2.2.1 向量的加法 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量加法的核心知识，通过天车位移合成、力的合成等物理实例导入，从具体运动模型抽象出向量加法定义，衔接已学向量概念，为后续减法运算构建认知支架。 以物理情境为载体渗透数学抽象，通过共线向量加法推导、运算律逻辑证明等问题链培养推理思维，结合轮船位移实例强化模型应用。体现数学眼光、思维与语言素养，助力学生提升直观想象与运算能力，为教师提供具象化探究教学路径。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 向量的加法 课程标准要求 1.通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义，了解向量加法的运算性质 2.通过研究向量的加法运算及运算性质，提升数学抽象及数学运算素养。 教材分析 本课时是教材第二章第一节第一课时内容，是关于向量的运算中最基础的部分，同时又是学习向量减法的基础，本节研究向量运算的视角、方法和路径，为后续的学习打下基础，教材中首先利用生产车间中工件的位移引入向量的加法，经过观察、分析、归纳等方法抽象出向量加法的概念，再从物理学中矢量的合成的平行四边形法则自然地得出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，进而通过“思考交流”栏目深化学生对向量加法几何意义的认识，最后再通过位移的合成等例题巩固和加深学生对向量加法及其几何意义的理解，发展学生数学抽象和直观想象素养，体现了本节的标题“从位移的合成到向量的加减法”。关于加法的运算律，教材从数的运算律出发，提出研究向量的运算律，这是类比的思想，同时也揭示了凡是运算就要考虑运算律的基本数学思维，当然研究要从概念出发，引导学生根据向量的概念画出图，再依运算法则实施运算，得到向量的加法也满足交换律和结合律，教材的这个过程，有思想，有条理，尤其示范了：不论是数还是什么别的，只要有运算，就要考虑并证明是否满足运算律！ 学情分析 1.从知识储备上分析，本节课之前，学生已经学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识，更重要的是学生在物理中学习过一些矢量的正交分解，从生活中的一些实际例子对向量加法有了一定的感性认识，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。 2.从数学能力上分析，学生直观的体会向量的加法和数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性，但是如何处理大小相加和方向相加，仍是学生学习本节的一个难点。因此，通过创设情景，使学生能够将物理中学习过一些矢量的合成分解和本节课的内容联系起来，就完全能够实现物理中的矢量和数学中的向量之间的迁移，再通过实际操作和自主探究突破这一难点。 教学目标 1.理解向量加法的定义，熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会求两个向量的和及几个向量的和。能准确理解、表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用向量加法的交换律和结合律进行向量运算。 2．从物理知识的引入到数学知识的形成过程，使学生体会到知识之间的相互联系，建立全面、科学的价值观。 教学重难点 教学重点： 1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会进行向量的加法运算。 2.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算。 教学难点： 1.灵活运用向量的加法法则并进行计算。 2.向量加法的交换律与结合律的推导. 教学过程 【环节一】体验原电池 教师活动 学生活动 设计意图 实例分析，提出问题： 数因为运算而威力无穷。与数的运算类比，向量能进行哪些运算呢？人们从位移、力、速度和合成和数的运算得到启发，引发向量的运算。 本节课我们学习向量的加法。 新课引入： 情景一：天车是大型生产车间或工地起重作业的重要设备，如下图，物体在天车的作业下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移 物理背景：实际位移是竖直方向的位移和水平方向的位移的合成 则位移的合成可以看作向量的加法 问题1：那么如何根据位移的合成,定义向量加法呢？ 引出概念： 则叫做与的和，记作, 即 一般地，求两个量和的运算，叫做向量的加法， 其结果还是个向量。 位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型 练习1：1. 2. 3. （引出向量加法的多边形法则） 问题2 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？ 得 （向量加法的平行四边形法则） 力的合成可看作向量加法平行四边形法则 的物理模型 问题3：两个不共线向量的加法运算，我们学习了三角形法则和平行四边形法则，那它们的运算结果一致么？为什么？ 答：一致，平行四边形法则中利用了相等向量的平移. 例1 如图示，已知向量，求作向量 作法一：三角形法则 在平面内选定一点，作， 则即为 作法二：平行四边形法则 在平面内选定一点，作 以为临边作一个平行四边形， 则即为 总结方法：三角形法则：首尾相接，首尾连 平行四边形法则：起点相同，连对角线 问题4：如果向量共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量 吗？ 结合课本分析，向量的和向量的方向如何？特别地，当两向量的大小相等方向相反时，和向量为多少呢？ 零向量 问题5：结合例1，探索之间的关系 （1）当向量共线且方向相同时， （2）当向量 共线且方向相反时， （3）当两向量不共线时， 结合上述三种情况，我们得到了向量的三角不等式： 向量加法的实际应用 例2轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置. 分析：此题是方位问题，实质是求轮船从A港到B处，再到C处的合位移的大小及其方向。即求AC的距离和C处在A港的什么方向，一般用方位角来表示 解：如图2-19，,分别表示轮船的两次位移, 则表示轮船的总位移, 即,延长, 与过A且垂直于的直线交于点D 在中，,, , 所以,. ,所以, 又因为, 所以. 因为,所以, 所以轮船此时位于A港北偏东30°,且距A港的C处. 问题6 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足？ ①交换律： ②结合律：. 通过三角形法则证明了向量加法的交换律和结合律 例3 如图，已知向量，作出并说出多个向量求和的方法及依据. 方法1：略，方法2：略 交换律和结合律的应用，并归纳总结方法 问题7：分析上述作图过程，如何求n个向量 的和？ 方法一：1.任取一点O， 2.依次作有向线段 3. 即为这n个向量的和 方法二：也可以把n个向量分成若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和。 课堂小结 运算律 实际应用 三角形法则 向量的加法 平行边形法则（位移的合成） （力的合成，速度的合成） 向量三角形不等式 提出问题后，类比数的运算，向量都有哪些运算呢？ 学生给出位移合成的式子 学生通过练习，总结规律。 学生画图尝试 学生在任务单上练习 学生思考，对于共线向量相加，先用哪个加法法则？ 学生根据教师的分析，自行作出反向时的情况？ 通过叙述 让学生一定的思想铺垫 从学生已有的生活经验和物理知识出发，以位移的合成作为向量加法的模型，感受向量的合成，形成对向量加法的感性认识，为突破重点和重点奠定基础 拓展了向量加法的三角形法则，得到向量加法的多边形法则，巩固了前面所学知识 通过前面的层层铺垫，使向量的加法定义通过三角形法则“自然”引出，此时也是用同样的方法引出平行四边形法则，明确出两个法则实质是一样的 通过例1，让学生感受到两个法则的作图要点，虽然形式不一样，但最后结果是一样的，有种殊途同归的感觉。 作共线向量的和是本节课的一个难点，问题4明确了方法，降低了难度。 在问题4的基础上，先总结共线问题，再思考不共线的问题 通过实例 ，感受向量是沟通数学和物理的重要知识。 猜想证明是学习数学理论知识的方法，我们通过数的加法运算律，猜想到了向量加法的运算律，再通过所学知识证明，让同学们知道我们得到了知识非常严谨 学科网（北京）股份有限公司 $