1.2.1 角的概念的推广 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“角的概念推广”，从初中0°-360°角的定义出发，通过跳水转体、扳手旋转等生活实例及视频，引出角的范围推广必要性，衔接旧知与新知，构建任意角（正角、负角、零角）的概念及运算框架。 特色在于情境动态化与概念建构并重，用视频和动态图直观展示旋转方向，结合实例抽象出正角、负角定义，典例剖析融合代数运算与几何旋转，培养数学眼光与运算能力。助力学生用数学观察现实，提升抽象思维，为教师提供结构化教学流程，增强课堂实效。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 角的概念推广 教学目标 1. 通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，能判断正角、负角和零角；（数学抽象、数学运算） 2. 两任意角的运算。 教学重难点 教学重点： 1. 将到范围的角扩充到任意角。 2. 掌握判断正角、负角和零角的方法 教学难点： 任意角概念的建构。 教学过程 一、情景引入，提出问题 （1）在初中角是如何定义的？角的范围是多少？ 初中角的定义：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角，角的范围是0°～360°，其中锐角的范围是(0°～90°)，钝角的范围是(90°～180°)，平角是180°，周角是360° （2）在生活中，是否有角度超出初中所学习的角的范围呢？ ①观察视频中跳水运动员后空转体两周半，运动员在空中转过的角度怎么表示呢？ ②自行车的两个齿轮旋转，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且旋转的方向相反。 意图：通过举实际例子，用以说明引入新概念的必要性和实际意义，通过视频，让学生在动态中体会角是转出来的。 （3）实例分析 在生活中，拧紧螺钉时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺钉时，需要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一周，也可以旋转多圈，在这个生活实例中，扳手旋转的角度超过了360°，角度有顺时针方向和逆时针方向旋转，怎样才能准确描述这种旋转现象？ 【问题1】刻画这类角，不仅要明确旋转了多大？还要明确什么？ 【问题2】我们借助生活中实际的例子感受到了角度具有不同方向的旋转，那么我们怎么用数学语言对角进行刻画呢？ 意图：用0°～360°的角难以回答当前的问题，进而引出学习课题：推广角的范围。要准确的刻画一个角，必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向。 二、抽象概括，得出概念 1.角的概念： 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边. 【问题2】角的概念中，始边的旋转方向可以按什么方向旋转？ 1.角的分类：按旋转方向分：正角、负角、零角 教学时利用信息技术制作动态图，让学生观察角旋转的方向。 角的分类 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 制作动态图，观察角度的旋转方向。 【问题3】判断对错 1.小于90°的角是锐角，对吗？ 提示：错误，因为负角小于90°，但不是锐角. 2.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 3.如果一个角的终边按逆时针或顺时针旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合. 意图：借助动态图象，观察780°，-300°的终边与60°终边相同，得出终边相同的角相差360°的整数倍。这里用到数形结合、从具体到抽象、从特殊到一般发现规律，这是探索事物的普遍方法. 练习：下列各角中，与角370°终边重合的是（    ） A． 300° B． -300° C． 30° D．10° 三、典例剖析，理解概念 例1.请写出图1-5、图1-6中的角 解：图1-5中的角是750°的正角；图1-6中的正角α=210°，负角β=－150°，负角γ=－660°. [方法总结]　由图写角： 1.用字母表示角时，可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”. 2.先确定旋转方向，然后确定旋转量，再明确射线围坐旋转时的位置，最后写出角度. 练习：在下列说法中： ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角； ③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)． 意图：让学生对任意角概念有更深的理解. 思考：两个角也能像实数那样进行加减运算吗？ 角的加法：设是任意两个角.把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是 从代数和几何两方面进行理解：如=？几何表示是先从OA逆时针旋转45度，再接着逆时针旋转60度终边到OC位置，相当于整体从始边OA逆时针旋转到OC 位置，此时角度是105度，代数运算就是两个角相加等于105度。 类比实数减法法则：“减去一个数等于加上这个数的相反数”，我们引入相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角。 角的减法：我们有这样，角的减法可以转化为角的加法. 如：=？几何表示是先从始边OA 逆时针旋转45度到OB位置，再顺时针旋转60度到OC位置，相当于从OA直接顺时针旋转15度到OC位置，所以代数运算是直接类比实数等于负15度。 ，代数直接是类比两实数的加法等于负105度，几何表示是先从始边OA顺时针旋转45度到OB 位置，再顺时针旋转到OC位置，可以看做直接从始边OA顺时针旋转105度到OC位置。让学生自己从代数方面和几何方面计算负45度加60度的值。 通过计算得到，两角和代数运算类比实数运算；几何意义：就是一条射线绕端点旋转任意角后再旋转任意角 ，这时终边所对应的角是 . 例2．（1）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． （2）计算 意图：学生从代数角度理解两角可以进行加减运算，和实数的加减运算完全一致.通过作图从几何角度理解：就是一条射线绕端点旋转任意角 后再旋转任意角 ，这时终边所对应的角是 . 四、随堂练习： 1．期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了 (　　) A．360° B．720° C．－360° D．－720° 2．－215°角是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.　(多选)下列说法正确的是(　　) A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角 C．小于180°的角是钝角、直角或锐角 D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 思考：用旋转的思想，我们可以把角可以分为正角、负角和零角，请问角有没有其它的分类标准？ 有，还可以用终边的位置作为角的分类标准. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角的终边，并观察这三个角的终边有什么关系. (1) 30°； (2) 390°； (3)－690° （此题为下节课象限角和终边相同的角的学习作铺垫） 五、课堂小结 六、布置作业：见作业练习 学科网（北京）股份有限公司 $