2.5 一元二次方程的根与系数的关系 （课件）-2025--2026学年北师大版九年级数学上册

B·九年级上册 *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点） 学习目标 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 复习导入 探究一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空： 方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 x2 - 2x + 1 = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 1 1 2 -1 -1 1 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 归纳总结 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7. 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 1.不解方程，求方程两根的和与两根的积： （1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0. 解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1. Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 . 当堂练习 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 (2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = . 2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解:根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得 在初中数学学习中，因式分解是一个核心概念，学生需要学会包含。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解箱线图时，通常会强调文字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。时钟问题的教学重点应该放在如何实例化上。 5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵方程有实数根x1,x2 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形 课堂小结 $$