12.1 复数的概念 课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件围绕复数的概念、分类及相等条件展开，通过1545年卡尔丹方程问题及三次方程求解矛盾创设情境，结合数的发展史类比归纳数集扩充规则，搭建从实数集到复数集的认知支架。 其亮点在于以历史情境与数学矛盾激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，通过类比推理梳理扩充规则培养数学思维，例题设计层层递进强化概念理解。融入数学史与量子力学应用，助力学生建立知识联系，教师可直接用于情境导入和概念教学。

12.1复数的概念 1 1545年，意大利数学家卡尔丹在《重要的艺术》中讨论问题:“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，将这两部分记为 . 他认为把答案写成 和 就可以满足要求： 由 得到方程 创设情境，引出问题 无实数解！ ? 2 一元三次方程 正实数根 （卡尔丹公式1545，《大术》） 请同学本尝试用公式解方程 的正根. 创设情境，引出问题 3 方程 真的没有正实根吗？ 创设情境，引出问题 由零点存在定理知，方程存在正根 4 创设情境，引出问题 负数可以开平方， 实数集不够用， 需要扩充实数集！ 5 实数集应该怎样扩充呢？ 类比归纳，梳理规则 让我们回顾数的发展史，归纳数集扩充的“规则” 6 自然数 计数的需要 刻画相反意义的量 负数 解决测量等问题 度量正方形对角线 类比归纳，梳理规则 ①从社会生活来看 分数 无理数 7 类比归纳，梳理规则 ①从社会生活来看 生活和生产 的实际需要 数的概念 的发展 8 追问1：数集的发展过程中是怎样解决某些运算在 原有数集中不能实现的矛盾的？ 自然数集 N 整数集 Z 有理数数集 Q 实数集 R 引入 负整数 引入 分数 引入 无理数 ②从数学内部发展看 正数开方运算 类比归纳，梳理规则 问题：你能梳理出数集扩充的“规则”吗？ “添加”了一种新的数 9 追问3：在新的数集中原有的运算其性质还适用吗？ ②从数学内部发展看 类比归纳，梳理规则 追问2：在新的数集中原有的运算适用吗？ 适用 加法、乘法的交换律结合律， 乘法对加法的分配律一直适用 10 自然数集 N 整数集 Z 有理数数集 Q 实数集 R 引入 负整数 引入 分数 引入 无理数 ②从数学内部发展看 正数开方运算 （负数不能开平方） 类比归纳，梳理规则 问题：你能梳理出数集扩充“规则”吗？ 规则：①“添加”了一种新的数 ②原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了 某些运算在原有数集中不是总可以实施的矛盾. 11 依据规则，扩充数集 问题 ：负数开平方问题可以归结为方程问题吗？ 12 自然数集 N 整数集 Z 有理数数集 Q 实数集 R 引入 负整数 引入 分数 引入 无理数 ②从数学内部发展看 开方运算 （负数不能开平方） 类比归纳，梳理规则 ①引入“新数”使 有解. ②实数可以与“新数”进行四则运算，并保持加法 乘法运算律仍然成立 实数集应该怎样扩充？ ,并解决负数不能开平方的矛盾. ？ 13 为此，我们引入一个新数 ，叫做虚数单位（imaginary unit），并规定： (1) ； (2)实数可以与 进行四则运算，进行四则运 算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 依据规则，扩充数集 14 例如， 与 一起做加法、乘法运算你能写出什么数？ 问题 ：引入虚数单位 后，我们会写出怎么的数呢？ 依据规则，扩充数集 追问1：你能概括以上数的一般的形式吗？ 追问2： 都取什么数？ 15 (1)复数的定义 形如 的数叫复数 (2)复数集 全体复数所组成的集合叫作复数集 ,记作C. (3)复数的表示方法 复数通常用字母 表示，即 ，其中 与 别叫做复数 的实部（real part ）与虚部(imaginary part ) . 依据规则，扩充数集 (complex number). （set complex numbers ） 16 依据规则，扩充数集 问题：实数集与复数集是什么关系？实数集扩充到 复数集添加了哪些数？你能对复数进行分类吗？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 虚数 复数 实数 虚数这个名称是笛卡尔给出的， 写在1637年出版的《几何》中 当 时为纯虚数 本章如无特别说明， 均表示实数。 17 例1.写出复数 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数. 运用新知，内化迁移 18 分析： 例1.写出复数 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数. 运用新知，内化迁移 19 例1.写出复数 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数. 解： 的实部分别是 运用新知，内化迁移 20 解： 的虚部分别是 例1.写出复数 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数. 运用新知，内化迁移 21 解： 是实数， 是虚数， 是纯虚数. 例1.写出复数 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数. 运用新知，内化迁移 22 (2)当 即 时，复数 是虚数. 运用新知，内化迁移 例2.实数 取什么值时，复数 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：由 可知 都是实数，根据复数 是实数、虚数或纯虚数的条件可以分别确定 的值. (1)当 即 时，复数 是实数. (3)当 且 即 时， 复数 是纯虚数. 解: 23 运用新知，内化迁移 思考： 是复数 为纯虚数的充分条件吗？ 所以 是复数 为纯虚数的必要不充分条件. 因为 且 时，复数 才是纯虚数， 24 问题：我们知道复数集是由形如 的数组成的，为了保证集合中两个元素的互异性（确定性），我们必须要明确两个元素相等的含义，你认为应怎样定义？ 追问1：复数是由那些量确定的？ 运用新知，内化迁移 实部、虚部 追问2: 这一特征和你学过的哪些数学对象类似？ 平面向量 方向、长度 平面内的点 25 运用新知，内化迁移 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即 两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 26 运用新知，内化迁移 例3.已知 ， 求实数 的值. 解: 根据两个复数相等的充要条件，可得 解得 . 27 以 为例 追问：虚数与实数是否能比大小？ 依据规则，扩充数集 问题： 复数能比较大小吗？ 不等式两边乘 矛盾 矛盾 一般的，两个复数不能比大小！ （除非都是实数） 若 若 28 反思小结，提炼收获 问题 ：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 社会生活需求 数学内部发展 数集的扩充规律 引入虚数单位 复数集 29 反思小结，提炼收获 30 反思小结，提炼收获 类比的研究方法， 数形结合、分类讨论、转化化归的数学思想； 31 反思小结，提炼收获 问题 ：类比实数，你认为复数还有哪些内容需要我们去研究？ 运算和几何意义. 32 复数是智慧的结晶!人类理性的胜利! 没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学， 便没有近代文明！ 陈省身（1911-2004） $