课时分层作业8 空间中的距离(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(八) 1．C　[取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F(0，0，2)，所以， EF＝|] 2．D　[由题意知，AC＝AB＝2，BB1＝， 取AC的中点O，则BO⊥AC，BO＝， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)， 所以＝(，1，)，＝(0，－2，0)， 所以，故点C到直线AB1的距离为d＝，故选D．] 3．A　[由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为，侧棱长度为 所以S△PBC＝×2×， V三棱锥P⁃ABC＝××2×2×2＝， 又V三棱锥A⁃PBC＝V三棱锥P⁃ABC，设点A到平面PBC的距离为h， 所以×，所以h＝] 4．C　[如图，以D为坐标原点， 分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D1，E(1，1，0)，A，C 从而＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)． 设平面ACD1的一个法向量为n＝(a，b，c)， 则 得 令a＝2，则n＝为平面ACD1的一个法向量，所以点E到平面ACD1的距离为h＝ 故选C．] 5．B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得 E，F， 故， ＝(a，0，0)，＝(0，a，a)． 设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由⇒ 令z＝1，得n＝(0，－1，1)为平面ABC1D1的一个法向量． 因为·n＝·(0，－1，1)＝0， 所以⊥n，故EF∥平面ABC1D1． 又， 所以·n＝·(0，－1，1)＝a，所以d＝a．] 6．3　[(法一)以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，， 所以， 所以点P到斜边AB的距离d＝＝3． (法二)因为PC⊥平面ABC，过C作CD⊥AB于D，连接PD(图略)，由三垂线定理可知PD⊥AB，即PD为P到AB的距离． 因为在Rt△ABC中，CD＝，所以PD＝＝3．] 7(填一个即可)　[ 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)．因为＝(－1，－1，1)，所以＝(2，2，1)，所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝，|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，|PB|＝，|PD1|＝，故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2] 8　[建立如图所示的空间直角坐标系． 则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F，E 所以|， 即△DA1C1为等边三角形， 所以点D到A1C1的距离为三角形的高 h＝sin 60°＝ 又＝(1，1，0)， 则可求得平面EFD1B1的一个法向量为 n＝ 又＝(0，0，1)，故d＝] 9．解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)． 设P(a，b，1)，，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)， 则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)， 所以P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)． 设平面DEC1的一个法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，－1，1)为平面DEC1的一个法向量． 因为PF∥平面EC1D， 所以·n＝λ－1＋2λ＝0， 解得λ＝，所以P， 所以|＝ (2)由(1)得平面EC1D的一个法向量n＝(1，－1，1)，， 所以点P到平面EC1D的距离d＝ 10．D　[以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E，D1，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以＝(－1，－2，2)，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)． 因点P在线段D1E上，则λ∈[0，1]，＝(－λ，－2λ，2λ)， ＝(1－λ，－2λ，2λ)， 所以向量＝2λ， 而， 则点P到直线CC1的距离h＝ ＝≥， 当且仅当λ＝时取等号，所以点Р到直线CC1的距离的最小值为，故选D．] 11．ABD　[建立如图所示的空间直角坐标系： 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D1(0，0，a)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)， 所以＝(－a，－a，a)，＝(－a，0，－a)，＝(0，a，a)，＝(0，0，－a)． 设＝(－aλ，0，－aλ)， 则＝(－λa，a，(1－λ)a)， ＝(aλ，0，(λ－1)a)． 因为＝λa2－a2＋(1－λ)a2＝0， 故BD1⊥AP，故A正确． |＝a， |＝a， 当λ＝时，AP＋PB取得最小值为a，故B正确． 因为A1D∥B1C，A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，则A1D∥平面AB1C， 所以点A1到平面AB1C的距离为异面直线AP与A1D的距离． 设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取n＝(－1，－1，1)为平面AB1C的一个法向量，所以d＝a，故C错误． 因为＝(λa，0，(λ－1)a)，＝(λa，－a，(λ－1)a)，＝((λ－1)a，0，λa)，＝((λ－1)a，－a，λa)， 所以cos∠APB＝＝， cos∠C1PD1＝＝， 则cos∠APB＝cos∠C1PD1． 因为∠APB，∠C1PD1∈(0，π)， 则∠APB＝∠C1PD1，故D正确． 故选ABD．] 12　[以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题知A，C， 因为E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点， 所以E(1，1，0)，F(1，0，0)，H(1，1，2)， 则＝(1，－1，0)，所以EC∥AF，所以EC∥平面AFH，所以点E到平面AFH的距离即为直线EC到平面AFH的距离．设平面AFH的一个法向量为n＝，则 因为，所以取x＝2，则y＝2，z＝－1， 所以n＝是平面AFH的一个法向量． 又向量，所以点E到平面AFH的距离为， 即直线EC到平面AFH的距离为] 13　[建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(2，0，0)，E(1，2，2)，D(0，0，0)，F(x，2，0)．|AF|＋|FE|＝＋， 代数式可以表示横轴上一点M(x，0)到点N(2，2)和点P(1，2)的距离之和，如图所示： 设N(2，2)关于横轴的对称点为Q(2，－2)，当线段PQ与横轴的交点为M点时，|AF|＋|FE|有最小值，最小值为|PQ|＝ 设FO⊥DE，O为垂足，则有O(λ，2λ，2λ)，＝(1，2，2)，＝(λ－x，2λ－2，2λ)． 因为⊥，所以＝0⇒λ－x＋2(2λ－2)＋2·2λ＝0⇒x＝9λ－4， 因此|， 化简得|，当6λ－3＝0时，即λ＝时，x＝，||有最小值，即最小值为] 14．(1)证明：取线段CF中点H，连接OH，GH． 由题图(1)可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB， ∴O是线段BF与CE的中点， ∴OH∥BC且OH＝BC． 在题图(1)中知AG∥BC且AG＝BC，EF∥BC且EF＝BC， ∴在题图(2)中，AG∥BC且AG＝BC，AG∥OH且AG＝OH， ∴四边形AOHG是平行四边形， 则AO∥HG． 由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF， ∴AO∥平面GCF． (2)解：由题图(1)，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题图(2)中仍有EF⊥EA，EF⊥BE， ∴∠AEB即为二面角A⁃EF⁃B的平面角， ∴∠AEB＝90°． 以E为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则B，C，F，A，G， ∴＝(0，－2，2)． 设平面GCF的一个法向量为n＝， 由 取y＝1，则z＝1， 于是平面GCF的一个法向量为n＝(0，1，1)，∴点B到平面GCF的距离为 d＝ 15．解：(1)存在．如图，连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE． 因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB， 所以EF∥AB． 又点O与点M分别为AC与BC的中点，所以OM∥AB，OM＝AB＝EF， 所以四边形OMEF是平行四边形， 则OF∥EM． 因为EM⊄平面BDF，OF⊂平面BDF， 故EM∥平面BDF． 因为点G与点M分别为CD与BC的中点，则GM∥BD． 又GM⊄平面BDF，BD⊂平面BDF， 所以GM∥平面BDF． 而GM∩EM＝M，且GM，EM⊂平面EMG， 故平面EMG∥平面BDF． 故存在CD的中点G，使得平面EMG∥平面BDF． (2)若选①， 在△BDF中，BD＝DF＝2，cos∠BDF＝，由余弦定理得BF＝ 如图，取AD中点N，连接FN，BN． 在△BNF中，BN＝FN＝，BF＝， 所以BN⊥FN． 因为△ABD与△ADF是正三角形， 所以BN⊥AD，FN⊥AD， 即NA，NB，NF两两垂直． 以点N为坐标原点，NA，NB，NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，E， 所以＝(2，0，0)，＝(－1，，0)． 设平面BEC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则y＝2，故m＝(0，2，1)为平面BEC的一个法向量． 因为，所以点A与平面BEC的距离为 若选②， 由(1)可知，OF＝EM＝2，如图，取AD中点N，连接FN，ON，BN． 在△ONF中，FN＝，ON＝1，OF＝2， 所以ON⊥FN， 因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN． 又AD∩ON＝N，AD，ON⊂平面ABCD，则FN⊥平面ABCD． 因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，即NA，NB，NF两两垂直． 下同选①过程． 1/11 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(八)　空间中的距离 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　) A．2　 　　　　　　 B． C． D． 2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则C到直线AB1的距离为(　　) A． B． C． D． 3．如图，正四棱锥P-ABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为(　　) A． B． C． D． 4．(教材P61练习B T5改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 二、填空题 6．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是__________． 7．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的可能取值为__________．(填一个即可，不必考虑所有可能的取值 )． 8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为___________；点D到平面EFD1B1的距离为__________． 三、解答题 9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D. (1)求BP的长； (2)求点P到平面EC1D的距离． 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为(　　) A．1 　　　　 B． C． 　　　　 D． 11．(多选题)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　) A．BD1⊥AP B．AP＋PB的最小值为a C．异面直线AP与A1D的距离是定值a D．∠APB＝∠C1PD1 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点，则直线EC到平面AFH的距离为__________． 13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1的中点，F为线段BC上的动点，则|AF|＋|FE|的最小值为__________；点F到直线DE距离的最小值为__________． 14．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图(1)，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”(如图(2))． (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF； (2)若二面角A-EF-B是直二面角，求点B到平面GCF的距离． 15．在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点． (1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF？请说明理由． (2)请在下列两个条件中任选一个，求点A与平面BEC的距离． ①cos ∠BDF＝； ②EM＝2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $