课时分层作业2 空间向量基本定理(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(二) 1．D　[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．] 2．D　[由三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．] 3．AC　[对于B：当a与b反向时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以B不成立．对于D：当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，否则不共面，故D错误．] 4．C　[在C中，由＝0，得，则为共面向量，即M，A，B，C四点共面；对于A，由，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；对于B，由，其系数和≠1，所以M，A，B，C四点不共面；对于D，由＝0，得＝－()，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面．] 5．BD　[＝a＋b－c，A选项错误． ()＝()＝a＋b＋c，B选项正确． ，则P是A'C的中点， ()＝()＝(a＋b＋c)，＝b＋c，则不存在实数λ使，所以C选项错误． (a＋b＋c)＝b＝，由于P，M∉直线AD，所以A，P，M，D四点共面，所以D选项正确．故选BD．] 6．1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc， 于是有] 7　[()＋] 8．2　[d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(2x＋y)b＋(3y＋z)c，因为d＝3a＋4b＋c，所以] 9．解：(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c， 所以()＝(a＋b)， 所以＝－c＋a＋b＝a＋b－c． (2)因为， 所以 ＝－(a＋b) ＝－c－b＋(a＋b) ＝a－b－c． 10．B　[因为，又O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1；同理可得＋z＝1．由O在平面B1BDD1内，易得x＝y，解得x＝y＝，z＝，所以x＋y＋z＝，故选B．] 11．BD　[()＋()＝a＋b＋c，故A错误； 由题可知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝，所以|(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝，所以|，故B正确； 因为＝a＋c，＝c＋b－a， 则cos<＝ ＝ ＝，故C错误，D正确．] 12．8　　[根据题意知 即所以x＋y＋z＝8，|m|＝] 13．3a－b＋3c　不能　[()＝()＋()＝()＝3a－b＋3c． 假设共面，则＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－b＋3c． 所以 所以共面， 所以不能构成一组基底．] 14．解：(1)连接AM，AN(图略)． ∵G是MN的中点， ∴()＝()＝，∴a＋b＋c． (2)∵＝－a＋b＋c， ∴·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋c2－a·b＋a·c＋b·c． 又a·b＝a·c＝b·c＝0，|a|＝2，|b|＝|c|＝1， ∴a2＋b2＋c2＝－×4＋×1＋×1＝－1． 15．解：(1)∵N是AB的中点，∴， ∴ ＝－()＝－a＋b－c． (2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设(λ∈[0，1])， 显然λ＝λb，＝c－a＋λb． ∵AM⊥A1N，∴＝0， 即(c－a＋λb)·＝0， ∴－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0． ∵CA＝CB＝CC1＝1，<a，b>＝<a，c>＝，<b，c>＝， ∴c·a－c2＋a2－a·b＋λb2＝0， 即×1×1××12－×1×1×λ×12＝0， 解得λ＝， 所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N． 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二)　空间向量基本定理 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．(教材P16练习A T1改编)若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　) A．m，n，p共线　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 2．O，A，B，C为空间四点，且向量不能构成空间的一组基底，则(　　) A.共线　　　 B．共线 C．共线 D．O，A，B，C四点共面 3．(多选题)已知下列命题，正确的有(　　) A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0 B．|a＋b|＝|a|＋|b|是a，b共线的充要条件 C.若a，b，c是空间三向量，则|a－b|≤|a－c|＋|c－b| D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 4．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝0 D．＝0 5．(多选题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c.若＝＝，则(　　) A．＝a＋b＋c B．＝a＋b＋c C．A，P，D′三点共线 D．A，P，M，D四点共面 二、填空题 6．(教材P17练习A T5改编)已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝__________． 7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．用表示，则＝__________． 8．已知{a，b，c}可作为空间向量的一组基底，若d＝3a＋4b＋c, 且d在基底{a＋2b，b＋3c，c＋a}下满足d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝_________. 三、解答题 9．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，用a，b，c表示. 10．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝＝＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点．设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 11．(多选题)如图，在三棱柱中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则(　　) A．＝a＋b＋c B．||＝ C．⊥ D．cos 〈〉＝ 12．已知空间单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3满足：m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝__________，|m|＝__________. 13．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝__________，向量__________(选填“能”或“不能”)构成一组基底． 14．《九章算术》中的堑堵是指两底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，AA1＝AC＝AB＝1，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，设＝a，＝b，＝c. (1)试用基底{a，b，c}表示向量； (2)求的值． 15．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，N是AB的中点． (1)用a，b，c表示向量. (2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $