2.3.2 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

2.3.2　圆的一般方程 学习任务 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(数学抽象) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(数学运算、直观想象) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(数学运算) 钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中，还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质——石墨． 钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素间的结构不同，决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运． 数学上也有因为结构不同而造成“用途”不同的“物质”，如本节课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式． 问题1：把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ 问题2：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 知识点1　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0左边配方，并将常数项移到右边得 ＋＝． (1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径为的圆． (2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点． (3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 知识点2　圆的一般方程 (1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． (2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征． 1．圆的一般方程的特点是什么？ [提示]　(1)x2和y2系数相等，都为1． (2)没有xy项． 2．如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ [提示]　(1)点在圆内：＋Dx0＋Ey0＋F<0． (2)点在圆上：＋Dx0＋Ey0＋F＝0． (3)点在圆外：＋Dx0＋Ey0＋F>0． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)圆的标准方程与一般方程可以互化． (　　) (2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程． (　　) (3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　　) (4)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× [提示]　(1)圆的标准方程与一般方程可以互化． (2)方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程． (3)圆的方程都能写成一个二元二次方程． (4)当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<时才表示圆． 2．已知m是实数，若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，20)　　　 B．(－∞，5) C．(5，＋∞) D．(20，＋∞) B　[由于方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线为圆，则22＋42－4m>0，解得m<5．因此，实数m的取值范围是(－∞，5)．] 3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________． x2＋y2－3x－4y＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以解得 所以圆的一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．] 类型1　求圆的一般方程 【例1】　【链接教材P107例1】 已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求其外接圆的一般方程． [解]　(法一：待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0． (法二：几何法)AB的垂直平分线方程y－＝x－，即y＝x－2．AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4． 由得圆心(3，1)， 半径为＝． 所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0． (法三：几何法)因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形． 所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为|BC|＝＝， 所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0． 【教材原题·P107例1】 【例1】　已知A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)是⊙P上的三点，求这个圆的方程． [解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得 解方程组可得D＝6，E＝－2，F＝－15． 因此所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0． 　关于圆的一般方程 (1)圆的一般方程更体现方程的特点，只要求出系数D，E，F即可； (2)当已知圆上三个点时，求圆的一般方程比较简便． 提醒：如果由已知条件确定圆心和半径较容易，那么可以求圆的标准方程． [跟进训练] 1．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________． ＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(写出一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若过三点， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13； 若过三点， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5； 若过三点， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即＋＝； 若过三点， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0， 即＋＝．] 类型2　圆的一般方程的应用 【例2】　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． [解]　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， 由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1． 所以t的取值范围是． (2)因为r＝＝， 因为∈， 所以当t＝时，圆的面积最大，rmax＝． 所对应的圆的方程为＋＝． (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，所以8t2－6t＜0，所以0＜t＜． 　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时的2种方法 (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 提醒：应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解． [跟进训练] 2．(源自北师大版教材例题)讨论方程λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2表示的是怎样的图形． [解]　将原方程整理为(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0． ① 当λ＝1时，方程①是一元一次方程6x－9＝0，表示与x轴垂直的直线． 当λ≠1时，方程①可进一步整理为＋y2＝． ② 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ＝0时，方程②只有一组解故原方程表示一个点(3，0)； 当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点，半径为的圆． 类型3　二元二次方程表示圆的条件 【例3】　已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是_______________________． (－2，－4)　5　[由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2． 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5； 当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即＋(y＋1)2＝－，不表示圆． 故圆心坐标是(－2，－4)，半径是5．] [母题探究] (变条件，变结论)判断方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径． [解]　(法一)因为a≠0，所以原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0， 即＋＝＞0， 所以原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝． (法二)因为a≠0，所以原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0． 因为D2＋E2－4F＝＝＞0， 所以原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝． 　二元二次方程表示圆的判断方法 二元二次方程中没有xy项，若x2，y2的系数相等且不为1时，先化系数为1，变为形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程．判断其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． [跟进训练] 3．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围． [解]　由点A在圆外得 所以即2＜a＜， 所以a的取值范围是． 1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)　　　　 B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D． A　[方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．] 2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　) A．，4 B．(3，2)，4 C． C　[方程2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0可化为x2＋y2＋3x－2y－＝0，即＋(y－1)2＝，易知圆心的坐标为，半径为．] 3．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)的位置关系是________． 原点O在圆外　[把(0，0)代入圆的方程左边，得(a－1)2．因为a∈(0，1)，所以(a－1)2>0，故原点O在圆外．] 4．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程为________． x2＋y2－7x－3y＋2＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．圆的标准方程与一般方程有何区别与联系？ [提示]　(1)①圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标与半径． ②圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，它表现出明显的代数结构形式，圆心坐标与半径需要运算才能得出来，即可由一般方程的系数D，E，F写出圆的圆心坐标和半径，但要先把二次项的系数化为1． (2)二者可以互化(如图所示)． 2．求圆的方程的基本思想是什么？ [提示]　求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解． 课时分层作业(十五)　圆的一般方程 一、选择题 1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) D　[原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0， 所以即所以方程表示点(－a，－b)．故选D．] 2．“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x2＋y2－2x－a＝0表示圆，则(－2)2＋02－4×(－a)>0，即a>－1．a>0能推出a>－1，反之不能．故选A．] 3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1 B．－2或－1 C．2 D．1 C　[若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点， 则有2m2－6m＋4＝0，且－6m＋4)>0，解得m＝2．] 4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B．或 C．2或0 D．－2或0 C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C．] 5．若点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，2－ D．(2＋，＋∞) C　[因为方程x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)表示圆，所以22＋(－2m)2－4×4m>0，即m2－4m＋1>0，解得m>2＋或m<2－．又点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，所以22＋32＋2×2－2m×3＋4m>0，解得m<．从而2＋<m<或m<2－，故实数m的取值范围是(－∞，2－．故选C．] 二、填空题 6．(教材P109练习A T1改编)已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为__________． (1，2)　[根据圆的一般方程可得圆的圆心坐标为，即(1，2)．] 7．已知点M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0的外部，则实数t的取值范围为________． (－，－1)∪(1，)　[因为M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0外，即在圆x2＋(y－t)2＝t2－1外， 所以可得t2－1>0，且1＋t2－2t2＋1>0，即1<t2<2，解得(－，－1)∪(1，)．] 8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________． 5　[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．] 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别为A，B，C，经过这三个点的圆记为M． (1)求BC边的中线所在直线的一般式方程； (2)求圆M的一般方程． [解]　(1)设BC的中点为D(x，y)， 所以x＝＝1，y＝＝－2，则D(1，－2)， 所以直线AD的斜率k＝＝－， 则直线AD的方程为y＝－(x＋3)，整理成一般式为x＋2y＋3＝0． (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以圆M的方程为x2＋y2＋x＋y－6＝0． 10．(多选题)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值为9 B．圆关于直线y＝－2x对称 C．F＝4 D．圆与y轴相切 ABC　[表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心到(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5＋4＝9，A正确； 因为圆心在直线y＝－2x上，所以B正确； 由题知，得D＝－4，E＝8，F＝4，C正确； 由题知圆心纵坐标绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误．故选ABC．] 11．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1，2) B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2 C．a＋b＝1 D．ab的取值范围是 ABC　[原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2． 由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上， 所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋， 所以ab的取值范围是．] 12．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． －2　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0． 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2．] 13．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________． －3　8π　[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆的方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根， 由根与系数的关系及判别式得 又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1， 即＝－1， 即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m－2＋1＝－4， 所以m＝－3，符合m<1的条件． r＝＝2， 所以圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π．] 14．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程． (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ [解]　(1)由题图可知O(0，0)，A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0． (2)易知D(－20，－20)，且该船航线所在直线l的斜率为1，故直线l：x－y＋20－20＝0，由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10．由于圆心C到直线l的距离d＝＝10<10，故该船有触礁的危险． 15．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f (x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． (1)若b＝－1，求圆C的方程； (2)当b<1，且b≠0时，圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由． [解]　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，与x2＋2x＋b＝0是同一方程，所以D＝2，F＝b， 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0．因为二次函数的图象过点(0，b)，所以b2＋Eb＋F＝0， 所以E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0， 当b＝－1时，圆C的方程为x2＋y2＋2x－1＝0． (2)由(1)知，圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0，可化为x2＋y2＋2x－y－(y－1)b＝0， 由解得或 故圆C经过定点(0，1)，(－2，1)． 14/14 学科网（北京）股份有限公司 $