2.5一元二次方程根与系数的关系 同步训练题 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.5一元二次方程根与系数的关系 同步训练题 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．关于x的方程ax2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B．且a≠0 C． D．且a≠0 3．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c应该在（　　） A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 4．若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．若关于x的一元二次方程ax2+（2a﹣1）x﹣2＝0的两根相等，那么a等于（　　） A．﹣0.5 B．0.5 C．0.5或﹣0.5 D．﹣0.5或0 6．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（　　） A．3 B．4 C．13 D．14 7．下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有实数根的是（　　） A．x2+ax+1＝0 B．x2+ax﹣1＝0 C．x2+x+a＝0 D．x2+x﹣a＝0 8．下列说法错误的个数是（　　） ①关于x的方程ax＝b的解是； ②关于x的方程x2＝﹣a2+1无解； ③关于x的方程（a2+1）x＝b有唯一解； ④关于x的方程x4＝25的根是x＝±5． A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 10．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2 二．填空题 11．关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为﹣1，则另一个根为　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为　 　 ． 15．关于x的一元二次方程x2+（m2﹣9）x+m+1＝0的两个实数根互为相反数，则m的值是 　 　 ． 16．关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k+1＝0，如果方程的两个实数根为x1，x2，且，则k的值为　 　 ． 17．已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2m2+4n+5＝　 　 ． 18．若m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则（m+1）（n+1）的值为 　 　 ． 三．解答题 19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根； （2）若﹣1是此方程的一个根，求k的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β且α+2β＝2，求m的值． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2该方程的两个根，且（x1+1）（x2+1）＝7，求m的值． 22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，2x2﹣5x+2＝0是“　 　 倍根方程”； （2）若关于x的方程x2+6x+m＝0是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l1相交于点C（1，4）．若一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2），且点P（x1，x2）在△ABC的内部（不包含边界），求x1的取值范围． 23．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝ 　 　 ，α•β＝ 　 　 ； （2）若2，3是方程x2+px+q＝0的两根，求p，q的值； （3）已知两个不同的实数m、n满足m2+5m﹣3＝0．n2+5n﹣3＝0，求的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B A C B C D C 二．填空题 11．． 12．﹣1（答案不唯一）． 13．2． 14．5． 15．﹣3． 16．﹣2． 17．19． 18．1． 三．解答题 19．（1）证明：∵x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣1） ＝4k2﹣4k+1+8k+4 ＝4k2+4k+1+4 ＝（2k+1）2+4； ∵（2k+1）2≥0， ∴Δ＝（2k+1）2+4＞0； ∴无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根； （2）把x＝﹣1代入x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，得1+1﹣2k﹣2k﹣1＝0， 解得：． 20．（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣4x﹣3m2＝0， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3m2）＝12m2+16＞0， 所以此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两个实数根分别为α，β， 所以α+β＝4． 又因为α+2β＝2， 所以β＝﹣2． 将x＝﹣2代入方程得， 4+8﹣3m2＝0， 解得m＝±2． 21．解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2≥0 解得，； （2）∵x1、x2是方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根， ∴， 又（x1+1）（x2+1）＝7， 整理得，x1x2+x1+x2﹣6＝0， ∴m2+2（m﹣1）﹣6＝0， 整理得，m2+2m﹣8＝0， 解得，m＝﹣4或m＝2（不合题意，舍去）， ∴m的值为﹣4． 22．解：（1）由条件可知（2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得， ∵x2＝4x1， ∴2x2﹣5x+2＝0是“四倍根方程”； （2）可设这个方程的两个根分别为n，3n， ∴n+3n＝﹣6，n•3n＝m， ∴， ∴； （3）设直线BC解析式为y＝kx+b， 把B（﹣1，0），C（1，4）代入到y＝kx+b中得， ∴， ∴直线BC解析式为y＝2x+2； ∵一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2）， ∴x2＝5x1， ∴点P的坐标为（x1，5x1）， ∴点P在直线y＝5x上， 联立，解得， 联立，解得， 由条件可知． 23．解：（1）∵α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根， ∴，， 故答案为：，； （2）∵2，3是方程x2+px+q＝0的两根， ∴2+3＝﹣p，2×3＝q， 解得p＝﹣5，q＝6． （3）∵两个不同的实数m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0 ∴m≠0，n≠0，m，n可看作方程x2+5x﹣3＝0的两根， ∴m+n＝﹣5，mn＝﹣3． ∴ 即的值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/19 17:03:36；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $