课时分层作业4 空间中的点、直线与空间向量(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(四)　空间中的点、直线与空间向量 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共110分 一、选择题 1．已知点A(2，3，4)，B(1，2，1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　) A．(6，8，9)　　　　　 B．(6，9，12) C．(7，11，13) D．(－7，－11，－13) 2．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝ 3．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3，2，5)，B(－1，1，9)，则与垂直的向量的坐标可以为(　　) A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(2，－4，－1) D．(－2，4，－1) 4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为(　　) A． B． C． D． 5．(多选题)已知a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，则下列说法正确的是(　　) A．a·b＝－2 B．l1∥l2 C．l1⊥l2 D．直线l1，l2夹角的余弦值为 二、填空题 6．已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝(2，－1，1)，b＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为__________． 7．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为__________． 8．设l1的一个方向向量a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m＝_____，l3的一个方向向量c＝(1，3，n)，若l1∥l3，则n＝________. 三、解答题 9．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点M，N分别在线段PB，DC上(不与端点重合)，且满足＝λ＝λ，其中λ>0.是否存在实数λ，使MN是PB，DC的公垂线段？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 10．(教材P37练习B T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 11．(多选题)已知空间中的四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)，下列说法中正确的有(　　) A．⊥ B．AB∥CD C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 12．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为__________. 13．在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是__________，线段EF的长度为__________. 14．在①()⊥()，②||＝，③0<cos 〈〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成问题． 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，__________，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 15．如图，在棱长为2的正方体AC1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G在AB上，AB＝3BG. (1)已知上底面A1C1内一点H满足GH∥EF，求A1H的长． (2)棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求A1K的长；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(四) 1．C　[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2，3，4)，所以3＝(6，9，12)．由， 得所以C(7，11，13)．] 2．D　[由题意可知a∥b，显然x≠0，y≠0，所以，解得x＝6，y＝] 3．BD　[＝(－4，－1，4)，设a＝(x，y，z)与垂直，则有·a＝0， 即有－4x－y＋4z＝0，由选项可知：只有BD满足上式．故选BD．] 4．A　[如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(1，，1)，所以＝(1，，1)，＝(0，2，0)．设的夹角为θ，则cos θ＝，故异面直线BC与AE所成的角为] 5．AD　[因为向量a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，a·b＝(1，－1，1)·(2，2，－2)＝1×2＋(－1)×2＋1×(－2)＝－2，所以A正确；设a＝λb，可得(1，－1，1)＝λ(2，2，－2)，则此时方程组无解，所以B不正确；因为a·b＝－2，所以l1与l2不垂直，所以C不正确；由a·b＝－2，可得|cos<a，b>|＝，所以D正确．] 6　[由题意知，|cos<a，b>|＝，两边平方并化简，得6λ＝7， 解得λ＝] 7　[以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，E，D(0，0，a)， ∴＝(0，－1，a)，， ∴cos θ＝＝， ∴a＝2(负值舍去)， ∴该四面体的体积为××1×1×2＝] 8　－2　[若l1⊥l2，则a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以2m＝9－4＝5，即m＝ 若l1∥l3，则，解得n＝－2．] 9．解：以点A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)． 假设存在满足条件的实数λ． 因为＝(－1，0，1)，＝(1，0，0)， 所以， ， 所以M，N， 所以 当MN是PB，DC的公垂线段时，此时方程组无解，即假设不成立，所以不存在满足条件的实数λ． 10．D　[以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝(－1，－1，2)，＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝因为θ∈， 所以θ＝，故选D．] 11．ABD　[易知＝(－1，0，2)，＝(0，2，0)，＝(－2，2，4)，＝(－1，0，2)，＝(－1，2，2)． 因为＝0，所以⊥，故选项A正确； 因为，所以AB∥CD，故选项B正确； 因为≠λ，所以A，B，C三点不共线，故选项C错误； 易知当时，A，B，C，D共面， 即(－1，2，2)＝λ(－1，0，2)＋μ(－2，2，4)， 所以(－1，2，2)＝(－λ－2μ，2μ，2λ＋4μ)， 所以 所以，所以A，B，C，D共面，故选项D正确． 故选ABD．] 12．5　[因为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，所以＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)． 因为点D在直线AC上，所以设＝(0，4λ，－3λ)，由此可得＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)．又因为⊥， 所以＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－ 因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝， 可得|＝5．] 13a　[设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底， 所以|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝a·a·cos 60°＝a2． 因为(a＋b)－c， 所以a2＋a·b－a·c＝a2＝a2， |＝ ＝a， 所以cos<， 所以异面直线EF与AB所成的角为] 14．解：由题意得，正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)． 设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)， 则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，则＝4－2(a＋b)，＝8－2b． 若选①：()⊥()，则，故a＝b． 若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得a＝b＝1， 故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)使得EF⊥A1C， 此时＝8－2b＝6． 若选②：|，则，解得a＝ 若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得b＝， 故存在点E，F，使得EF⊥A1C， 此时＝8－2b＝5． 若选③：0<cos<><1，则不共线， 所以b≠2－a，即a＋b≠2，所以＝4－2(a＋b)≠0， 故不存在点E，F使得EF⊥A1C． 15．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2) ． (1)因为AB＝3BG，点E，F 分别是BC，C1D1 的中点， 所以G，E(1，2，0)，F(0，1，2)． 设H(λ，μ，2)(λ，μ∈[0，2])，则＝(－1，－1，2) ， 因为GH∥EF ，所以，解得λ＝1，μ＝， 所以H， 所以 ， 所以 ， 即A1H 的长为 ． (2)假设存在满足条件的点K，设K(a，0，2)(0≤a≤2) ， 则 因为GK，EF共面，所以存在实数x，y 满足 ， 即＋y(－1，－1，2)， 得 解得a＝，所以K， 所以， 所以存在点K，使得GK，EF共面，且A1K的长为 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $