1.3二次函数的性质培优训练 2025—2026学年浙教版九年级数学上册

1.3二次函数的性质培优训练浙教版2025—2026学年九年级上册 （一）知识梳理 1. 二次函数基本形式：的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 的性质： 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3. 的性质： 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 5.二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 5.二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． （二）知识应用 一、选择题 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 2．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 4．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（    ） A． B．点、在二次函数图象上，则 C．当时，随增大而减小 D．若方程有实数根，则 5．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 二、填空题 6．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 7．若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为 ． 8．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 9．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 10．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 三、解答题 11．已知抛物线，若此抛物线与轴只有一个公共点且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围 12．已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 13．抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围． 14．已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围． (3)当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由． 15．已知函数（a为常数）． (1)求证：函数图象与x轴总有交点； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 16．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 17．已知二次函数的图象的对称轴是直线，并经过点． (1)求二次函数表达式； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（当在点的左侧），当时，求的值； (3)若，当时，二次函数的最大值是，求的值． 18．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． (1)点的“纵横值”为___________． (2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． (3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 19．已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为， (1)求二次函数解析式 (2)求证：此抛物线与直线l无公共点 (3)若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标 (4)若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值 20．二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10． (1)求函数的解析式； (2)设，当时，求函数的最小值． 21．已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 参考答案 一、选择题 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴的交点，进而判断各选项的正确性． 【详解】解：A、二次项系数为，故开口向下，选项A正确． B、 ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，选项B正确． C、由B知，对称轴为直线，故选项C错误． D、令，得，故与轴交点为，选项D正确． 故选：C． 2．A 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键． 【详解】解：将点代入二次函数， 得， ， 二次函数的顶点坐标为，其中， 又二次函数的顶点在第三象限， ，， 代入，得，， 解得， 的取值范围是． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的对称性求出其与轴的另一个交点在点和之间即可判断A；根据二次函数性质可直接判断B，C；根据二次函数性质得出函数值，即可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 其对称轴为， 其与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 选项A错误， ， ， 选项B错误， 对称轴， 时，随的增大而增大， 选项C错误． 抛物线的顶点为，开口朝上， 函数值， 直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确． 答案：D． 5．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 二、填空题 6．， 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是， 关于的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 7． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．当抛物线与直线只有一个公共点，联立方程，根据，解出，即可． 【详解】解：抛物线与直线只有一个公共点， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 9．4 【分析】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断； 【详解】解：（1）该抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在轴右侧， 、异号， ； 抛物线与轴交于正半轴， ， ；故（1）正确； （2）根据函数图象，可得当时，函数值小于， 即，故（2）不正确； （3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确； （4）对应的函数值为， 对应的函数值为， 又时函数取得最大值， 当时 即，故（4）错误 （5）∵对称轴为：, ， ，故（5）正确. （6）∵对称轴方程， ， ， 当时，， ∴， ，故（6）正确； 故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设，， ∴、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线上有两个点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，． 故答案为：． 三、解答题 11．(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解，进而可得解析式； （2）将代入，可求，即，将代入，可求，联立，，计算求解，然后根据函数与不等式组的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：将代入得，，即， 将代入得，， 解得，， 联立，， 解得，， ∴， ∵， ∴或． 12．(1)，， (2)①；②m的值为或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为可得，，求出a，c的值，即可得解； （2）①由坐标平移的性质可得，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，求得，进而可得，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 分三种情况：当，即时，此时随着的增大而减小；当时，，且；当时，，且；分别利用二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为． ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①将点向右平移6个单位后得到点B， ∴， ∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式可得：， ∴， ∴； ②∵抛物线的表达式为； ∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 当，即时，此时随着的增大而减小， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴此种情况不成立； 综上所述，的值为或． 13．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、，得到一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到，，代入化简即可得出结论； （3）利用抛物线上点的坐标的特征得到，依据题意得到不等式，利用分类讨论的思想方法结合不等式的性质得到关于a的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：若抛物线的图象经过， ． ， 该抛物线的图象不经过点C． 该抛物线的图象经过，， ，解得：， 该抛物线的函数解析式为； （2）证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、， 一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、， ，， ，， ． ； （3）解：，， ， 是抛物线上的点， ， 对于都有， ， ． ． ①当时，则， ， ， ， ． ②当时，则， ， ， ， ， ． 综上，a的取值范围为或． 14．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用平移的性质得到平移后的点的坐标，再利用二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，即时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；②当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；③当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意，二次函数经过点，对称轴为直线， ，解得 二次函数的表达式． （2）由题意，点，，连结，将向上平移5个单位长度，设平移后的点的对应点为，点的对应点为， 平移后的，点，， 又令，即， ， 抛物线与轴的交点为和． 将再向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点， ． 令，则， 或， 的长度为5， ． 综上，的取值范围为． （3）由题意，二次函数的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即时， ， 最小值为． （不合题意，舍去）或． ②当时， ， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去． ③当时， ， 二次函数的最小值为， （不合题意，舍去）或． 综上，或． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数最值，分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）分当时，和当时，利用根的判别式即可判断； （2）根据，原不等式转化为：，分情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，函数为，与轴交于， 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴函数与轴总有交点； （2）解：∵， ∴原不等式转化为：， 分情况讨论： ①当时，函数为：， 当时，，满足条件； ②当时，函数的图象开口向上， 此时对称轴， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数恒成立； ③当时，函数的图象开口向下， 对称轴， 此时由图象性质可得当时，没有最小值，即不成立； 综上所述，满足条件的的取值范围是． 16．(1) (2)3 (3)3或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）根据对称轴是直线和经过点，可列二元一次方程组，即可求得解析式； （2）设，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出，从而得出上移距离； （3）分和两种情况来讨论函数的最大值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ； （2）解：由题意可得， 设， ， ， 把代入，得， ； （3）解：①当时，当时，， （舍） ②当时，当时，， ， ， 综上所述，． 18．(1)6 (2)“最优纵横值”为10；“最劣纵横值”为 (3)①．②或 【分析】该题是自定义类函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的概念解答即可； （2）将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，结合函数图象的性质求出它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； （3）根据二次函数图象的顶点在“纵横值”为5的函数图象上，得到顶点坐标为．由此得到函数解析式． ①根据“最优纵横值”定义求出a的值即可； ②分别计算出当时，当时y的值，得出抛物线的开口向下，进而得到函数的增减性，再分情况解答． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：6． （2）解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为． ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时取最大值，“最优纵横值”为10． 当时，；当时，． ∵， ∴当时取最小值，“最劣纵横值”为． （3）解：二次函数的对称轴为． ∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上， ∴顶点在的图象上． ∴顶点坐标为． ∴． ①∵的“最优纵横值”为． ∴，解得． ∴二次函数的表达式为． ②∵， ∴函数的顶点坐标为． 当时，； 当时，． ∵， ∴抛物线的开口向下． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 分以下几种情况： 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时， 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 19．(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式和直线l解析式联立方程组，整理得出，然后判断即可； （3）设该直线解析式为，联立方程组，整理得，结合已知可得出，求出m的值，然后求出方程组的解即可； （4）设直线l与x、y轴交于点A、B，求出A、B的坐标．则可求出，，，根据勾股定理求出，根据垂线段最短得当时，最小，此时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴； （2）证明：联立方程组， 整理得， ∴， ∴该方程无实数根， ∴方程组无解， ∴此抛物线与直线l无公共点； （3）解：设该直线解析式为， 联立方程组， 整理得， ∵与l平行的某直线与抛物线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：设直线l与x、y轴交于点A、B， 当时，，解得；当时，， ∴，， 又， ∴，，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为． 20．(1)或 (2)函数的最小值为 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，利用分类讨论的方法解答是解答本题的关键． （1）由题意可得且，求出，再分两种情况，结合当时，最大值为10，即可求解； （2）首先将抛物线转化成顶点式，然后得到对称轴为直线，分，即，即，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得 二次函数图象过点， ∴且， ∴，且二次函数图象关于直线对称， ∴二次函数， ∵当时，最大值为10， 当时，二次函数图象开口向上， 又∵， ∴当时，有最大值，则，解得，符合题意； ∴函数的解析式为； 当时，二次函数图象开口向下， ∴当时，有最大值，则，解得，符合题意； ∴函数的解析式为； 综上，函数的解析式为或； （2）解：由（1）知时，函数的解析式为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，关于直线对称， 当时，当时，y随x的增大而增大， 则时，取最小值，最小值为； 当即时，当时，y随x的增大而增小， 则时，有最小值，最小值为； 当即时， 则时，有最小值，最小值为； 综上，函数的最小值为． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，将抛物线的解析式化为顶点式即可得解； （2）由（1）可得当时，有最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解； （3）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为，结合题意可得直线在内，求得，求出当时，；当时，；再分两种情况：当，即时；当，即；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $$