微专题强化练2 直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

微专题强化练(二)　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共52分 一、选择题 1．若直线l：ax＋y－2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2mx＋4＝0至少有一个交点，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 2．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2，0)，则|PA|的最大值为(　　) A． B．5＋ C．2 4．(多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 5．(多选题)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝3(a，b∈R)与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则下列结论错误的是(　　) A．a2＋b2＝4 B．四边形OAMB的面积为 C．a＋b的最小值为－ D．是定值 二、填空题 6．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝144，则的最小值为________． 7．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，C(－4，3)，动点P，Q满足＝＝2，则||的取值范围是________． 三、解答题 8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0． (1)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求m的值． (2)当m＝1时，由直线l：x－y＋4＝0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，试探究四边形PACB的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题强化练(二) 1．A　[将圆C的方程整理为(x－m)2＋y2＝m2－4，∴m2－4>0，解得m<－2或m>2．由圆C的标准方程可知圆心C(m，0)，半径r＝将直线l的方程整理为a(x－2)＋y＝0，则直线l恒过定点(2，0)．∵直线l与圆C至少有一个交点， ∴(2，0)在圆C内部或圆上，即4－4m＋4≤0，解得m≥2．综上可知，实数m的取值范围为(2，＋∞)．故选A．] 2．B　[将点(1，2)的坐标代入圆的方程x2＋y2－6x＝0，可得12＋22－6×1＝－1<0，所以点(1，2)在圆内．由垂径定理可知，过该点的直线被圆所截得的最短弦为与过该点的直径垂直的弦．如图，A(3，0)，B(1，2)，C为最短弦与圆的一个交点，圆心A到最短弦所在直线的距离|AB|＝因为圆A的半径为3，BC⊥AB，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得|BC|＝＝1，所以弦长的最小值为2．] 3．D　[由题意，得圆心C(－3，m)到直线4x＋3y＋1＝0的距离为 结合垂径定理，得＝，化简得|3m－11|＝5．因为m<3，故m＝2． 又|AC|＝， 半径为，所以|PA|的最大值为故选D．] 4．ACD　[由题意知直线AB：＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5，5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＋4<10，所以A项正确．因为－4<2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5，5)到点B的距离为，则|PB|＝；当切点在点P'的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝3，所以C，D项正确．故选ACD．] 5．ABC　[圆M的圆心M(a，b)，半径r＝，则△MAB为边长为的等边三角形． 由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，得△OAB中AB边上的高h＝， 所以S△OAB＝××， S△MAB＝×()2＝， 所以S四边形OAMB＝，故B错误． 由两圆相交可得＋1， 两圆方程相减可得直线AB的方程为 2ax＋2by－(a2＋b2－2)＝0， 由|AB|＝，可得O到直线AB的距离为d＝h＝，即(a2＋b2－2)2＝a2＋b2， 所以a2＋b2＝4或a2＋b2＝1，故A错误． 令a2＋b2＝4，因为2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以(a＋b)2≤8， 即－2≤a＋b≤2，当且仅当a＝b时取等号， 则a＋b的最小值为－2，故C错误． |·||·cos 60°＝××，故D正确．故选ABC．] 6．1　[因为(x＋5)2＋(y－12)2＝144，表示圆心为A(－5，12)，半径r＝12的圆， 而表示圆上的点B(x，y)与原点(0，0)的距离， 又|AO|＝＝13， 所以的最小值为|AO|－r＝13－12＝1．] 7．[6，14]　[设P(x，y)，则|PA|＝，|PB|＝， 因为＝2，所以＝2，即x2＋y2＝4，因此点P在以原点O为圆心，2为半径的圆上， 同理可得点Q也在以原点O为圆心，2为半径的圆上． 又因为，所以当P和Q重合，且C，O，P三点共线时，||取得最值， 因此||max＝2(|OC|＋2)＝14，||min＝2(|OC|－2)＝6．] 8．解：(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以5－m>0，即m<5， 方程x2＋y2－8x－12y＋36＝0可化为(x－4)2＋(y－6)2＝16，因为两圆外切，所以圆心距d＝＋4， 解得m＝4，符合题意，所以m＝4． (2)由题意可知四边形PACB的外接圆是以PC中点为圆心，为半径的圆，设P(a，a＋4)，则圆的方程为(x－a)(x－1)＋(y－a－4)(y－2)＝0， 整理得x2＋y2－(a＋1)x－(a＋6)y＋3a＋8＝0， 式子可化为x2＋y2－x－6y＋8－a(x＋y－3)＝0， 联立方程 整理得2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－， 所以外接圆恒过定点(1，2)和． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $