课时分层作业15 圆的一般方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(十五) 1．D　[原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0， 所以所以方程表示点(－a，－b)．故选D．] 2．A　[因为x2＋y2－2x－a＝0表示圆，则(－2)2＋02－4×(－a)>0，即a>－1．a>0能推出a>－1，反之不能．故选A．] 3．C　[若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点， 则有2m2－6m＋4＝0，且4(m－1)2＋4(m－1)2－4(2m2－6m＋4)>0，解得m＝2．] 4．C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝，所以a＝2或0，故选C．] 5．C　[因为方程x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)表示圆，所以22＋(－2m)2－4×4m>0，即m2－4m＋1>0，解得m>2＋又点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，所以22＋32＋2×2－2m×3＋4m>0，解得m<，故实数m的取值范围是(－∞，2－)∪故选C．] 6．(1，2)　[根据圆的一般方程可得圆的圆心坐标为，即(1，2)．] 7． (－，－1)∪(1，)　[因为M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0外，即在圆x2＋(y－t)2＝t2－1外， 所以可得t2－1>0，且1＋t2－2t2＋1>0，即1<t2<2，解得(－，－1)∪(1，)．] 8．5　[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．] 9．解：(1)设BC的中点为D(x，y)， 所以x＝＝1，y＝＝－2， 则D(1，－2)， 所以直线AD的斜率k＝，则直线AD的方程为y＝－(x＋3)，整理成一般式为x＋2y＋3＝0． (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 所以圆M的方程为x2＋y2＋x＋y－6＝0． 10．ABC　[表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心到(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5＋4＝9，A正确； 因为圆心在直线y＝－2x上，所以B正确； 由题知，得D＝－4，E＝8，F＝4，C正确； 由题知圆心纵坐标绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误． 故选ABC．] 11．ABC　[原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2． 由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上， 所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－≤， 所以ab的取值范围是] 12．－2　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0． 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2．] 13．－3　8π　[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆的方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根． 由根与系数的关系及判别式得 又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1， 即＝－1， 即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m－2＋1＝－4， 所以m＝－3，符合m<1的条件． r＝， 所以圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π．] 14．解：(1)由题图可知O(0，0)，A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0． (2)易知D(－20，－20)，且该船航线所在直线l的斜率为1，故直线l：x－y＋20－20＝0，由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10，故该船有触礁的危险． 15．解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，与x2＋2x＋b＝0是同一方程，所以D＝2，F＝b， 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0．因为二次函数的图象过点(0，b)，所以b2＋Eb＋F＝0， 所以E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0， 当b＝－1时，圆C的方程为x2＋y2＋2x－1＝0． (2)由(1)知，圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0，可化为x2＋y2＋2x－y－(y－1)b＝0， 由 解得 故圆C经过定点(0，1)，(－2，1)． 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十五)　圆的一般方程 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分 一、选择题 1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 2．“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1 B．－2或－1 C．2 D．1 4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B．或 C．2或0 D．－2或0 5．若点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，2－ D．(2＋，＋∞) 二、填空题 6．(教材P109练习A T1改编)已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为__________． 7．已知点M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0的外部，则实数t的取值范围为________． 8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别为A，B，C，经过这三个点的圆记为M． (1)求BC边的中线所在直线的一般式方程； (2)求圆M的一般方程． 10．(多选题)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值为9 B．圆关于直线y＝－2x对称 C．F＝4 D．圆与y轴相切 11．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1，2) B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2 C．a＋b＝1 D．ab的取值范围是 12．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． 13．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________． 14．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程． (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 15．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f (x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． (1)若b＝－1，求圆C的方程； (2)当b<1，且b≠0时，圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $