1.2 集合间的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕集合间的基本关系展开，系统讲解子集、集合相等、真子集与空集的概念及其符号语言和图形表示，通过生活实例与数学问题层层递进，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立清晰的逻辑结构。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的三维统一。例如，用Venn图直观呈现包含关系，强化几何直观；通过判断集合A是否为B的子集，训练逻辑推理能力；借助数轴分析不等式集合关系，提升数学表达与建模意识。教学设计注重概念辨析与典型例题结合，如区分“属于”与“包含”关系，引导学生深入理解本质，既发展学生理性思维，又提升教师课堂组织效率。

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 1.子集 问题1:观察下面的例子,类比实数间的大小或相等关系,试说说每组的两个集合间有何关系? 集合A小 集合B大 集合相等 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合, B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合; (3)A={等边三角形},B={等腰三角形}; (4)A={4,6,8},B={8,4,6}; (5)A={x∈Z||x|<2},B={-1,0,1} 集合间的包含关系:集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素。 1.子集 (1)包含关系与子集的概念: 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素, 则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A). 并称集合A为集合B的子集. 记作A⊆B(或B⊇A). 读作A包含于B(或B包含A). 如:{1,2}⊆{1,2,3,5} (2)符号语言: 对任意的x∈A,总有x∈B,则A⊆B {0,1,2}⊆{x∈N|x<3} = 2.Venn图 A B A(B) 1880年Venn首次采用 也称韦恩图或文氏图. 在数学中,我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合,这种图叫做Venn图。这样, 如果,就可以表示如图: 图中A是否为B的子集? (1) B A (2) B A 不是 不是 B A (3) 是 A(B) (4) 是 1.子集 问题2:观察下面几个例子,类比实数间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形, 因此,集合E,F都是由等腰三角形组成的集合. 即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素, 同时,集合F中任何一个元素都是集合E中的元素. 这样,集合E的元素与集合F的元素是一样的. 3.集合相等 3.集合相等 (1)集合相等的概念: 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素, 且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素, 则说集合A与集合B相等.记作A=B. (2)符号语言: (3)图形语言: 如:{x||x|=1}={x|x2=1} 若A⊆B且B⊇A,则A=B. A(B) 4.真子集 (1)真包含关系与真子集的概念: 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素, 但集合B中存在一些元素不是集合A中的元素, 则说集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A). 并称集合A是集合B的真子集. 例如,在(1)中,A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} 我们有4B,4 A;我们还有 . 读作:“A真包含于B”(或“B真包含A”) 4.真子集 (2)符号语言: (3)图形语言: A B 5.空集 空集是任何非空集合的真子集 都表示没有的意思 都是集合 都是集合 ∅是集合, 0是实数 ∅不含任何元 素,{0}含有 一个元素0 ∅不含任何元素,{∅}是一个集合,它是由集合组成的一个集合,含有一个元素,这个元素是∅ 0 ∉ ∅ ∅ ⫋ {0} ∅ ⫋ {∅} 或 ∅ ∈ {∅} ∈ ∉ 思考 【答】① {}表示含有一个元素的集合, {} A表示集合A包含{}, 这是两个集合之间的关系,如{} { } ② ,表示是集合A中的一个元素,这是元素与集合间的关系,如∈{ } 变式1:用适当的数学符号填空。 (1) _ {} (2) 0 _ {} (3) ∅ _ {|} (4) {0,1} _ N (5) {0} _ {} (6) {2,1} _ {} = ∈ ∈ ⫋ ⫋ = 练习2(第8页) 6.子集的性质 性质: ①任何一个集合是它本身的子集.即 规定:空集是任何集合的子集.即 ②传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C. B={1,2,4,8} 【判断】①A={1,2,3},B={x|x是8的约数},则A是B的子集.( ) ②A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}, 则A是B的子集.( ) 例题讲解 【分析】可把子集分为三类: ①不含元素的:∅ ②含有一个元素的 ③含有两个元素的 变式2:写出集合{1,2,3}的所有子集,并指出哪些是它的真子集 【解】子集有∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} 其中真子集有∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} 【分析】可把子集分为三类: ①不含元素的:∅ ②含有一个元素的 ③含有两个元素的 ④含有三个元素的 【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集∅ 变式 例题讲解 (2)因为若 x 是长方形,则 x 一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 子集的个数 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 (1)写出 的所有子集; (2)写出集合{a}的所有子集; (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. 你从中发现了什么规律? 集合 元素个数 子集个数 真子集 个数 非空子集 个数 空集 0 {a} 1 {a,b} 2 {a,b,c} 3 {a,b,c,…} n 1 2 4 8 0 1 3 7 【规律总结】所以,含有n个元素的集合的子集有个;真子集有个; 非空子集有个; 非空真子集有个; 子集的个数 反思感悟:求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集:∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏. 8 练习-第8页 练习-第9页 注:连续数集借助数轴分析 课堂小结 二、集合相等: 若A B且B A, 则A=B. 三、真子集: 如果集合A B,但存在元素x∈B且x A,就称集合A是集合B的真子集(proper subset) , 记作 A B (或 B A) 四、空集: 不含任何元素的集合叫做空集(empty set) , 记作 . 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 一、子集: 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,就称集合A为集合B的子集(subset),记作 A B(或 B A). 课堂小结 五、探究已知集合的子集个数 假设集合A中含有n (n∈N*)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 教材第9页 习题1.2 1-5题 作业 教材P9 习题1.2 = 教材P9 习题1.2 D C B A 教材P9 习题1.2 答案不唯一,举出符合题意的一个子集即可. 教材P9 习题1.2 教材P9 习题1.2 A B x 0 1 2 a 【答案】 8 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2, 且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下: 含有两个元素:{1,2},含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有8个. 变式3:满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有_个. $