一共付电费元，8月份的用电总量为________千瓦时； (3)小强听朋友介绍峰谷电节能且收费便宜，于是9月份就申请了峰谷电，九月份用电总量是330千瓦时，经计算申请峰谷电后比申请前节约了元，求小强家9月份的高峰时段用电量是多少？ 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）有三个连续的奇数之和是2025，这三个奇数中，最大的数是 ． 5．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 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