课时分层作业13 点到直线的距离(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(十三) 1．B　[|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝] 2．B　[由已知(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，故其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4．] 3．BC　[当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立． 当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0． 因为点A(－2，2)，B(4，－2)到直线的距离相等， 所以， 解得k＝－或k＝2． 当k＝－时，直线l的方程为y－4＝－(x－3)，整理得2x＋3y－18＝0； 当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0． 综上，直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0．故选BC．] 4．C　[直线l：kx－y－3k＋1＝0，即k(x－3)－y＋1＝0， 令即直线l恒过定点(3，1)， 故当k变化时，O(0，0)到直线l的最大距离为故选C．] 5．BD　[直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0． 设l到l1的距离为d1，l到l2的距离为d2，l的方程为4x＋6y＋c＝0(c≠－2且c≠－9)，则d1＝，d2＝ 依题意得，即d2＝2d1， 所以|c＋9|＝2|c＋2|， 解得c＝5或c＝－ 因此，直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0．] 6　[|PQ|的最小值即为两平行直线的距离d＝] 7．4　　[可知m≠0，由两直线平行可得≠，解得m＝4． 将l1化为2x＋4y－6＝0，则l1与l2的距离为] 8．4　[由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0． 因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝ 设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．] 9．解：(1)由于l1⊥l2，所以1×a＋×2＝0，a＝－ (2)当a＝0时，两条直线的方程分别为x＋y－1＝0和y＋3＝0，此时两直线不平行，不符合题意． 当a≠0时，由于l1∥l2，所以≠，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 当a＝1时，两条直线的方程分别为x＋2y＝0和x＋2y＋6＝0， l1，l2之间的距离为 10．BD　[因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以所以kb＝2，故A错误；此时直线方程为y＝x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直线y＝kx＋b在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式可知，C错误，D正确，故选BD．] 11．A　[设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，因为AB的中点为P(x0，y0)， 所以B(2x0－x1，2y0－y1)，因为A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上， 所以x1＋2y1－1＝0，2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0， 所以2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0． 因为y0＝kx0，所以x0＋2kx0＋1＝0， 即 x0＝－ 又y0>x0＋2，所以kx0>x0＋2， 即(k－1)x0>2， 所以(k－1)>2，即 <0，解得－，故选A．] 12．(－1，2)　y＝x　[由2mx＋(m－2)y＋4＝0， 得(2x＋y)m＋(4－2y)＝0． 由所以l1恒过定点(－1，2)． 设直线l2的方程为：2mx＋(m－2)y＋C＝0， 因为l2过原点，所以C＝0，所以l2：2mx＋(m－2)y＝0， 则l1，l2之间的距离d＝＝ 当m＝时，(5m2－4m＋4)min＝， 所以dmax＝，所以l2的方程为y＝x．] 13　[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)， 则|PQ|＝， 于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值． 如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即 ＝ 当PQ⊥AB时， |PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0． 则Q点到直线AB的距离 d＝， 所以≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13．] 14．解：(1)∵AC⊥BH，BH的方程为x－3y＋7＝0， 不妨设直线AC的方程为3x＋y＋m＝0． 将A代入得9＋4＋m＝0，解得m＝－13， ∴直线AC的方程为3x＋y－13＝0． 联立直线AC，CD的方程， 即 解得点C的坐标为 (2)设B，则D∵点B在BH上，点D在CD上， 所以 解得B 直线AC的方程为3x＋y－13＝0， 则B 又A(3，4)，C(4，1)， 则， ∴S△ABC＝××＝7． 15．BC　[f(x)＝可理解为动点P(x，0)到 两个定点A(0，1)，B(1，0)的距离和．如图，连接PA，PB，AB，由三角形三边关系可得|PA|＋|PB|≥|AB|＝，当点P和点B重合时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值易知|PA|＋|PB|没有最大值．故选BC．] 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十三)　点到直线的距离 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共97分 一、选择题 1．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　) A．　 B．2　　　 C．　　　 D．2 2．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 3．(多选题)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则直线l的方程可能是(　　) A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0 C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0 4．已知直线l：kx－y－3k＋1＝0，当k变化时，O(0，0)到直线l的最大距离为(　　) A．2 C． D．2 5．(多选题)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线的方程可以为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．2x＋3y－5＝0 D．12x＋18y－13＝0 二、填空题 6．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上一点，则|PQ|的最小值为________． 7．直线l1：x＋2y－3＝0与l2：2x＋my－1＝0平行，则m＝________，l1与l2的距离为________． 8．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为__________． 三、解答题 9．已知两条直线l1：x＋(1＋a)y＋a－1＝0，l2：ax＋2y＋6＝0，a∈R． (1)若l1⊥l2，求a的值； (2)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离． 10．(多选题)已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，直线m过点M，则(　　) A．kb＝－2 B．l在x轴上的截距是－8 C．点M到直线l的距离为1 D．当m∥l时，两直线间的距离为 11．已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为(　　) A． C． 12．直线l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________． 13．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1)，则(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(3，4)，AB边上中线CD所在直线方程为2x＋3y－11＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－3y＋7＝0，求： (1)顶点C的坐标； (2)求△ABC的面积． 15．(多选题)某同学在研究函数f (x)＝＋|x－1|的最值时，联想到两点之间的距离公式，从而将函数变形为f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的最小值为 B．函数f (x)的最小值为 C．函数f (x)没有最大值 D．函数f (x)有最大值 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $