4.2.2指数函数的图像和性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季 课题 4.2.2指数函数的图像和性质 教学内容及内容分析 教学内容：指数函数的图像和性质. 内容解析：本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。 教学目标 一、课程目标 1、能画出具体指数函数的图象； 2、在观察指数函数图像基础上，归纳出指数函数的性质，能应用解决简单的问题； 3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要； 二、学科素养 a.数学抽象：指数函数的性质； b.逻辑推理：类比法学习指数函数性质； c.数学运算：运用指数函数性质解决问题； d.直观想象：指数函数图像； e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型； 教学重难点 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数性质及其应用 教学过程 教学流程： 复习概念，导入新课 绘制图像，自主探究 观察归纳，概括性质 知识应用，练习巩固 课堂小结、作业布置 课堂呈现： 环节一：复习概念，导入新课 问题1：上节课我们学习了一个新的基本初等函数——指数函数，你能复述一下指数函数的概念和指数函数解析式的特征么？ 问题2：类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？ 【师生互动】教师提出问题，引导学生复习指数函数的概念，指数函数解析式的特征，指数函数的定义域．学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法． 类比已有的学习经验是一个好方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的研究路径进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质．我们先从具体的指数函数入手． 设计目的：通过类比已有的研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和研究方法．首先先画出指数函数的图象，再借助图象研究指数函数的性质． 环节二：构建新知、引入“新数” 问题3：我们先从简单的函数和入手．请同学们利用描点法画出指数函数和的图象．观察函数的图象，分析函数的性质． 师生活动：从简单的函数和入手，通过图像，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性．由概念知定义域为，根据指数运算，分析值域为，进而分析出函数的图象应该都在轴上方．单调性需要借助图象研究．同时通过图像可以观察到和从对称性出发，两个指数函数的图象关于y轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象． 设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研究具体函数的过程．让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知．学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，我们将指数函数的图象按底数的取值，分作和两种类型进行研究．让学生学会用联系的观点看待问题． 问题4：类似的，请同学们在同一直角坐标系做出指数函数和的图像，并观察这四个函数的图像，看看你能有什么发现呢？ 问题5：选取底数的若干个不同的值，并在同一直角坐标系中画出相应的图像，通过观察这些图像的位置、公共点以及变化趋势，它们有哪些共性呢？由此你能否能概括出指数函数的值域和性质呢？请同学们认真观察图像，看看你能有那些发现？注意当底数在发生变化的时候，图像有哪些变化？ 环节三：观察归纳，概括性质 问题6：通过观察以上这6个指数函数的图象的位置、公共点和变化趋势，你能发现指数函数图像有哪些特点？寻找它们的共性。 师生活动：学生合作学习，探究性质，师生互动总结． 教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生以小组为单位，观察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性． （1）这些函数的图象都过点． （2）函数的定义域都是，值域都是． （3）当时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数． （4）奇偶性：非奇非偶函数 问题7：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？ 师生活动：依靠信息技术，教师根据指数函数的解析式直接作图，并对指数函数中的底数进行任意取值，追踪函数图象的变化．学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质． 设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质．这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数分为和两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的函数图象看到其共性，实现 “由特殊到一般”的归纳过程，了解指数函数的性质． 师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图像特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表并生成记忆口诀：左右无限上青天，永与横轴不沾边，大一增小一减，定在（0，1）不动弹，由学生课后补上标题，增加趣味性。 设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质．学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、特殊点和单调性和函数值变化情况．在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”． 问题8：接下来请同学们继续观察图像，思考下列问题：（1）在y轴右侧，对于同一个x值，图像的高低与底数有什么关系吗？(2)在y轴左侧呢？（3）在y轴右侧，对于同一个y值，图像与y轴距离和底数有什么关系呢？ 环节四：知识应用，练习巩固 例1：比较下列各题中两个值的大小： （1），（2），（3）， 设计意图：通过应用函数的单调性比较大小，进一步理解指数函数的单调性。 归纳小结： （1） 当同底数并明确底数与1的大小关系时，直接用函数的单调性来解； （2） 当同底数但不明确底数与1的大小关系时，要分情况讨论； （3） 当底数不同不能直接比较时，可借助中间数（如1或0等），间接比较两个指数的大小。 例2：如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 设计意图：学生经历例题——总结——练习的过程，讲练结合，可以更好地理解和解决此类问题。 环节五：课堂小结，作业布置 课堂小结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题． （1）在本节课，你学习了哪些知识？ （2）总结研究指数函数性质的一般步骤 （3）本节课用到了哪些思想方法和核心素养？ 课后作业：教材119页习题4.2的第三题和第六题. 师生活动：学生对本节课知识进行梳理总结，教师补充并引导学生构建课堂知识体系结构,帮助学生回顾和巩固在课堂上学到的知识点，加深理解和记忆体会指数函数的图像和性质。 设计目的：以学生为主体，教师为主导，通过总结，学生可以清晰的看到课程内容的逻辑结构和内在联系，有助于构建知识体系和纠正之前学生中可能存在的遗漏和误解，培养学生的自主学习能力。 学科网（北京）股份有限公司 $