第2章 章末综合提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

章末综合测评(二)　平面解析几何 满分：150分　时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x＋y－1＝0的倾斜角为(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150° D　[直线x＋y－1＝0的斜率k＝－， 设其倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝－． ∴θ＝150°．故选D．] 2．曲线＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．1＜m＜2 　 B．m＜1或m＞2 C．m＜1 　 D．m＞2 B　[由题意，曲线＝1表示双曲线， 则满足(1－m)(m－2)＜0，即(m－1)(m－2)＞0，解得m＜1或m＞2．] 3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝4与抛物线y2＝ax(a＞0)的准线相切，则a＝(　　) A． 　 B． C．4 　 D．8 C　[因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，抛物线y2＝ax(a＞0)的准线为x＝，所以＝2，所以a＝4，故选C．] 4．圆心在y轴上，半径为5，且过点(－5，8)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－8)2＝25 B．x2＋(y＋8)2＝25 C．(x＋5)2＋(y－8)2＝25 D．(x－8)2＋y2＝25 A　[设圆心坐标为(0，b)，则由题意得圆的方程为x2＋(y－b)2＝25．又点(－5，8)在圆上，所以(－5)2＋(8－b)2＝25，解得b＝8．故圆的方程为x2＋(y－8)2＝25．] 5．已知直线l过抛物线x2＝4y的焦点，且平分圆x2＋y2－2x－1＝0，则直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋1 　 B．y＝1 C．y＝x＋1 　 D．x＝0 A　[抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)，由于直线l平分圆，故直线l经过圆心(1，0)，所以可得直线l经过点(0，1)和(1，0)，故斜率k＝＝－1，由斜截式可得方程为y＝－x＋1，故选A．] 6．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·|PF2|＝(　　) A．1 　 B．2 C．4 　 D．5 B　[(法一)因为＝0，所以PF1⊥PF2，则＝b2tan ，得＝1×tan ， 所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B． (法二)因为＝0，所以PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B．] 7．著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5或1 D　[设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，即点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4，表示圆，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2，0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5，故选D．] 8．在平面直角坐标系xxOy中，双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D．2 C　[抛物线的焦点F的坐标为， 设OA所在的直线方程为y＝x， OB所在的直线方程为y＝－x． 由得 ∴点A的坐标为． ∵F是△OAB的垂心，∴kOB·kAF＝－1， ∴－＝－1，∴． ∴e2＝，∴e＝．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数x，y满足方程x2＋y2－2x－4y＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值为2＋ B．(x＋2)2＋(y＋1)2的最大值为22＋12 C．x＋y的最大值为3＋2 D．4x－3y的最大值为8 BCD　[由x2＋y2－2x－4y＋1＝0，知(x－1)2＋(y－2)2＝4， 表示圆心为M(1，2)，半径为r＝2的圆． 对于A选项，x2＋y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和，其最大值为(|OM|＋r)2＝2，故A错误； 对于B选项，(x＋2)2＋(y＋1)2的几何意义为圆上的点与点(－2，－1)距离的平方和，其最大值为2＝22＋12，故B正确； 对于C选项，设x＋y＝k，则直线x＋y－k＝0与圆有公共点， 所以≤2，解得3－2， 所以x＋y的最大值为3＋2，故C正确； 对于D选项，设4x－3y＝t，则直线4x－3y－t＝0与圆有公共点， 所以≤2，解得－12≤t≤8． 所以4x－3y的最大值为8，故D正确． 故选BCD．] 10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， ⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线l和⊙A相切，A选项正确； B选项，P，A，B三点共线时， 即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得xP＝4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|＝，B选项正确； C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)， 当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝2，不满足kPAkAB＝－1； 当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝6， 不满足kPAkAB＝－1． 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，(法一)利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，F(1，0)， 于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－， 于是AF的中垂线方程为：y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确． (法二)设点直接求解 设P＝|PB|， 根据两点间的距离公式，得＋1，整理得t2－16t＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确． 故选ABD．] 11．已知双曲线C过点，且渐近线方程为y＝，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex-2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点 AC　[对于选项A，由双曲线C的渐近线方程y＝±x，可得y2＝x2，从而设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，又由双曲线C过点，所以×32－2＝λ，解得λ＝1，故正确； 对于选项B，由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，所以离心率e＝，故错误； 对于选项C，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，满足y＝ex-2－1，故正确； 对于选项D，联立 整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝2－4×1×2＝0，且直线斜率大于渐近线斜率，知直线与双曲线C只有一个公共点，故错误．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，则反射光线所在直线的方程为________________________________． x－y＋3＝0　[由得 故入射光线与反射轴的交点为A(1，4)，在入射光线上再取一点B(0，－3)， 则点B关于反射轴2x－y＋2＝0的对称点C(m，n)在反射光线上，解得m＝－4，n＝－1，故C(－4，－1)． 根据A，C两点的坐标，求得反射光线所在直线的方程为y－4＝(x－1)，即x－y＋3＝0．] 13．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________． ＝1　[由椭圆的定义，可知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，所以c＝1．由a2＝b2＋c2，得b＝，所以椭圆C的方程为＝1．] 14．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，则C的离心率为________． 　[(法一)由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为， 所以即 所以A． 所以＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2． 因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得，所以e2＝1＋，所以e＝． (法二)由法一得A＝4c2， 所以|AF1|＝ ＝， |AF2|＝ ＝， 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a， 所以双曲线的离心率e＝． (法三)由在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得＝． 设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则＝＝＝＝＝m， 则|F1F2|＝m＝2c， 即c＝m，所以e＝．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0．① 又直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．② 由①②得 (2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在，且＝1－a．③ 又坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b．④ 由③④得或 16．(本小题满分15分)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． [解]　(1)由题意得 解得 所以e＝． (2)由(1)知C：＝1．kAP＝，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， |AP|＝， 设点B到直线AP的距离为d， 则△ABP的面积为S＝·d＝9，解得d＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位，此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0， 则，解得D＝6或D＝－18． 当D＝6时，联立 解得或 即B(0，－3)或， 当B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0． 当D＝－18时，联立 得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0． 17．(本小题满分15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且短轴长等于双曲线：x2－＝1的实轴长． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上关于原点O对称的两点，在圆O：x2＋y2＝上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求直线AB的方程． [解]　(1)由椭圆C的离心率为可得，． 对双曲线x2－＝1，其实轴长为2，故可得2b＝2， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3， 则椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)根据题意，|OP|2＝＝2＝． 当直线AB的斜率不存在时，此时|AB|＝2b＝2不满足题意， 故直线AB的斜率存在，设其为k，则直线AB方程为y＝kx， 联立椭圆方程＋y2＝1可得，(4k2＋1)x2－4＝0， 根据题意，显然有Δ>0，设A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝0，x1x2＝－， |AB|2＝(1＋k2)×， 解得k＝±1， 故直线AB的方程为y＝x或y＝－x． 18．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [解]　(1)由题设得，解得a2＝6，b2＝3． 所以C的方程为＝1． (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0． 于是x1＋x2＝－．① 由AM⊥AN知＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0． 将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0． 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0． 因为A(2，1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1． 于是MN的方程为y＝k－(k≠1)． 所以直线MN过点P． 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)． 由＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)·(－y1－1)＝0． 又＝1，可得－8x1＋4＝0． 解得x1＝2(舍去)，x1＝． 此时直线MN过点P． 令Q为AP的中点，即Q． 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故|DQ|＝＝． 若D与P重合，则|DQ|＝． 综上，存在点Q为定值． 19．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． [解]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A在椭圆C上， 所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝， 所以a＝，b2＝a2－c2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)不存在，理由：假设这样的直线存在， 设直线l的方程为y＝2x＋t， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 由消去x， 得9y2－2ty＋t2－8＝0， 所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0， 故y0＝且－3<t<3， 由，知四边形PMQN为平行四边形， 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点， 所以y0＝，得y4＝， 又－3<t<3，可得－<y4<－1， 所以点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $