微专题强化练1 空间中的翻折问题、最值问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

微专题强化练(一)　空间中的翻折问题、最值问题 说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共55分 一、选择题 1．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①AN⊥GC，②CF与EN所成的角为60°，③BD∥MN ，④二面角E-BC-N的大小为45°，其中正确的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 2．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于点E.现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为(　　) A.45°　　 B．90°　　 C．135°　　 D．180° 3．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内(包含边界)的动点，且AP⊥BD1.记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为(　　) A． B． C．2 D． 4．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足＝λ时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　) A． B． C． D． 5．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　) A． B． C． D． ，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]， 则PQ＝ ＝ ＝， 当且仅当λ＝，μ＝时， 线段PQ的长度取得最小值，为.] 二、填空题 6．如图(1)，在等腰△ABC中， ∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是 AC，AB上的点，CD＝BE＝， O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′-BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值等于__________． 7．设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱C1C上滑动，则点B1到平面BMD1的距离的最大值是__________． 8．已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中，AB＝AD＝DE＝CD＝1，CD⊥AE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设＝2＝μ，若AP∥平面DBN，则实数μ的值为__________． 三、解答题 9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝t，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若t＝1，求平面ADF与平面BDF所成角； (3)若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题强化练(一) 1．C　[画出正方体的直观图，如图所示，设正方体边长为2，以分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A，N，G，C，所以＝0，所以AN⊥GC，故①正确．由于EN∥AC，所以CF与EN所成的角为∠FCA，而在△FAC中，AF＝FC＝CA，也即△FAC是等边三角形，故∠FCA＝60°，所以②正确．由于EN∥AC，而AC与BD相交，故BD，MN不平行，③错误．由于EB⊥BC，FB⊥BC，所以∠EBF即是二面角E⁃BC⁃N的平面角．△EBF是等腰直角三角形，所以∠EBF＝45°，故④正确． 综上所述，正确的命题个数为3个，故选C．] 2．B　[建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知△ABE为等腰直角三角形． 设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝ 设BC＝DE＝2a，则E(0，0，0)，A(1，0，1)，N(1，a，0)，D(0，2a，0)，M， 所以＝(－1，0，－1)， 所以·(－1，0，－1)＝0．故⊥， 从而MN与AE所成的角为90°． 故选B．] 3．B　[以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz(图略)．设P(a，3，c)(0≤a≤3，0≤c≤4)，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，4)，所以＝(a－3，3，c)，＝(－3，－3，4)，平面BCC1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)．∵AP⊥BD1，∴＝－3(a－3)－9＋4c＝0，解得c＝a， ∴∵AP与平面BCC1B1所成的角为θ，∴sin θ＝|cos<，n>|＝∵(－6)2－4××18<0，∴当a＝时，sin θ取得最大值，此时cos θ＝， ∴tan θ的最大值为] 4．D　[由题意，可构建以A为原点，射线AB，AD，AP为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系， ∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)， 则＝(4，0，－2)，＝(4，4，－4)，＝(4(λ－1)，0，－2)，＝(4，－4，2)． 若m＝(x，y，z)是平面DEF一个法向量， 则 可得m＝为平面DEF的一个法向量． 若n＝(a，b，c)是平面PCE一个法向量， 则可得n＝(1，1，2)， ∴由平面DEF⊥平面PCE，有＋4＝0，解得λ＝故选D．] 5．C　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)．设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]， 则PQ＝ ＝ ＝， 当且仅当λ＝，μ＝时， 线段PQ的长度取得最小值，为] 6　[过D作线段BC的垂线，垂足为F(图略)，则DF⊥平面A'BC，所以∠DA'F为A'D与平面A'BC所成角．又因为DF＝＝1，A'D＝AD＝2， 所以sin∠DA'F＝] 7a　[如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D1(0，0，a)，B(a，a，0)，B1(a，a，a)．设M(0，a，b)(0≤b≤a)，则＝(0，0，a)，＝(－a，0，b)，＝(－a，－a，a)．设平面BMD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝b，则y＝a－b，z＝a，得n＝(b，a－b，a)， ∴点B1到平面BMD1的距离为 d＝， 当b＝a时，d取最大值，即dmax＝a．] 8．3　[易得CD⊥DE，CD⊥DA，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD， 又AD⊂平面ABCD，则AD⊥平面CDEF． 又DE⊂平面CDEF，则AD⊥DE，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D，B(1，1，0)，A，E，C 又， 同理可得 设平面DBN的一个法向量为n＝， 则 令y＝1，则n＝(－1，1，－4)为平面DBN的一个法向量． 又， 又AP∥平面DBN，则·n＝＝0，解得μ＝3．] 9．(1)证明：设AC∩BD＝O，连接EO． 因为矩形ACEF中M是线段EF的中点，O是线段AC的中点， 所以EM∥AO，EM＝AO， 所以OAME为平行四边形， 所以AM∥EO． 又AM⊄平面BDE，EO⊂平面BDE， 所以AM∥平面BDE． (2)解：由题意，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，因为平面ABCD∩平面ACEF＝CA，EC⊥AC， 所以EC⊥平面ABCD， 所以以CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 若t＝1，则B，D，F， 则 可知平面ADF的一个法向量为n＝(1，0，0)， 设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则由 不妨令x＝1，则y＝1，z＝－， 即m＝为平面BDF的一个法向量． 设平面ADF与平面BDF所成角为θ， 因为θ为锐角，所以cos θ＝， 所以平面ADF与平面BDF所成角的大小为 (3)A，C，E，F(，t)，则 因为点P在线段AC上，设，其中λ∈[0，1]， 则＝(λ，λ，0)，从而P点坐标为(λ，λ，0)， 于是，而， 则由PF⊥BE可知＝0， 即－2＋t2＝0， 所以t2＝2≤2，解得t≤，故t的最大值为 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $