2.3.4 圆与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

2.3.4　圆与圆的位置关系 学习 任务 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(直观想象) 2．了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(数学运算) 3．掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(数学运算) 如图为某地拍到的日环食全过程． 日环食变化这一过程也可以用两个圆来表示． 根据上图，结合平面几何的相关知识，思考圆与圆的位置关系有几种，能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系． 知识点1　圆与圆的位置关系及判断 位置关系 相离 相交 相切 外离 内含 外切 内切 图示 交点个数 0 0 2 1 1 判定 方法 几何法 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| 代数法 Δ＜0 Δ＜0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＝0 说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式． 知识点2　两圆的公切线 同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线．当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同．具体情况如下表： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 切线图示 切线条数 4 3 2 1 0 当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ [提示]　当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)错误，还可能是内切． (2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值． (3)错误，在相交的情况下才是． 2．圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．外离　　 C．外切　　 D．内含 B　[根据题意，可知圆A的半径r1＝2， 圆B的半径r2＝2，圆A与圆B的圆心距d＝＝5＞4， 即d＞r1＋r2，故两圆外离．] 3．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．1条 B　[因为圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝1， 圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4， 所以圆心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，公切线的条数为3．] 类型1　两圆位置关系的判定及应用 【例1】　【链接教材P119例1】 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时： (1)圆C1和圆C2外切？ (2)圆C1与圆C2内含？ [思路导引]　→→ [解]　把圆C1、圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2． (1)如果圆C1与圆C2外切，则＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2． (2)如果圆C1与圆C2内含，则＜3－2，即m2＋3m＋2＜0，由函数t(m)＝m2＋3m＋2的图象可得－2＜m＜－1． 【教材原题·P119例1】 【例1】　分别判断下列两个圆的位置关系： (1)C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2； (2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0． [解]　(1)由方程可知圆C1的圆心为(1，0)，半径r1＝2；圆C2的圆心为(2，－1)，半径r2＝． 因此两圆的圆心距d＝＝， 又因为2－<<2＋，所以r1－r2<d<r1＋r2，从而两个圆相交． (2)将两圆的方程化为标准方程，分别为x2＋(y－1)2＝12，(x－)2＋y2＝32， 由此可知圆C1的圆心为(0，1)，半径r1＝1；圆C2的圆心为(，0)，半径r2＝3． 因此两圆的圆心距d＝＝2， 又因为3－1＝2，所以r2－r1＝d，从而可知两圆内切． 　关于圆与圆位置关系的判断 (1)代数法：当两个圆的一般方程比较容易消元，可以消元后利用Δ判断方程根的个数，进而判断两圆的位置关系； (2)几何法：判断圆与圆位置关系的主要方法，利用圆心距和半径的关系进行判断． [跟进训练] 1．(1)圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．外离　 B．相交　　　 C．外切　　　 D．内含 (2)已知圆O1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆O2的方程为x2＋(y－b＋1)2＝1，其中a，b∈R，那么这两个圆的位置关系不可能为(　　) A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 (3)已知圆C1：x2＋(y－a2)2＝a4的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 (1)B　(2)C　(3)B　[(1)圆C1的标准方程是(x＋1)2＋(y－3)2＝36， 圆心是C1(－1，3)，半径是r1＝6， 圆C2的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝9， 圆心是C2(2，－1)，半径是r2＝3， 所以两个圆心的距离是|C1C2|＝＝5， 所以3<|C1C2|<9， 即|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相交． (2)由两圆的标准方程可得O1(a，b)，r1＝2， O2(0，b－1)，r2＝1，则|O1O2|＝≥1＝r1－r2所以两圆不可能内含． (3)圆C1：x2＋(y－a2)2＝a4的圆心为(0，a2)，半径为a2．圆心到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝2，解得a2＝2． 所以圆C1：x2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(0，2)，半径为r1＝2， 圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为C2(1，2)，半径r2＝1， 圆心距为＝1＝r1－r2， 所以两圆内切．] 类型2　两圆相交的有关问题 【例2】　已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长． [解]　(法一)两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，此即为两圆相交弦所在直线AB的方程． 由解得或 所以A，B的坐标分别为(－2，6)，(4，－2)． 所以|AB|＝＝10． 即弦AB的长为10． (法二)由法一得直线AB的方程为4x＋3y－10＝0． 圆心C1(5，5)到直线AB的距离为d＝＝5， 而圆C1的半径为r＝5． 由圆的性质可知|AB|＝2＝2＝10．即弦AB的长为10． 　(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． [跟进训练] 2．(1)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______________． (2)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________． (1)3x－y－9＝0　(2)－9或11　[(1)两圆的方程相减得AB的方程为x＋3y＝0，圆O1的圆心为(2，－3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0． (2)圆x2＋y2＝1的圆心为M(0，0)，半径为r＝1． 由x2＋y2－6x－8y－m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝m＋25，则圆x2＋y2－6x－8y－m＝0的圆心为N(3，4)，半径为R＝． 因为两圆相切，若两圆外切，则有|MN|＝R＋r， 即5＝＋1，解得m＝－9． 若两圆内切，则有|MN|＝R－r或|MN|＝r－R， 即5＝－1或5＝1－(舍)，解得m＝11．综上，m的值为－9或11．] 类型3　利用圆与圆的位置关系求圆的方程 【例3】　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． [解]　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1． ① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝， ② ＝r． ③ 解由①②③组成的方程组得 a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36． [母题探究] 1．(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ [解]　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为 (a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4． 2．(变条件，变结论)将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．” [解]　圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1，0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝．因为两圆相外切， 所以＝1＋，解得m＝16． 　处理两圆相切问题的步骤 (1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． [跟进训练] 3．已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，则圆C的方程为________． (x－2)2＋(y－1)2＝4　[设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0．将圆C与圆M的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0．因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4． 故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．] 1．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则两圆的位置关系为(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 B　[由题意知r1＋r2＝6(两圆圆心距)， 所以两圆外切．] 2．(教材P120练习B T4改编)圆C1：x2＋y2－2x－3＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0的公共弦所在直线的方程为(　　) A．3x＋y＋1＝0 B．3x－y＋1＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0 D　[将两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程为3x－y＋2＝0．] 3．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切线条数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[两圆圆心分别为(0，2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝＝，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|两圆相交．故两圆有2条公切线，故选B．] 4．已知两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________． 3　[分析题意，可知AB的中点在直线x－y＋c＝0上，所以－1＋c＝0，所以m＋2c＝1．又直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， 所以－1＝，所以m＝5，所以c＝－2，所以m＋c＝3．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何用几何法判断圆与圆的位置关系？ [提示]　(1)将两圆的方程化为标准方程． (2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2． (3)求两圆的圆心距d． (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系． 2．如何求两圆的公共弦长？ [提示]　(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 课时分层作业(十七)　圆与圆的位置关系 一、选择题 1．(教材P120练习A T2改编)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 　　 C．相切　　 D．内含 B　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为2，圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心坐标为(1，－2)，半径为3，两圆的圆心距为＝，半径和为5，半径差的绝对值为1，因为1＜＜5，所以两圆相交．] 2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 B　[由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2．圆M与圆N的圆心距|MN|＝，圆M的半径R＝2，圆N的半径r＝1，由R－r＜|MN|＜R＋r得两圆相交．] 3．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．m<1 B．m>121 C．1≤m≤121 D．1<m<121 C　[圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0，0)，半径r1＝；圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3，4)，半径r2＝6． 因为圆C1与圆C2有公共点，所以|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2， 即|－6|≤＋6， 所以解得1≤m≤121．] 4．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D　[由圆x2＋y2＝4，得到圆心O坐标为(0，0)，所以△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P(4，2)，所以外接圆的直径为|OP|＝＝2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是，即(2，1)，则△ABP的外接圆方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5．] 5．(多选题)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　) A．|PQ|的最小值为3 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为－ D．两个圆相交 ABC　[根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝＝5>R＋r，故两圆外离，故D错误；则|PQ|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A，B正确；对于C，两个圆心所在的直线斜率k＝＝－，故C正确．故选ABC． ] 二、填空题 6．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为__________． x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4， 所以圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝2．所以切线长为＝4，所以P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16． 由 得x＋2y－8＝0．这就是PQ所在直线的方程．] 7．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________． y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出一个即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4， 两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， 当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)， O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋， 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0， 由题意解得y＝x－， 当切线为n时，易知切线方程为x＝－1． 故所求方程为y＝－x＋或y＝x－或x＝－1．] 8．已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝______，b＝__________________． 　－　[(法一)因为直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－． (法二)因为直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2，0)，所以2k＋b＝0．设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝，又k＞0，所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－．] 三、解答题 9．已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：x2＋y2－6x－8y＋2a＋5＝0． (1)若圆O与圆C相切，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，直线x＋y－3＝0与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长． [解]　(1)圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为r1＝1； 对于圆C，(－6)2＋(－8)2－4(2a＋5)＝80－8a＞0，a＜10， 圆心为C(3，4)，半径r2＝＝，|OC|＝＝5． 当圆O与圆C外切时，|OC|＝r1＋r2，5＝1＋，a＝2； 当圆O与圆C内切时，依题意可知|OC|＝r2－r1，5＝－1，a＝－8． (2)当a＝2时，圆C的圆心为C(3，4)，半径r2＝4， C(3，4)到直线x＋y－3＝0的距离为＝2，所以|AB|＝2＝4． 当a＝－8时，圆C的圆心为C(3，4)，半径r2＝6， C(3，4)到直线x＋y－3＝0的距离为＝2，所以|AB|＝2＝4． 10．(多选题)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．两圆的圆心距|O1O2|＝2 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ BD　[由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O1：(x－1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y－1)2＝2， 则圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O2的圆心坐标为(0，1)，半径为． 对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|＝＝，故A错误； 对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确； 对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误； 对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确．故选BD．] 11．(多选题)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝2，M，N分别为圆C1，C2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．圆C1与圆C2相切 B．圆心C1，C2到直线l的距离相等 C．|MN|的最小值为2 D．|PM|的最小值为 BD　[对于A选项，圆C1的圆心为C1(－1，0)，半径为r1＝，圆C2的圆心为C2(2，3)，半径为r2＝， 因为|C1C2|＝＝3＞r1＋r2，故两圆外离，A错误； 对于B选项，圆心C1到直线l的距离为d1＝＝， 圆心C2到直线l的距离d2＝＝，B正确； 对于C选项，|MN|min＝|C1C2|－r1－r2＝，C错误； 对于D选项，因为d1＞r1，则直线l与圆C1相离，则|PM|min＝d1－r1＝，D正确．故选BD．] 12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 　[圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，即≤2，解得0≤k≤．所以kmax＝． ] 13．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________． ±5　4　[如图所示，在Rt△OO1A中， 由已知条件知|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝＝5，所以当圆O1在y轴右侧时，m＝5， 当圆O1在y轴左侧时，m＝－5．所以m＝±5． 又AB⊥OO1，所以|AC|＝＝2．故|AB|＝4．] 14．在①圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，B(1，5)是圆C上的点；②圆C过直线s：2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的交点，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：已知在平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6，0)，且________． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点A的圆C的切线方程． [解]　若选①：(1)由A(6，0)，B(1，5)，则线段AB的中点D， ∵直线AB的斜率kAB＝＝－1，∴线段AB的中垂线的斜率k＝－＝1，则该中垂线的直线方程为y－＝x－，整理可得x－y－1＝0， 联立解得则圆心C(3，2)，半径r＝＝， 故圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13． (2)由(1)可得，圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13，则圆心C(3，2)， 直线AC的斜率kAC＝＝－，则过点A的圆C的切线的斜率k′＝， 即切线方程y＝(x－6)，整理可得3x－2y－18＝0． 若选②：(1)设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可知，直线s：2x＋y＋4＝0是圆C与圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的公共弦所在的直线的直线方程， 联立作差可得(D－2)x＋(E＋4)y＋F＋16＝0，则 即 即整理可得圆C：x2＋y2＋(2λ＋2)x＋(λ－4)y＋4λ－16＝0，将A(6，0)代入，可得36＋6(2λ＋2)＋4λ－16＝0，解得λ＝－2， 故圆C：x2＋y2－2x－6y－24＝0． (2)由(1)可得圆C：x2＋y2－2x－6y－24＝0，整理可得(x－1)2＋(y－3)2＝34， 则圆心C(1，3)，直线AC的斜率kAC＝＝－，则过点A的圆C的切线的斜率k′＝，即切线方程y＝(x－6)，整理可得5x－3y－30＝0． 15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2－4x＝0，C2：x2＋y2＋4x＋3＝0，及点A(－1，0)和B(1，2)． (1)求圆C1和圆C2公切线段的长度． (2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由． [解]　(1)圆C1：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，C1(2，0)，r1＝2，圆C2：x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，C2(－2，0)，r2＝1， 圆心距为4＞r1＋r2，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同． 当两圆在公切线同侧时，l1＝＝＝． 当两圆在公切线异侧时，l2＝＝＝． 综上所述，公切线段长为或． (2)假设存在P(x，y)满足条件，即(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得到x2＋(y－1)2＝4，圆心为C3(0，1)，半径r3＝2． 又r1－r3＜|C1 C3|＝＝＜r1＋r3，故两圆相交，有两个交点．故点P的个数为2． 9/10 学科网（北京）股份有限公司 $