第6讲：等式性质与不等式的性质【知识梳理+4个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一上学期数学常考题型归纳 【第6讲：等式性质与不等式的性质】 【知识梳理】 一、核心性质梳理（教材基础+新高考聚焦） 1.等式的核心性质（教材重点） 性质内容 符号表示 新高考考向 对称性 若，则 方程化简、等价转化 传递性 若且，则 多式等量关系推导 加减性质 若，则 移项求解、消元 乘除性质 若，则；若且，则 系数化1、比例运算 2.不等式的核心性质（新高考高频） 性质内容 符号表示（） 易错提醒 加减性质 加减同量，不等号方向不变 乘除正数 若，则， 正数不改变不等号方向 乘除负数 若，则， 负数必变不等号方向（新高考陷阱） 传递性 若且，则 同向可传，异向不可 同向可加 若且，则 仅同向可加，不可减 同向同正可乘 若且，则 需“同向+同正”双条件 二、新高考高频解题策略（含真题解析） 场景1：利用性质比较大小（基础考法） 解题模板：①观察式子特征，选择对应性质（如作差法结合加减性质，作商法结合乘除性质）；②分步应用性质推导；③得出大小关系。 教材例题延伸：比较与的大小——作差得，由非负性得。 新高考真题适配：若，比较与的大小——作差得，因，，当时，差为正，故。 场景2：利用性质求范围（热点考法） 解题模板：①明确已知范围的式子；②多次应用同向可加、乘除性质（注意乘除负数变号）；③合并范围得结果（避免“局部范围扩大”）。 新高考真题：若且，求的范围——由，与同向相加得。 场景3：性质的逆向应用（创新考法） 解题模板：①由结论反向推导所需条件；②结合性质判断条件是否成立；③验证并得出结论。 示例：若能推出，求的范围——由不等式乘除性质，需（若则不等号反向，不成立）。 场景4：与等式结合的综合应用（压轴小题考法） 解题模板：①用等式性质表示未知量（如用一个变量表示另一个）；②代入不等式；③结合不等式性质求解。 新高考真题：已知，，，求的最小值——由等式得，结合，得最小值为4。 三、新高考答题规范与避坑指南 1.易错点清单 不等式性质误用：①乘除未判断正负（如由直接得，忽略情况）；②同向不等式随意相减（如由、得，错误）；③范围推导未分步（如直接由、得，未考虑“同正”前提）。 等式与不等式混淆：用等式性质处理不等式（如等式移项直接套用，忽略不等号方向）。 2.答题规范 性质标注：应用关键性质时简要说明（如“由不等式同向可加性质得”“因，不等号方向改变”）； 范围推导分步写：多次应用性质时，每步写出中间结果（如求范围时，先写范围，再写相加结果）； 符号严谨：不等号方向与条件对应，避免“”“”混淆。 3.口诀速记 等式性质保等量，加减乘除皆可行； 不等式子有讲究，负号一乘方向改； 同向可加不可减，同正同向可相乘； 求范围，分步算，性质应用要明辨。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：作差法比较大小】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）若，试比较与的大小． 【解题策略】 一、核心逻辑：作差法的本质与适用场景 1.本质原理 通过计算两式之差的符号判断大小关系： 若，则； 若，则； 若，则。 核心：将“大小比较”转化为“差的符号判断”，适配整式、分式、二次式等多数代数式。 2.适用场景（新高考高频） 多项式式比较（如与）； 含参数的代数式比较（如与，）； 结合等式条件的比较（如已知，比较与4）。 二、四步解题模板（附教材/真题实例） 步骤1：定“差”——构造两式之差 规则：用“大式候选”减“小式候选”（无预设时直接），确保展开后易化简。 示例：比较与，构造差：。 步骤2：化“差”——化简差式至可判符号 常用方法：因式分解、配方、合并同类项，优先转化为“平方和”“因式积”等非负/可定号形式。 教材实例：化简（配方）； 新高考适配：比较与，化简差：（因式分解）。 步骤3：判“差”——分析差式的符号 核心：结合已知条件（如参数范围、等式关系），判断化简后差式的正负性。 教材实例：（平方非负性），故； 新高考真题适配：已知，则，若，则，故差。 步骤4：定“大小”——由差的符号得结论 直接对应原理写关系，含参数时需注明条件限制。 示例：由，得（当且仅当时等号成立）； 新高考适配：由差，得（当且时）。 三、新高考高频拓展场景 场景1：含参数的分类讨论 解题要点：差式符号受参数影响时，按参数分界点分类，逐一判断。 示例：比较与，差为，无论取何值，差均，故恒成立。 场景2：结合等式条件的比较 解题要点：用等式消元，将差式转化为单变量表达式，再判符号。 新高考真题延伸：已知，，，比较与4，差为，故。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 差式构造反向：如误写，需注意符号对结论的影响； 化简不彻底：未配方/因式分解，直接代入特殊值导致判断片面（如仅用验证，忽略一般情况）； 忽视等号条件：如仅写，漏“当且仅当时等号成立”。 2.答题规范 分步标注：明确写“构造差→化简→判符号→得结论”四步，关键步骤注明方法（如“配方得”“因式分解为”）； 符号严谨：差式符号分析结合已知条件，如“由得”； 结论完整：含等号时说明取等条件，含参数时注明范围限制。 3.口诀速记 作差先定A减B，化简配方或因式； 符号判断看条件，正A大负A小记心间。 【题型二：作商法比较大小】 例题精选 【例题1】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【例题2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 相似练习 【相似题1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【相似题2】（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【解题策略】 一、核心逻辑：作商法的本质与适用场景 1.本质原理 通过计算两式之商与1的大小关系判断原式大小（前提：两式同号）： 若，： 若，则； 若，则； 若，则。 若，（需转化为正数比较）： 若，则； 若，则。 核心：将“大小比较”转化为“商与1的关系判断”，依赖“同号”前提与“商式化简”。 2.适用场景（新高考高频） 同正的幂式/分式比较（如与，与，，）； 含指数、单项式的比较（如与，，，）； 可约分的代数式比较（如与，）。 二、四步解题模板（附教材/真题实例） 步骤1：定“商”——构造两式之商并验同号 规则：优先用“疑似大式”除以“疑似小式”，必先验证两式符号相同（新高考核心前提，漏验即错）。 示例：比较与，均为正数，构造商：； 反例：比较与，虽同负，但直接作商，需转化为正数与比较，得。 步骤2：化“商”——化简商式至可与1比较 常用方法：约分、指数运算、因式分解，优先转化为“常数”“单变量式”“可放缩式”。 教材实例：比较与，化简商：； 新高考适配：比较与（），化简商：。 步骤3：判“商”——分析商式与1的大小 核心：结合已知条件（参数范围、代数式性质），判断化简后商式与1的关系。 教材实例：，故； 新高考适配：由得，故，即商。 步骤4：定“大小”——由商与1的关系得结论 严格对应同号规则，含参数时注明符号条件与取等情况。 示例：由，得； 新高考适配：由商且两式均正，得（时）。 三、新高考高频拓展场景 场景1：含指数/幂的比较 解题要点：利用指数运算性质化简商式，结合底数与1的关系判断。 新高考真题适配：比较与，转化为同指数：，，商为，故。 场景2：含参数的分类讨论（符号/范围影响） 解题要点：先按参数符号分“同正/同负/异号”，同号时再判商与1的关系。 示例：比较与（），分情况： 当，商为：若，则；若，则；若，则相等。 当，，直接得。 场景3：与不等式性质结合的比较 解题要点：用不等式性质判断商式符号，再结合化简结果分析。 示例：已知，比较与，均正，商为，由得，，故商，即。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 遗漏同号前提：如直接比较与的商，忽略异号时不能用商与1的关系； 商式构造反向：如比较与时误写，需注意商与1的关系对应结论相反； 化简不彻底：如含指数的商未转化为同底/同指数，导致无法与1比较； 忽视负号转化：同负时未转化为正数，直接用“商>1则A>B”，导致结论错误。 2.答题规范 前提先行：第一步必写“两式均为正数/负数，满足作商法条件”； 分步标注：明确“验符号→构造商→化简→判商与1的关系→得结论”，关键步骤注明方法（如“指数运算得”“约分后为”）； 分类清晰：含参数时按符号/范围分层讨论，每层结论对应条件； 结论严谨：注明符号前提，如“当，时，由商>1得”。 3.口诀速记 作商先验同符号，大除小来好判断； 化简约分或指数，商与1比是关键； 同正商大A就大，同负商大A反而小。 【题型三：由不等式的性质比较大小】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例题2】【多选题】（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心逻辑：性质驱动的比较本质 1.依托的核心性质（新高考高频调用） 性质名称 符号表示（） 比较功能 加减性质 消元、构造同结构式子 乘除符号性质 若，则；若，则 转化系数、改变式子形态 同向可加性质 若，则 叠加不等式求新关系 同向同正可乘性质 若，则 正数范围内放大/缩小式子 传递性 若，则 间接推导大小关系 2.解题核心思路 以已知不等关系为起点，精准匹配性质→分步转化式子→推导目标关系，核心是“性质与条件的适配性判断”（如乘除前必判正负，乘除需验“同正”前提）。 二、四步解题模板（附新高考实例） 步骤1：析“已知”——明确前提条件与可用性质 关键：梳理已知的不等关系（如、）、变量符号（正/负/零），标注可直接调用的性质。 示例：已知，可用性质：加减性质、乘除正数性质、同向同正可乘性质。 步骤2：定“目标”——明确需比较的式子特征 关键：观察目标式与已知式的关联（如是否含加减、乘除变形），确定需串联的性质链条。 示例：目标比较与，可转化为比较与，需用加减性质消去。 步骤3：用“性质”——分步转化推导关系 核心：按“从已知到目标”的逻辑，逐步应用性质，每步标注所用性质（新高考答题采分点）。 新高考适配实例：已知，比较与： 1.展开式子：，（代数式变形）； 2.由已知，结合加减性质，两边加得（应用加减性质）； 3.故。 步骤4：验“结论”——验证性质应用的严谨性 关键：复盘每步性质应用的前提是否满足（如乘除是否判正负，同向可乘是否“同正”），避免遗漏条件。 反例：若误将“，”用同向可加性质得，忽略“同向”前提，结论错误。 三、新高考高频场景与策略拆解 场景1：含常数项的加减变形比较 解题要点：用加减性质消去相同项，聚焦剩余项的大小。 新高考真题适配：已知，比较与： 解：由得（加减性质），又，结合传递性得与大小不确定（需结合与1的关系，体现性质应用的边界）。 场景2：含参数的乘除符号讨论 解题要点：先判断乘除项的符号，再选择对应性质（正不变向，负变向）。 新高考真题适配：已知，比较与： 解：1.若，由乘除正数性质得； 2.若，则； 3.若，由乘除负数性质得。 场景3：同向不等式的叠加与推导 解题要点：同向可加直接叠加，同向同正可乘放大，不同向需转化后应用。 新高考真题适配：已知，，比较与、与： 解：1.由同向可加性质，即，故（需结合具体范围）； 2.由同向同正可乘性质，即，故（因，，乘积大于3×1=3，且、可推，进一步结合、得，但需更精准时用具体边界）。 场景4：间接推导（传递性应用） 解题要点：构造中间量，通过两次不等关系推导目标关系。 示例：已知，，比较与： 解：由传递性得，再由加减性质得，故。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 性质滥用：①非同向不等式用可加性质（如、得）；②非正数用同向可乘性质（如、但，得）； 符号遗漏：乘除时未判断系数符号，直接套用“不变向”规则； 传递性偏差：中间量衔接错误（如、，误以为前提用传递性）。 2.答题规范 性质标注：每步转化注明所用性质，如“由不等式同向可加性质得”“因，由乘除负数性质得不等号方向改变”； 条件明确：含参数时标注符号/范围前提，如“当时，”； 推导分步：复杂关系分步骤写，避免跳跃（如先推导中间量，再用传递性）。 3.口诀速记 已知关系先分析，性质匹配看条件； 加减消项直接用，乘除先判正与负； 同向可加不可减，同正同向可相乘； 传递衔接中间量，步步严谨不遗漏。 【题型四：由不等式的性质证明不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，证明：． 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【相似题2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解题策略】 一、核心逻辑：性质串联的证明本质 1.高频证明性质工具 性质名称 符号表示（） 证明功能 加减性质 构造同构式、消去项 乘除符号性质 ； 调系数、变不等向 同向可加性质 叠加不等式得新式 同向同正可乘性质 正数范围放大不等式 传递性 衔接中间结论 2.证明核心思路 已知/基本不等式→目标倒推→性质匹配→正向串联，核心是“每步锚定性质，逻辑严谨”。 二、五步证明模板（新高考适配） 1.析“已知”：拆解条件（变量范围、不等关系），明确可用性质/工具。 ▶示例：，→可用乘除正数、同向同正可乘性质。 2.定“目标”：分析终式与已知的差异，确定中间过渡式。 ▶示例：证→过渡：→。 3.搭“桥梁”：倒推需证的中间结论，确定性质调用顺序。 ▶示例：证→需先证（加减性质）、（同向可加）。 4.写“证明”：正向串联，每步标注依据（采分关键）。 ▶教材实例：证， 1.因，，得；（依据：乘除正数性质） 2.因，，得；（依据：乘除正数性质） 3.由传递性，得。（依据：传递性） 5.验“严谨”：核查性质应用前提（如正负、同正），避免漏洞。 三、新高考高频证明场景 场景类型 解题要点 示例简证（已知） 含参数分类证明 按参数符号分类，对应性质应用 证： 1.； 2.； 3.综上得证。 结合基本不等式 以为基础串联 证（）： 1.基本不等式得，； 2.同向同正可乘得结果。 多步串联证明 拆分目标，分步用单一性质 证： 1.； 2.； 3.传递性得证。 四、避坑指南与证明规范 1.三大易错点 无依据变形：如，漏前提； 性质混淆：同向不等式随意相减（如，）； 遗漏等号：证明“≥”“≤”时，未说明等号成立条件。 2.证明规范 依据必注：每步标“（依据：XXX性质）”； 逻辑连贯：用“因为…所以…”衔接，不跳跃中间式； 条件完整：前置性质应用前提（如“”）； 等号明确：注明“当且仅当XXX时，等号成立”。 3.口诀速记 已知拆，目标倒，性质匹配按顺序； 步有据，证严谨，符号等号莫大意。 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 二、多选题 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 6．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 7．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 8．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 11．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 12．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 13．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 14．（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一上学期数学常考题型归纳 【第6讲：等式性质与不等式的性质】 【知识梳理】 一、核心性质梳理（教材基础+新高考聚焦） 1.等式的核心性质（教材重点） 性质内容 符号表示 新高考考向 对称性 若，则 方程化简、等价转化 传递性 若且，则 多式等量关系推导 加减性质 若，则 移项求解、消元 乘除性质 若，则；若且，则 系数化1、比例运算 2.不等式的核心性质（新高考高频） 性质内容 符号表示（） 易错提醒 加减性质 加减同量，不等号方向不变 乘除正数 若，则， 正数不改变不等号方向 乘除负数 若，则， 负数必变不等号方向（新高考陷阱） 传递性 若且，则 同向可传，异向不可 同向可加 若且，则 仅同向可加，不可减 同向同正可乘 若且，则 需“同向+同正”双条件 二、新高考高频解题策略（含真题解析） 场景1：利用性质比较大小（基础考法） 解题模板：①观察式子特征，选择对应性质（如作差法结合加减性质，作商法结合乘除性质）；②分步应用性质推导；③得出大小关系。 教材例题延伸：比较与的大小——作差得，由非负性得。 新高考真题适配：若，比较与的大小——作差得，因，，当时，差为正，故。 场景2：利用性质求范围（热点考法） 解题模板：①明确已知范围的式子；②多次应用同向可加、乘除性质（注意乘除负数变号）；③合并范围得结果（避免“局部范围扩大”）。 新高考真题：若且，求的范围——由，与同向相加得。 场景3：性质的逆向应用（创新考法） 解题模板：①由结论反向推导所需条件；②结合性质判断条件是否成立；③验证并得出结论。 示例：若能推出，求的范围——由不等式乘除性质，需（若则不等号反向，不成立）。 场景4：与等式结合的综合应用（压轴小题考法） 解题模板：①用等式性质表示未知量（如用一个变量表示另一个）；②代入不等式；③结合不等式性质求解。 新高考真题：已知，，，求的最小值——由等式得，结合，得最小值为4。 三、新高考答题规范与避坑指南 1.易错点清单 不等式性质误用：①乘除未判断正负（如由直接得，忽略情况）；②同向不等式随意相减（如由、得，错误）；③范围推导未分步（如直接由、得，未考虑“同正”前提）。 等式与不等式混淆：用等式性质处理不等式（如等式移项直接套用，忽略不等号方向）。 2.答题规范 性质标注：应用关键性质时简要说明（如“由不等式同向可加性质得”“因，不等号方向改变”）； 范围推导分步写：多次应用性质时，每步写出中间结果（如求范围时，先写范围，再写相加结果）； 符号严谨：不等号方向与条件对应，避免“”“”混淆。 3.口诀速记 等式性质保等量，加减乘除皆可行； 不等式子有讲究，负号一乘方向改； 同向可加不可减，同正同向可相乘； 求范围，分步算，性质应用要明辨。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：作差法比较大小】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法和配方法来判断大小即可； （2）利用作差法和因式分解，再来判断大小即可. 【详解】（1）由， 则，当且仅当时取等号； （2）由， 因为，所以， 又因为，所以， 即有， 则有. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【详解】 ， 因为，所以， 故. 【解题策略】 一、核心逻辑：作差法的本质与适用场景 1.本质原理 通过计算两式之差的符号判断大小关系： 若，则； 若，则； 若，则。 核心：将“大小比较”转化为“差的符号判断”，适配整式、分式、二次式等多数代数式。 2.适用场景（新高考高频） 多项式式比较（如与）； 含参数的代数式比较（如与，）； 结合等式条件的比较（如已知，比较与4）。 二、四步解题模板（附教材/真题实例） 步骤1：定“差”——构造两式之差 规则：用“大式候选”减“小式候选”（无预设时直接），确保展开后易化简。 示例：比较与，构造差：。 步骤2：化“差”——化简差式至可判符号 常用方法：因式分解、配方、合并同类项，优先转化为“平方和”“因式积”等非负/可定号形式。 教材实例：化简（配方）； 新高考适配：比较与，化简差：（因式分解）。 步骤3：判“差”——分析差式的符号 核心：结合已知条件（如参数范围、等式关系），判断化简后差式的正负性。 教材实例：（平方非负性），故； 新高考真题适配：已知，则，若，则，故差。 步骤4：定“大小”——由差的符号得结论 直接对应原理写关系，含参数时需注明条件限制。 示例：由，得（当且仅当时等号成立）； 新高考适配：由差，得（当且时）。 三、新高考高频拓展场景 场景1：含参数的分类讨论 解题要点：差式符号受参数影响时，按参数分界点分类，逐一判断。 示例：比较与，差为，无论取何值，差均，故恒成立。 场景2：结合等式条件的比较 解题要点：用等式消元，将差式转化为单变量表达式，再判符号。 新高考真题延伸：已知，，，比较与4，差为，故。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 差式构造反向：如误写，需注意符号对结论的影响； 化简不彻底：未配方/因式分解，直接代入特殊值导致判断片面（如仅用验证，忽略一般情况）； 忽视等号条件：如仅写，漏“当且仅当时等号成立”。 2.答题规范 分步标注：明确写“构造差→化简→判符号→得结论”四步，关键步骤注明方法（如“配方得”“因式分解为”）； 符号严谨：差式符号分析结合已知条件，如“由得”； 结论完整：含等号时说明取等条件，含参数时注明范围限制。 3.口诀速记 作差先定A减B，化简配方或因式； 符号判断看条件，正A大负A小记心间。 【题型二：作商法比较大小】 例题精选 【例题1】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【例题2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 相似练习 【相似题1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合，即可得证； （2）由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． （2）证明：由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【相似题2】（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【解题策略】 一、核心逻辑：作商法的本质与适用场景 1.本质原理 通过计算两式之商与1的大小关系判断原式大小（前提：两式同号）： 若，： 若，则； 若，则； 若，则。 若，（需转化为正数比较）： 若，则； 若，则。 核心：将“大小比较”转化为“商与1的关系判断”，依赖“同号”前提与“商式化简”。 2.适用场景（新高考高频） 同正的幂式/分式比较（如与，与，，）； 含指数、单项式的比较（如与，，，）； 可约分的代数式比较（如与，）。 二、四步解题模板（附教材/真题实例） 步骤1：定“商”——构造两式之商并验同号 规则：优先用“疑似大式”除以“疑似小式”，必先验证两式符号相同（新高考核心前提，漏验即错）。 示例：比较与，均为正数，构造商：； 反例：比较与，虽同负，但直接作商，需转化为正数与比较，得。 步骤2：化“商”——化简商式至可与1比较 常用方法：约分、指数运算、因式分解，优先转化为“常数”“单变量式”“可放缩式”。 教材实例：比较与，化简商：； 新高考适配：比较与（），化简商：。 步骤3：判“商”——分析商式与1的大小 核心：结合已知条件（参数范围、代数式性质），判断化简后商式与1的关系。 教材实例：，故； 新高考适配：由得，故，即商。 步骤4：定“大小”——由商与1的关系得结论 严格对应同号规则，含参数时注明符号条件与取等情况。 示例：由，得； 新高考适配：由商且两式均正，得（时）。 三、新高考高频拓展场景 场景1：含指数/幂的比较 解题要点：利用指数运算性质化简商式，结合底数与1的关系判断。 新高考真题适配：比较与，转化为同指数：，，商为，故。 场景2：含参数的分类讨论（符号/范围影响） 解题要点：先按参数符号分“同正/同负/异号”，同号时再判商与1的关系。 示例：比较与（），分情况： 当，商为：若，则；若，则；若，则相等。 当，，直接得。 场景3：与不等式性质结合的比较 解题要点：用不等式性质判断商式符号，再结合化简结果分析。 示例：已知，比较与，均正，商为，由得，，故商，即。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 遗漏同号前提：如直接比较与的商，忽略异号时不能用商与1的关系； 商式构造反向：如比较与时误写，需注意商与1的关系对应结论相反； 化简不彻底：如含指数的商未转化为同底/同指数，导致无法与1比较； 忽视负号转化：同负时未转化为正数，直接用“商>1则A>B”，导致结论错误。 2.答题规范 前提先行：第一步必写“两式均为正数/负数，满足作商法条件”； 分步标注：明确“验符号→构造商→化简→判商与1的关系→得结论”，关键步骤注明方法（如“指数运算得”“约分后为”）； 分类清晰：含参数时按符号/范围分层讨论，每层结论对应条件； 结论严谨：注明符号前提，如“当，时，由商>1得”。 3.口诀速记 作商先验同符号，大除小来好判断； 化简约分或指数，商与1比是关键； 同正商大A就大，同负商大A反而小。 【题型三：由不等式的性质比较大小】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 【例题2】【多选题】（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 【解题策略】 一、核心逻辑：性质驱动的比较本质 1.依托的核心性质（新高考高频调用） 性质名称 符号表示（） 比较功能 加减性质 消元、构造同结构式子 乘除符号性质 若，则；若，则 转化系数、改变式子形态 同向可加性质 若，则 叠加不等式求新关系 同向同正可乘性质 若，则 正数范围内放大/缩小式子 传递性 若，则 间接推导大小关系 2.解题核心思路 以已知不等关系为起点，精准匹配性质→分步转化式子→推导目标关系，核心是“性质与条件的适配性判断”（如乘除前必判正负，乘除需验“同正”前提）。 二、四步解题模板（附新高考实例） 步骤1：析“已知”——明确前提条件与可用性质 关键：梳理已知的不等关系（如、）、变量符号（正/负/零），标注可直接调用的性质。 示例：已知，可用性质：加减性质、乘除正数性质、同向同正可乘性质。 步骤2：定“目标”——明确需比较的式子特征 关键：观察目标式与已知式的关联（如是否含加减、乘除变形），确定需串联的性质链条。 示例：目标比较与，可转化为比较与，需用加减性质消去。 步骤3：用“性质”——分步转化推导关系 核心：按“从已知到目标”的逻辑，逐步应用性质，每步标注所用性质（新高考答题采分点）。 新高考适配实例：已知，比较与： 1.展开式子：，（代数式变形）； 2.由已知，结合加减性质，两边加得（应用加减性质）； 3.故。 步骤4：验“结论”——验证性质应用的严谨性 关键：复盘每步性质应用的前提是否满足（如乘除是否判正负，同向可乘是否“同正”），避免遗漏条件。 反例：若误将“，”用同向可加性质得，忽略“同向”前提，结论错误。 三、新高考高频场景与策略拆解 场景1：含常数项的加减变形比较 解题要点：用加减性质消去相同项，聚焦剩余项的大小。 新高考真题适配：已知，比较与： 解：由得（加减性质），又，结合传递性得与大小不确定（需结合与1的关系，体现性质应用的边界）。 场景2：含参数的乘除符号讨论 解题要点：先判断乘除项的符号，再选择对应性质（正不变向，负变向）。 新高考真题适配：已知，比较与： 解：1.若，由乘除正数性质得； 2.若，则； 3.若，由乘除负数性质得。 场景3：同向不等式的叠加与推导 解题要点：同向可加直接叠加，同向同正可乘放大，不同向需转化后应用。 新高考真题适配：已知，，比较与、与： 解：1.由同向可加性质，即，故（需结合具体范围）； 2.由同向同正可乘性质，即，故（因，，乘积大于3×1=3，且、可推，进一步结合、得，但需更精准时用具体边界）。 场景4：间接推导（传递性应用） 解题要点：构造中间量，通过两次不等关系推导目标关系。 示例：已知，，比较与： 解：由传递性得，再由加减性质得，故。 四、避坑指南与答题规范 1.易错点规避 性质滥用：①非同向不等式用可加性质（如、得）；②非正数用同向可乘性质（如、但，得）； 符号遗漏：乘除时未判断系数符号，直接套用“不变向”规则； 传递性偏差：中间量衔接错误（如、，误以为前提用传递性）。 2.答题规范 性质标注：每步转化注明所用性质，如“由不等式同向可加性质得”“因，由乘除负数性质得不等号方向改变”； 条件明确：含参数时标注符号/范围前提，如“当时，”； 推导分步：复杂关系分步骤写，避免跳跃（如先推导中间量，再用传递性）。 3.口诀速记 已知关系先分析，性质匹配看条件； 加减消项直接用，乘除先判正与负； 同向可加不可减，同正同向可相乘； 传递衔接中间量，步步严谨不遗漏。 【题型四：由不等式的性质证明不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）应用作差法比较大小，即可证； （2）应用充分必要性定义，结合不等式性质判断推出关系，即可证. 【详解】（1）由，所以． （2）因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 【相似题2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【解题策略】 一、核心逻辑：性质串联的证明本质 1.高频证明性质工具 性质名称 符号表示（） 证明功能 加减性质 构造同构式、消去项 乘除符号性质 ； 调系数、变不等向 同向可加性质 叠加不等式得新式 同向同正可乘性质 正数范围放大不等式 传递性 衔接中间结论 2.证明核心思路 已知/基本不等式→目标倒推→性质匹配→正向串联，核心是“每步锚定性质，逻辑严谨”。 二、五步证明模板（新高考适配） 1.析“已知”：拆解条件（变量范围、不等关系），明确可用性质/工具。 ▶示例：，→可用乘除正数、同向同正可乘性质。 2.定“目标”：分析终式与已知的差异，确定中间过渡式。 ▶示例：证→过渡：→。 3.搭“桥梁”：倒推需证的中间结论，确定性质调用顺序。 ▶示例：证→需先证（加减性质）、（同向可加）。 4.写“证明”：正向串联，每步标注依据（采分关键）。 ▶教材实例：证， 1.因，，得；（依据：乘除正数性质） 2.因，，得；（依据：乘除正数性质） 3.由传递性，得。（依据：传递性） 5.验“严谨”：核查性质应用前提（如正负、同正），避免漏洞。 三、新高考高频证明场景 场景类型 解题要点 示例简证（已知） 含参数分类证明 按参数符号分类，对应性质应用 证： 1.； 2.； 3.综上得证。 结合基本不等式 以为基础串联 证（）： 1.基本不等式得，； 2.同向同正可乘得结果。 多步串联证明 拆分目标，分步用单一性质 证： 1.； 2.； 3.传递性得证。 四、避坑指南与证明规范 1.三大易错点 无依据变形：如，漏前提； 性质混淆：同向不等式随意相减（如，）； 遗漏等号：证明“≥”“≤”时，未说明等号成立条件。 2.证明规范 依据必注：每步标“（依据：XXX性质）”； 逻辑连贯：用“因为…所以…”衔接，不跳跃中间式； 条件完整：前置性质应用前提（如“”）； 等号明确：注明“当且仅当XXX时，等号成立”。 3.口诀速记 已知拆，目标倒，性质匹配按顺序； 步有据，证严谨，符号等号莫大意。 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 二、多选题 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 6．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 7．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 8．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 11．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 12．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 13．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 14．（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D AB AB AB ABD ABD BCD AB 1．C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 2．B 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 3．D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 4．AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 5．AB 【分析】利用不等式的性质可得AB正确；举反例或者作差分析可得C错误；举例可得D错误. 【详解】对于A：因为，， 因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得， 所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以， ，两边同乘以并化简得， 所以，故B正确； 对于C： 方法一：若，此时分母无意义，不能比较，故C错误. 方法二：时不等式左边无意义，不能比较. 当时做如下分析： ， 符号不确定，故结论不确定，故C错误; 对于D： 若，则，故D错误. 故选：AB 6．AB 【分析】举反例即可判断AB；作差法即可判断CD． 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 7．ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 8．ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 9．BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10．AB 【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AB 11．（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 12．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 13．(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 14．（1），（2）证明见解析 【分析】（1）由作差法证明即可； （2）由不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解： ∵，∴，∴． （2），， ，又，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $