课时分层作业23 抛物线的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(二十三)　抛物线的标准方程 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分 一、选择题 1．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A．双曲线 　 B．椭圆 C．圆 　 D．抛物线 2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A． 　 B．－ C．8 　 D．－8 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 　 B．6 C．5 　 D．4 4．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(　　) A．a 　 B．2a C．5a 　 D．6a 5．(多选题)已知抛物线y2＝mx(m>0)的焦点与双曲线x2－＝1的一个焦点重合，点P(2，y0)在抛物线上，则下列说法错误的是(　　) A．双曲线的离心率为2 B．m＝8 C．双曲线的渐近线为y＝±3x D．点P到抛物线焦点的距离为6 二、填空题 6．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝________． 7．过原点的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为_________． 8．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程为__________，焦点坐标为_________． 三、解答题 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 10．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l．设l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF交PF于M，作QN⊥EP交线段EP的延长线于N，则(　　) A．|PE|＝|PF| 　 B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| 　 D．|PN|＝|KF| 11．已知P为抛物线y2＝－6x上一个动点，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 12．已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0)的左右焦点，直线l过F1与抛物线x2＝8y的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则|F1F2|＝________． 13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l与x轴交于点A，点B，P在C上，△ABF是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为________；的最小值为________． 14．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 15．已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点． (1)求|AM|＋|AN|的值． (2)是否存在这样的a，使2|AP|＝|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十三) 1．D　[连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．] 2．B　[由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－．] 3．D　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以M到准线x＝－2的距离为|MF|． 又M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4．故选D．] 4．C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可．∵B地在A地东偏北30°方向2 km处， ∴B到点A的水平距离为3(km)， ∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)， 那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．] 5．CD　[双曲线x2－＝1的焦点坐标为(±2，0)，离心率e＝＝2，A正确； y2＝mx(m>0)的焦点坐标为，0，故＝2，解得m＝8，B正确； 双曲线渐近线方程为y＝±x，C错误； 点P(2，y0)在抛物线上，故点P到抛物线焦点的距离为2＋2＝4，故D错误，故选CD．] 6.6　[ 如图所示，连接AN．因为A，F，M三点共线，所以AM为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6．由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6．] 7.6　[易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y＝kx，k>0，所以，解得k＝ 所以|OP|＝＝8，解得p＝6． 当k＝－时，同理可得p＝6．] 8．y2＝x　 [ 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程， 得302＝2p·40，解得p＝， 故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．] 9．解： (法一)如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． (法二)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故 解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 10． ABD　[如图，由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故A正确；因为PQ是∠EPF的外角平分线，所以∠FPQ＝∠NPQ，又EN∥KQ，所以∠NPQ＝∠PQF，所以∠FPQ＝∠PQF，所以|PF|＝|QF|，故B正确；若|PN|＝|MF|，则有△FMQ≌△PNQ，从而有|FQ|＝|PQ|，所以∠PFQ＝，此时P为定点，与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾，故C不正确；因为四边形KQNE是矩形，所以|EN|＝|KQ|，又|PE|＝|PF|＝|QF|，所以|PN|＝|KF|，故D正确．故选ABD．] 11．B　[由于P为抛物线y2＝－6x上一个动点，y2＝－6x的焦点坐标为，准线为x＝，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，x2＋(y－6)2＝的圆心为(0，6)，半径r＝，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，P到y轴距离为P到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为，故选B．] 12.4　[已知双曲线的左焦点F1(－c，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x， 抛物线x2＝8y的焦点(0，2)．因为直线l过F1(－c，0)与抛物线的焦点(0，2)且与双曲线的一条渐近线平行，所以．又c2＝a2＋2，解得a＝，c＝2， 所以|F1F2|＝2c＝4．] 13．y2＝4x　　　[由已知可得∠AFB为直角，故·p·p＝2，解得p＝2， 所以C的方程为y2＝4x；由对称性，不妨设P(x0，2)，因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，A(－1，0)，|PF|＝x0＋1，|PA|＝ ＝， 所以 ＝， 当且仅当x0＝1时取等号， 所以．] 14．解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋， 由题意可知，0＝64a＋， 所以a＝－， 所以曲线方程为y＝－． (2)设变轨点为C(x，y)， 联立 得4y2－7y－36＝0， 所以y＝4或y＝－(不合题意，舍去)． 由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)， 所以C点的坐标为(6，4)， 此时|AC|＝2，|BC|＝4． 故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令． 15．解：(1)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝xM＋xN＋2a．又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2(4－a)， ∴|AM|＋|AN|＝8． (2)不存在．假设存在这样的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|．过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'(图略)． 根据梯形中位线定理及抛物线的定义得，|AM|＋|AN|＝2|PP'|，∴|AP|＝|PP'|．由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $