3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及方程求解等核心知识点。课堂以国家大剧院椭圆形设计提问导入，衔接旧知中用直线和圆的方程研究几何性质的方法，搭建从观察椭圆形状到用标准方程推导性质的探究支架。 其亮点在于通过数学眼光观察椭圆形态，结合数学思维用方程推导对称性等性质，以数学语言呈现焦点位置对比表格。例题采用待定系数法，练习比较离心率差异，助力学生发展解析法思维与创新意识，教师可借助结构化内容高效落实教学目标。

椭圆的简单几何性质 1 学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响。 3.会根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程。 2 为什么国家大剧院最终会选择了椭圆形设计呢？ 椭圆都有哪些几何性质呢？ 情景导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一，我们利 用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。 情景导入 范围 顶点 对称性 离心率 下面，我们用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质. 观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？ O x y x =－a x =a y = b y = －b 新知探究 1、椭圆的范围 从图象上容易看出，椭圆上的点的横坐标的范围是－≤x≤， 纵坐标的范围是－b≤y≤b. 由方程可知，≥0， 所以椭圆上所有的点都适合不等式≤1， 即－≤x≤， 同理有－b≤y≤b， 这说明椭圆正好位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里。 y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b O x 归纳总结 O · F2 y x · F1 新知探究 2、椭圆的对称性 观察椭圆的形 状你能从图上 看出它具有怎 样的对称性？ 7 O · F2 y x F1 · · 椭圆的对称性 8 y x · O · · F1 F2 椭圆的对称性 9 x · F1 y O · F2 · 椭圆的对称性 (1)观察椭圆的形状。 (2)在椭圆的标准方程 1(a＞b＞0)中， 以－y代y，方程不变，说明图象关于x轴对称； 以－x代x，方程不变，说明图象关于y轴对称； 以－x代x， －y代y，方程不变，说明图象关于原点对称. 归纳总结 轴对称图形 中心对称图形 令x=0，得y=±b， 因此B1(0，－b)， B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点， 同理，令y=0，得x=± ， 因此A1(－，0)，A2( ，0)是椭圆与x轴的两个交点. 这四个交点叫做椭圆的顶点. 观察椭圆的形状，椭圆上哪些点比较特殊？ x A2 B2 y O A1 B1 新知探究 3、椭圆的顶点 ① 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长； ③焦点必在长轴上. ② 2=b2+c2，|B2F2|= o x y 归纳总结 长轴 线段A1A2 短轴 线段B1B2 焦距 线段F1F2 长轴长 |A1A2|=2 短轴长 |B1B2|=2b. 焦 距 |F1F2|=2c. 思考：不同形状的椭圆的扁平程度不同， 相同形状的椭圆的扁平程度相同。 你能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？ O x y 新知探究 4、椭圆的离心率 如图，椭圆 的长半轴长为 半焦距为c.利用信息技术，保持长半轴 不变，改变椭圆的半焦距，你会发现什么？ 椭圆的离心率 椭圆的离心率:椭圆的焦距与长轴长的比,记为e= ，a,c是确定圆锥曲线的基本量 （1）离心率的取值范围： 0＜e＜1 （2）离心率对椭圆形状的影响： ①e越接近1，c 就越接近，从而b就越小，椭圆就越扁； ②e越接近0，c 就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆。 （3）离心率e与，b的关系： e==. 定义：椭圆的焦距与长轴长的比：e = 归纳总结 x A2 B2 y O A1 B1 17 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 长/短轴 长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 课本例题 把原方程化成标准方程，得 ，椭圆的长轴和短轴的长分别是 例1 求椭圆16x 2 + 25y 2 = 400 的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点的坐标。 【解析】 方法步骤 把椭圆方程化成标准形式 化标准 根据标准方程的分母大小确定焦点位置 定位置 写出a , b的值，并求出c 的值 求参数 按要求写出椭圆的简单几何性质 写性质 典例剖析 题型二　利用几何性质求椭圆的标准方程 【典例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程． 典例剖析 （1）设椭圆的方程为(a>b>0)或(>b>0)。 由已知得 ∴c=4 ∴ = =25 16=9 ∴椭圆方程为或 【解析】 （2）依题意可设椭圆的方程为(>>0)。 如图所示 则18 故所求椭圆方程为. 典例剖析 【解析】 x A2 B2 y O A1 B1 (1)方法：利用椭圆的几何性质求标准方程， 通常采用待定系数法． (2)步骤：①确定焦点位置； ②根据已知条件构造关于参数的关系式， 利用方程(组)求得参数． 利用性质求椭圆方程的方法与步骤 归纳总结 典例剖析 (2) 已知椭圆 (> >0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 【解析】在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝ ，|AF|＝ ＋c， 由＝ ，得＝. 将代入，得－ c－ ＝0，即＋e－1＝0， 解得e= ，因为0<e<1，所以e＝ 故选D. D 归纳总结 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 若已知a，c可直接利用e＝ 求解．若已知，b或b，c可借助求出c或a，再代入公式e ＝ 求解 直接法 若，c的值不可求，则可根据条件建立，b，c的关系式，借助，转化为关于，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 方程法 5. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 5.比较下面两个椭圆的形状，哪一个更接近于圆?为什么? 3 + =1 课本练习 【解析】(1) 椭圆3的标准方程为 + =1 ∴离心率为 = = 椭圆 + =1的离心率为= = = ∵ < ∴椭圆 + =1更接近于圆。 1.知识总结:本节课我们共同研究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率,掌握这些性质是解决有关问题的基础． 2. 数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这是我们这节课研究椭圆几何性质的方法.它体现了解析几何的核心思想，也是未来我们研究其他曲线的思维模式.   课堂小结 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 确定椭圆的几何性质的步骤 (1)长轴长是10，离心率是 eq \f(4,5)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直， 且焦距为6. $