专题1.3 二次函数的图像和性质（二）八大题型 2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步讲练

专题1.3 二次函数的图像和性质（二）八大题型—2025-2026浙教版数学九年级上册同步讲练 二次函数从一般式：到顶点式： 利用配方法可得： 所以二次函数的顶点式为：，其中对称轴：，最值：，顶点坐标：。 题型一：用配方法求顶点坐标 【经典例题1】 1．二次函数 的顶点坐标为 (　　) A． B． C． D． 【变式训练1-1】 2．用配方法将二次函数化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】 3．在二次函数中，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五点法作二次函数图像 1. 确定顶点：‌根据二次函数的解析式确定其顶点坐标。 2. 求与坐标轴的交点：‌接下来，‌求出抛物线与坐标轴的交点。‌这包括与x轴的两个交点（‌如果存在）‌以及与y轴的交点。‌可以通过令x=0来求出与y轴的交点，‌通过令y=0来求出与x轴的交点。 3. 连接并延伸：‌在描出所有重要的点之后，‌用平滑的曲线将它们连接起来。‌‌‌ 题型二：五点法作二次函数图像 【经典例题2】 4．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【变式训练2-1】 5．已知二次函数，完成下列各题： （1）将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． （2）求出它的图象与x轴的交点坐标． （3）在直角坐标系中，画出它的图象． （4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ （5）根据图象说明：当x为何值时， 【变式训练2-2】 6．已知二次函数． （1）求它的图象的顶点坐标和对称轴； （2）画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是 ▲ ． 题型三：二次函数的图像和性质 【经典例题3】 7．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【变式训练3-1】 8．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（　　） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 【变式训练3-2】 9．关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（　　） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 题型四：从表格中获取信息 【经典例题4】 10．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（　　）． A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为 C．函数的最小值为5 D．当时，y随x增大而减小 【变式训练4-1】 11．用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： 从表中信息可得值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】 12．二次函数的自变量（表格中从左到右增大）与函数值的对应值如下表： 0 1 3 1 0 1 下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五：二次函数图像与各项系数之间的关系 【经典例题5】 13．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练5-1】 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【变式训练5-2】 15．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六：一次函数和二次函数的综合判断 【经典例题6】 16．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-1】 17．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-2】 18．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型七：反比例函数和二次函数综合 【经典例题7】 19．函数与的图象如图所示，当（　　）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【变式训练7-1】 20．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-2】 21．二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型八：二次函数的性质综合 【经典例题8】 22．已知二次函数的图象与y轴相交于点． （1）若，求该二次函数的最小值； （2）若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系； （3）若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围 【变式训练8-1】 23．已知关于x的二次函数 （1）若该函数的图象与x轴的交点坐标是，求的值； （2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 【变式训练8-2】 24．已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； （3）若，，都在该二次函数图象上，且，结合函数图象，写出的取值范围是　 　． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 5．【答案】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大； （5）解：由函数图象可知，当时，． 6．【答案】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线 （2）解：二次函数图象如下图： 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】B 14．【答案】C 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】D 18．【答案】D 19．【答案】D 20．【答案】C 21．【答案】A 22．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点， ∴． 又， ∴二次函数为． 又， ∴当时，取最小值为 （2）解：∵， ∴对称轴直线． ， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ． （3）解：由题意得，①，②， ∴得，， 则； 得，， 则，可得或(舍去)． 综上可得，． 23．【答案】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵该函数的图象的顶点纵坐标为3， ∴， ∴； ②∵二次项系数大于0， ∴二次函数开口向上， ∵当时，y的取值范围是， ∴当时，， ∴或（舍去）， 则； 当时，或（舍去）， 综上：， ∴． 24．【答案】（1）证明：二次函数， ， ， ， 又对于任意实数都有， ，即， 该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）证明：该函数图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，是的两根， ，， ， 联立方程组， 解得：， 将代入中，得：， 整理得： （3）或 1 学科网（北京）股份有限公司 $